非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法

1、1193彭海軍高 強(qiáng)吳志剛鐘萬(wàn)勰文章編號(hào):10(X)-0887(2010) 10-119M0©應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)編委會(huì)JSSN l(XXh()887非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法彭海軍高強(qiáng)吳志剛2,鐘萬(wàn)勰,(1.大連理工大學(xué)工程力學(xué)系工業(yè)裝笛結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室遼寧大連116024；2.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室遼寧大連116()24)(我刊編委鐘萬(wàn)勰來(lái)稿)摘要：將非線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題導(dǎo)向Hamilton系統(tǒng)提出了求解非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保 辛多層次方法首先以時(shí)間區(qū)段兩端狀態(tài)為獨(dú)立變量并在區(qū)段內(nèi)采用grange插值近似狀態(tài)和 協(xié)態(tài)變量通過(guò)對(duì)偶變量

2、變分原理將非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性方程組的求解然后，在保 辛算法的具依實(shí)施過(guò)程中提出了多層次求解思想，以2'類(lèi)算法為基礎(chǔ)由低層次到高層次加密離散 時(shí)間區(qū)段.利用Lagrange 值得到網(wǎng)格加密后的初始狀態(tài)與協(xié)態(tài)變量作為求解非線(xiàn)性方稈組的初 值，可提高計(jì)算效率數(shù)值算例驗(yàn)證了算法在求解效率與求解精度上的有效性.關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性最優(yōu)控制；對(duì)偶變量；變分原浬；多層次迭代；保辛中圖分類(lèi)號(hào)：()231.2；()241X1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI： 10. 3879/j. issn. 1000-0887.2010. 10.006引 言線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題在理論分析以及實(shí)際應(yīng)用中都取得了顯著成果，尤

3、其在航空 航天領(lǐng)域得到比較廣泛的實(shí)際應(yīng)用隨著實(shí)際工程問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)最優(yōu)控制提出了更高的 要求，進(jìn)而非線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法成為解決這些問(wèn)題的一個(gè)頗受關(guān)注的研究課題在 經(jīng)典文獻(xiàn)B中都講述了非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的一些解決方案，包括梯度法、共覘梯度法、邊界 迭代法、擬線(xiàn)性化法以及鄰域最優(yōu)控制等等近年來(lái)，文獻(xiàn)4采用迭代的思想將非線(xiàn)性最優(yōu) 控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性?xún)牲c(diǎn)邊值問(wèn)題并采用Newton法求解文獻(xiàn)5 提出保辛攝動(dòng)方法求解 非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題文獻(xiàn)6綜合比較了級(jí)數(shù)展開(kāi)近似、狀態(tài)相關(guān)Riccati方程方法、序列Calerkin近似以及兩點(diǎn)邊值插值解等4種方法在求解非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題方面的優(yōu)缺點(diǎn)文獻(xiàn)7基于迭

4、代的思想將非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在每一個(gè)時(shí)間步內(nèi)求解線(xiàn)性二次最優(yōu)控 制問(wèn)題并求解Kiccati微分方程文獻(xiàn)89將非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題求解.*收稿日期：2010-03-04 ；修訂日期：2010-08-30基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10632030； 10902020； 10721062)；高等學(xué)校博士點(diǎn)基金資 助項(xiàng)目(20070141067)；遼寧省博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(20081091 )；遼寧省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資 助項(xiàng)冃(2009S018)作者簡(jiǎn)介：彭海軍(1982),男，河北邯鄲人，博士生(Tel： +86-411-84706574； E-mail： hjpengd

