第二節(jié)QR分解學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第二節(jié)第二節(jié)QR分解分解(fnji)第一頁，共32頁。由于由于x 1,x 2, ,x n x 1,x 2, ,x n 線性無關(guān)線性無關(guān)(wgun)(wgun)，將它們用，將它們用SchmidtSchmidt正交正交證明證明設(shè)設(shè)A A是一個實滿秩矩陣是一個實滿秩矩陣, A, A的的n n個列向量為個列向量為 x x 1 1, ,x x 2 2, , , ,x x n n 定義定義:設(shè)設(shè).nnCA如果存在如果存在n階酉矩陣階酉矩陣Q和和n階上三角矩陣階上三角矩陣R R，使得，使得QRA 則稱之為則稱之為A A的的QRQR分解或酉三角分解分解或酉三角分解當(dāng)當(dāng) 時，則稱為時，則稱為A的正三角分

2、解的正三角分解nnRA化方法得標(biāo)準(zhǔn)正交向量化方法得標(biāo)準(zhǔn)正交向量e e 1 1, ,e e 2 2, , , ,e e n n第1頁/共32頁第二頁，共32頁。nnnnnnebebebxebebxebx221122211221111其中其中nibii, 2 , 1,0從而從而(cng r)有有nnnnnnbbbbbbeeexxx222112112121第2頁/共32頁第三頁，共32頁。nnnnnbbbbbbReeeQ2221121121,令令I(lǐng)QQT則則則則如果如果再證唯一性再證唯一性,11RQQRA由此得由此得DQRRQQ1111式中式中D=R1R-1D=R1R-1仍為具有正對角仍為具有正對角

3、(du jio)(du jio)元的上三角矩陣。由于元的上三角矩陣。由于 DDDQDQQQITTT11即即D D為正交矩陣，因此為正交矩陣，因此(ync)D(ync)D為單位矩陣（正規(guī)上三角為對角陣）為單位矩陣（正規(guī)上三角為對角陣）故故RDRRQDQQ111,第3頁/共32頁第四頁，共32頁。說明：說明：1若不要求若不要求R具有正對角元，則具有正對角元，則A的不同的不同(b tn)QR分解僅在正交矩陣的列和上三角矩陣分解僅在正交矩陣的列和上三角矩陣R的對應(yīng)行相差模為的對應(yīng)行相差模為1的因子。的因子。該定理的證明過程給出了利用該定理的證明過程給出了利用(lyng)Schmidt(lyng)Sch

4、midt正交化方法求可逆矩陣正交化方法求可逆矩陣QRQR分解的方法。分解的方法。例例 求矩陣求矩陣(j zhn)A(j zhn)A的的QRQR分解分解110201221A解解，則，則記記122,102,011321xxx2 2若若A A為滿秩復(fù)矩陣，則存在酉矩陣為滿秩復(fù)矩陣，則存在酉矩陣Q Q與復(fù)非奇異上三角矩陣與復(fù)非奇異上三角矩陣R R，使，使A = QR A = QR 第4頁/共32頁第五頁，共32頁。TyyyxyyyxTyyyxyyxyyxyyxyxyxy2 , 1 , 121 , 1, 131231132),(),(1),(),(33121),(),(2211222311131112將

5、將 正交化正交化321,xxxTyyTyyTyyeee2 , 1 , 11 , 1, 10 , 1 , 1663332221332211單位化單位化第5頁/共32頁第六頁，共32頁。336233132121122322eeexeexex整理整理(zhngl)得得,03633663322663322Q令令363300302222RQRA 則則第6頁/共32頁第七頁，共32頁。例例1 1：利用：利用SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法(fngf)(fngf)求矩陣的求矩陣的QRQR分解分解212240130A設(shè)設(shè),2 , 2, 1,1 , 4 , 3,2 , 0 , 0321TTTxx

6、x則則 321,xxx線性無關(guān)，首先線性無關(guān)，首先(shuxin)將它們正交化得：將它們正交化得：,2 , 0 , 011Txy1),(),(221112yxyyyyx2),(),(1),(),(3322231113yyxyyyyxyyyxTyyx0 ,56,5851213Tyx0 , 4 , 31212再單位再單位(dnwi)化：化：,1 , 0 , 02111Tye,0 ,54,535122Tye第7頁/共32頁第八頁，共32頁。,0 ,53,542133Tye于是于是(ysh)：1112eyx21212521eeyyx32132132251eeeyyyx從而從而(cng r) QRA00

7、153540545302150212,1 , 0 , 02111Tye,0 ,54,535122Tye第8頁/共32頁第九頁，共32頁。O+OTIHR2)(3)(H則則記記即：該變換將向量即：該變換將向量 變成了以變成了以 為法向量的平面的對稱向量為法向量的平面的對稱向量 。HouseholderHouseholder變換又稱為反射變換或鏡像變換，有明變換又稱為反射變換或鏡像變換，有明顯的幾何意義。在顯的幾何意義。在 中，給定一個向量中，給定一個向量 ，令，令 表示表示 關(guān)于平面關(guān)于平面 （以（以 為法向量）為法向量）的反射變換所得像，的反射變換所得像，如圖所示，如圖所示，3R第9頁/共32頁