5、lut. edu.on);高強(qiáng)(1978),男，內(nèi)蒙古赤峰人，講師.博士(聯(lián)系人Tel： +86-411-84707608； E-mail： qgao dlul. en).非線(xiàn)性最優(yōu)控制系統(tǒng)從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上來(lái)講可以導(dǎo)向Hamilton體系，即可以采用Hamilton正 則方程描述Hamilton系統(tǒng)的一個(gè)主要性質(zhì)是其相流保持辛幾何結(jié)構(gòu)沢心匕近年來(lái).從動(dòng)力學(xué) 積分角度發(fā)展起來(lái)的變分時(shí)間積分方法逐漸在最優(yōu)控制領(lǐng)域得到發(fā)展該方法在一類(lèi)變量 Lagrange體系內(nèi)對(duì)連續(xù)的動(dòng)力學(xué)方程離散，并且由于采用離散形式的Euler-Lagrange方程而達(dá) 到離散方程過(guò)程保辛的目的因而保持了原有最優(yōu)控制系統(tǒng)的辛幾何結(jié)

6、構(gòu)有鑒于此，不僅 是動(dòng)力學(xué)數(shù)值積分方面，在非線(xiàn)性最優(yōu)控制的數(shù)值求解方面也應(yīng)當(dāng)設(shè)法保持Hamilton系統(tǒng)的 辛幾何結(jié)構(gòu)'.本文基于兩類(lèi)變量體系，采用兩端狀態(tài)變量表示的對(duì)偶變量變分原理"來(lái)達(dá)到整個(gè) Hamilton系統(tǒng)保辛的目的在連續(xù)時(shí)間離散成一系列區(qū)段的過(guò)程中，時(shí)間區(qū)段內(nèi)部的狀態(tài)和協(xié) 態(tài)變量采用Lagrange插值函數(shù)近似，并采用時(shí)間區(qū)段兩端狀態(tài)為獨(dú)立變量然后，根據(jù)對(duì)偶變 量變分原理導(dǎo)致的必要條件將非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性方程組的求解，也就是說(shuō)采 用保辛的數(shù)值算法求解非線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)一步，在保持Hamilton系統(tǒng)的辛幾何 結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上提出了多層次求解方法用以提

7、高數(shù)值求解效率先將連續(xù)時(shí)間離散成稀疏時(shí)間區(qū) 段采用對(duì)偶變量保辛方法求解，然后采用將時(shí)間網(wǎng)格加密一倍，并將稀疏時(shí)間區(qū)段的數(shù)值結(jié)果 采用Lagrange插值的方法分配到新的時(shí)間節(jié)點(diǎn)上，以此作為初值再次求解非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn) 題將時(shí)間網(wǎng)格再加密一倍以此類(lèi)推直到得到滿(mǎn)意精度的數(shù)值結(jié)果這種多層次求解非線(xiàn)性迭 代問(wèn)題的思想可以較大幅度地提高收斂速度，減少迭代次數(shù)1非線(xiàn)性最優(yōu)控制與對(duì)偶變量變分原理(1)考慮非線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,其狀態(tài)方程為 x(z) =/(x(0 ,w(z) 3),性能指標(biāo)為Z. =。(兀上山，(2)JI)其中，X是d維狀態(tài)向量上是P維控制向量.通過(guò)引入L略nm驢乘子入將狀態(tài)方程(1)作

8、為約束條件引入到性能指標(biāo)(2)中，采用變 分法得到關(guān)于最優(yōu)控制輸入的必要條件，進(jìn)一步將控制輸入”(門(mén)表示成狀態(tài)變量x與協(xié)態(tài)變 量A的函數(shù)，即W(/)=g(x(/) ,A(/).此時(shí)Hamilton函數(shù)只是關(guān)于狀態(tài)變量x與協(xié)態(tài)變量A 兩類(lèi)變量的函數(shù)H(x9A9g(x9A) = 0(x(0 ,g(x,A),0 +Arf(x(t) ,g(x,A) 9t)那么Hamilton函數(shù)(3 )對(duì)應(yīng)的變分原理為A'x - H(x,A)dt9 8S =0.0作用量s取駐值，即對(duì)式(4)進(jìn)行變分：dlldx 8S= I (8x)T-Adt +dt + A*8x |(, = 0>(3)(4)(5)若認(rèn)

9、為在兩端邊界狀態(tài)給定，則可以在域內(nèi)得到Hamilton正則方程,求解此Hamilton正則方 程即可得到狀態(tài)和協(xié)態(tài)變量，進(jìn)而求出控制輸入.在數(shù)值求解Hamilton正則方程時(shí)，可從另一個(gè)角度利用變分原理(5 ),即若認(rèn)為在域內(nèi)已 經(jīng)滿(mǎn)足Hamilton正則方程，則可以得到作用量與兩端狀態(tài)的關(guān)系：dS =- AjJdXo.(6)非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法1195下面考慮以式(6)為出發(fā)點(diǎn),研究?jī)啥藸顟B(tài)作為獨(dú)立變量情況的多層次保辛算法求解非線(xiàn)性 最優(yōu)控制問(wèn)題.2以初始狀態(tài)變量必和終端狀態(tài)變量“為獨(dú)立狀態(tài)變量的保辛算法將整個(gè)非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的求解時(shí)間(0山)等分成./個(gè)子區(qū)段，子區(qū)段的

10、長(zhǎng)度為其 中第j個(gè)子區(qū)段內(nèi)的狀態(tài)變量x(f)與協(xié)態(tài)變量入分別采用等間距加-1和"-1次Lagrange 插值：x(O = (M, ®I) j + (A/®/) i. +x,.,(7)A(O = (V®/) A.,(8)其中，巧“和巧表示第j個(gè)子區(qū)段最左端和最右端的狀態(tài)變量，而無(wú)由第j個(gè)子區(qū)段中間插值點(diǎn) 的狀態(tài)向量組成人由第j個(gè)子區(qū)段所有插值點(diǎn)的協(xié)態(tài)向量組成.由于將區(qū)段最左端和最右端 的狀態(tài)變量作為獨(dú)立變量，因此它們用普通的兀鬥和兀表示，而其他不獨(dú)立的狀態(tài)向量和協(xié)態(tài) 向量用形和人表示方程(7)和(8)中的/表示單位矩陣.其他符號(hào)的含義如下：M二也，也,-,

11、(9)N 范 N、,N“ ，NJ,(10)并且.t 1- t (7 1)77/(77? 1). ./ii也=11 ( I，.、( , “1,2,皿，(11)(12)yy _ fl f _ (八 1 ) ”( _ 1) * ；=i(i j)y/(n 1)符號(hào)g表示矩陣的Kronecker積,其意義為：k xl維矩陣A和sxt維矩陣B的Kronecker積為ks x It維矩陣A (g)B可以采用如下式子表示:(iuB 5B(13)A (x) B =:.:gB aklB將方程(7)和(8)的近似狀態(tài)和協(xié)態(tài)向量代入方程(4)表示的作用量，可得到22，無(wú),舛)=JJ (A*x -/(x,A)y(l/.

12、(14)Sj(XjZ)=statV/(x._I,xpxpAy) 因?yàn)榉匠?15)的駐值條件有方程(6)表明若認(rèn)為在域內(nèi)已經(jīng)滿(mǎn)足微分方程，則作用量應(yīng)該僅是兩端狀態(tài)的函數(shù)，因此第j 個(gè)子區(qū)段內(nèi)的近似作用量為(15)dA.j二1,2,，/(17)(16)將所有子區(qū)段的近似作用量Sg 沖 相加，并對(duì)中間的狀態(tài)取駐值，可得到整個(gè)區(qū)域的近似 作用量，即非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法#非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法#s（w）.戕（孕（宀）， 因此有7(18)(19)as, as,、 于+ 嚴(yán)=0,;= 1,2,-,./- 1.d Xj3 x.得到整個(gè)求解區(qū)域上的近似作用量5（x0,xy）后，

13、根據(jù)方程（6）可給出(20)、 as 、 as° 紙o' J dXj因此，非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題被轉(zhuǎn)換為一組非線(xiàn)性方程（16）.（ 17）、（ 19）和（20）的求解由 于非線(xiàn)性方程組的由來(lái)是基于對(duì)偶變量變分原理的所以說(shuō)這種求解非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題算 法是一種保辛的數(shù)值方法.為了方便實(shí)施計(jì)算,首先做如下定義：dS山,(21)汨丿:弦1入W g薯）'吩鐵訂制去,F=蛍:f， a m o其中 x（0 =（麻®I） X., + （Af ® Z） X. + （.億 ®/） Xy,則方程（16）、（17）、（19）和（20）可以表示為F + Ao =0；