8、第十頁，共32頁。定義定義 設(shè)設(shè) 是一個單位向量，令是一個單位向量，令nCHIH2)(則稱則稱H H是一個是一個(y (y )Householder)Householder矩陣或矩陣或HouseholderHouseholder變換。變換。性質(zhì)設(shè)性質(zhì)設(shè)H H是一個是一個(y (y )Householder)Householder矩陣，則矩陣，則（1 1）H H是是HermiteHermite矩陣，矩陣， ；（2 2）H H是酉矩陣，是酉矩陣， ；（3 3）H H是對合矩陣，是對合矩陣， ；（4 4）H H是自逆矩陣是自逆矩陣（5 5）diagdiag( (I I, ,H H ) ) 也是一個也

9、是一個HouseholderHouseholder矩陣矩陣; ;（6 6）det Hdet H = -1 = -1。HHHIHHHIH2HH1第10頁/共32頁第十一頁，共32頁。其中其中(qzhng) (qzhng) 為實數(shù)。為實數(shù)。定理定理 設(shè)設(shè) 是一個是一個(y (y )單位向量，則對于任意的單位向量，則對于任意的nCu nCxauHx uaxxaH,2nC當(dāng)當(dāng) 時，取單位向量時，取單位向量 使使0 auxnC0 xHauxxxxIxHHH)(22)(存在存在(cnzi)Householder(cnzi)Householder矩陣矩陣H H，使得，使得證明證明 當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時，任取

10、單位向量時，任取單位向量則則則則002)(HIxH第11頁/共32頁第十二頁，共32頁。所以所以(suy) (suy) 當(dāng)當(dāng) 時，取時，取aux ,2auxauxxauxauxauxIxIxHHT22)(22)(uuaxuauaxxxauxauxHHHHH2)()(由于由于(yuy)(yuy)auauxauxauxxauxxxHHH)()()()(2)()()()()(2auxauxauxxauxxHHxauxxuaxxxxuauaxxxHHHHHHH)(2)(222第12頁/共32頁第十三頁，共32頁。推論推論1 1 對于任意的對于任意的 ，存在，存在HouseholderHousehold

11、er矩陣矩陣H H，使使nCx1aeHx其中其中 為實數(shù)。為實數(shù)。12,eaxxaH) 1,(,2)(uuRuuuIHTnT1aeHx2xa 推論推論2 2 對于任意的對于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩陣矩陣H HnRx上述結(jié)論表明，可以利用上述結(jié)論表明，可以利用HouseholderHouseholder變換將任意向量變換將任意向量化為與第一自然基向量化為與第一自然基向量 平行的向量（共線）平行的向量（共線）。 nRx1e，其中，其中(qzhng)(qzhng)使得使得(sh(sh de)de)得得第13頁/共32頁第十四頁，共32頁。例例2 2 用用Ho

12、useholderHouseholder變換變換(binhun)(binhun)將向量將向量化為與化為與 平行的向量。平行的向量。Tiix2,232xTe0, 0, 11iexH21iaeaxxaH2,12ia325301211iiaexaex13ieHx 因此因此(ync)(ync)解解 由于由于(yuy)(yuy)為了使為了使為實數(shù)，取為實數(shù)，取令令112102145105101512iiiiIHH則則也可取也可取 或或3aia3說明說明第14頁/共32頁第十五頁，共32頁。1 1 將矩陣將矩陣A A按列分塊按列分塊 , ,取取nA,2121121111111,aeaeaHIH111200

13、*,11121111BaHHHAHn利用利用(lyng)Householder(lyng)Householder矩陣求矩陣的矩陣求矩陣的QRQR分解的步驟：分解的步驟：則則第15頁/共32頁第十六頁，共32頁。2 2 將矩陣將矩陣 按列分塊，按列分塊，)1()1(1nnCBnB,32122221221222,bebebuHuuIH222222001HHT2211200*0*)(CaaAHH)2()2(2nnCC取取則則其中其中(qzhng)(qzhng)第16頁/共32頁第十七頁，共32頁。121nHHHQ則則 A=QRA=QR依次進(jìn)行依次進(jìn)行(jnxng)(jnxng)下去，得到第下去，得到

14、第n-1n-1個個n n階的階的HouseholdHousehold矩陣矩陣Hn-1Hn-1，使得，使得RaaaAHHHnn*2112133因因 為自逆矩陣，令為自逆矩陣，令 iH第17頁/共32頁第十八頁，共32頁。例例2：已知矩陣：已知矩陣(j zhn),112240130A利用利用(lyng)Householder(lyng)Householder變換求變換求A A的的QRQR分解分解因為因為,2 , 0 , 01T記記, 2211a令令21111111eaeaT1 , 0 , 121則則HIH1112,001010100從而從而(cng r)1302402121AH記記,3 , 4T則

15、則, 5222b令令22222221ebeb,3 , 1101THIH2222,433451第18頁/共32頁第十九頁，共32頁。記記,43034000100122HHT則則RAHH20015021212取取0053404305121HHQ則則QRA第19頁/共32頁第二十頁，共32頁。x 2yx O我們知道，平面坐標(biāo)系我們知道，平面坐標(biāo)系 中的旋轉(zhuǎn)角為中的旋轉(zhuǎn)角為 變換可變換可表示為表示為2RT T是正交矩陣，稱為是正交矩陣，稱為(chn(chn wi)wi)平面旋轉(zhuǎn)矩陣。平面旋轉(zhuǎn)矩陣。將其推廣到一般的將其推廣到一般的n n維酉空間中維酉空間中，可以得到初等旋轉(zhuǎn)變換，也稱為可以得到初等旋轉(zhuǎn)變

16、換，也稱為(chn(chn wi) wi)GivensGivens變換。變換。cossinsincos,2121TxxTyy第20頁/共32頁第二十一頁，共32頁。定義定義(dngy) (dngy) 設(shè)設(shè)記記n n階矩陣階矩陣(j zhn)(j zhn)nCsc,122 sc)()()()(111111lklkcsscTkl由由 所確定的線性變換稱為所確定的線性變換稱為GivensGivens變換或初等旋轉(zhuǎn)變換。變換或初等旋轉(zhuǎn)變換。klT稱稱 為為GivensGivens矩陣或初等旋轉(zhuǎn)矩陣；矩陣或初等旋轉(zhuǎn)矩陣；klT容易驗證，容易驗證，GivensGivens矩陣是矩陣是酉矩陣酉矩陣，且，且

17、。 1detklT第21頁/共32頁第二十二頁，共32頁。定理定理 對于任意向量對于任意向量 ，存在，存在GivensGivens變換變換 ，使，使得得 的第的第l l個分量為個分量為0 0，第，第k k個分量為個分量為非負(fù)實數(shù)，其余分量不變。非負(fù)實數(shù)，其余分量不變。nCxklTxTklTnklTnyyyxTxxxx,2121),( ,lkjxycxsxyxsxcyjjlkllkk證明證明(zhngmng) (zhngmng) 記記由由GivensGivens矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)的定義可得的定義可得第22頁/共32頁第二十三頁，共32頁。當(dāng)當(dāng) 時，取時，取c c=1,=1,s

18、s=0=0，則，則T Tkl kl = = I I, ,此時此時022lkxx),(, 0lkjxyyyjjlk當(dāng)當(dāng) 時，取時，取022lkxx2222,lkllkkxxxsxxxc),(002222222222lkjxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxxyjjlklklklkllklklllkkkk, ,結(jié)論結(jié)論(jiln)(jiln)成立。成立。則則第23頁/共32頁第二十四頁，共32頁。與第一自然與第一自然(zrn)(zrn)基向量基向量推論推論 給定一個向量給定一個向量 ，則存在一組，則存在一組GivensGivens矩陣矩陣 ， 使得使得nCxnTTT11312,1212131e

19、xxTTTnnCx1eTnxxxx,2112TTnxxxxxT, 0 ,3222112稱為用稱為用GivensGivens變換變換(binhun)(binhun)化向量化向量證明證明(zhngmng) (zhngmng) 設(shè)設(shè)由上述定理存在由上述定理存在GivensGivens矩陣矩陣使得使得共線。共線。第24頁/共32頁第二十五頁，共32頁。依 此 繼 續(xù) 下 去 ， 可 以依 此 繼 續(xù) 下 去 ， 可 以(ky)(ky)得出得出TnxxxxxxTT, 0, 0,433222112131222221121310, 0,exxxxxTTTTnn對于對于 又存在又存在GivensGivens矩

20、陣矩陣 ，使得，使得xT1213T第25頁/共32頁第二十六頁，共32頁。例例3 3 用用GivensGivens變換化向量變換化向量 與第一與第一(dy)(dy)自然基向量共線自然基向量共線 Tiix2,25,2222121xxixix5,5211isic1000525055212iiiiT20512xT解解 由于由于(yuy)(yuy)取取則構(gòu)造則構(gòu)造(guzo)Givens(guzo)Givens矩陣矩陣第26頁/共32頁第二十七頁，共32頁。3, 2, 5232131xxxx32,3522sc11213133003,3503201032035exTTTxT12對于對于由于由于(yuy)(yuy)取取則則第27頁/共32頁第二十八頁，共32頁。nA,21nTTT11312,121112131eTTTn2111112131,0*aBaATTTn利用利用GivensGiven