14、= 0；= 0；+ Fi =0；- Aj = 0.=- Mm ® dH(22)(23)(24)（25） 本文采用Newton法求解非線(xiàn)性方程組，因此需要計(jì)算非線(xiàn)性方程組的Jacobi矩陣將所非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法1197有向量排列為站；耳,心対用禹用;廚閃,x；T,方程組（25）按順序?qū)λ邢蛄壳髮?dǎo) 可得到Jacobi矩陣其形式為（26） 方程（26）中的具體元素的表達(dá)見(jiàn)附錄同時(shí)可得到非線(xiàn)性方程組Newton迭代所需要的右端 向量為(F 嚴(yán))(F/+,)r 丁(27)至此,完成了 Newton法求解非線(xiàn)性方程組的所需的Jacobi矩陣式(26)以及右端向量式(27 )

15、 從方程(26)可以看岀Ja(ol)i矩陣為稀疏帶狀對(duì)稱(chēng)矩陣，采用稀疏帶狀對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)性代數(shù)方程組 求解算法可獲得良好的計(jì)算效率這里需要注意的是Jacobi矩陣的對(duì)稱(chēng)性正是算法保辛性質(zhì) 的體現(xiàn).在計(jì)算中，還應(yīng)該結(jié)合非線(xiàn)性最優(yōu)控制的終端邊界條件(終端狀態(tài)固定、自由)對(duì)Jacol)i 矩陣式(26)與右端向量式(27)做相應(yīng)的修改對(duì)于初始狀態(tài)必給定，而終端時(shí)間固定和終端狀態(tài)自由的邊界條件，未知變量為耳，口川臥足，理;巧,A；/；1；需要?jiǎng)h除Jacobi矩 陣K的前d行和前d列(d是狀態(tài)向量兀的維數(shù))，刪除右端向量F的前d行然后，求解得到未 知變量后，進(jìn)一步再利用以下方程求解協(xié)態(tài)變量，即(28)非線(xiàn)性最

16、優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法#非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法#對(duì)于初始狀態(tài)X)給定，而終端時(shí)間固定和終端狀態(tài)固定的邊界條件，未知變量為耳,入“:;云,足,£；用,罔八 需要?jiǎng)h除Jacobi矩陣的前/行和最后d行以及前d列和最后/列，并刪 除右端向量的前d行和最后d行通過(guò)求解得到未知變量,進(jìn)一步再利用以下兩個(gè)方程求解協(xié) 態(tài)變量，即入/ =豊=I 伉” A - M,” ® 薯)f (30)以上對(duì)邊界條件處理的說(shuō)明是為了容易理解,具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程中為提高效率，對(duì)不同邊界條件可(29)非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法#直接形成Jacobi矩陣和右端向量.3保辛多層次算法

17、以上部分給出了以區(qū)段兩端狀態(tài)為獨(dú)立變量的保辛算法，用以求解非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題. 而這種保辛算法歸結(jié)為非線(xiàn)性方程組的求解，那么非線(xiàn)性方程組迭代速度的快慢便成為非線(xiàn) 性最優(yōu)控制在線(xiàn)實(shí)施的主要決定因素因此，本文進(jìn)一步提出一種多層次求解算法，以提髙非 線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的求解速度，其主要思想是先在比較粗的網(wǎng)格劃分上求解，然后將粗網(wǎng)格上 的解插值到密網(wǎng)格上作為初值，再迭代求解具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：1) 對(duì)給定求解時(shí)間區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)的非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題，最終希望得到將求解區(qū)域等分 為2丫份時(shí)的解；2) 首先將求解區(qū)域等分為2%(他 /V)份，并選取迭代初值，記k =3) 按照本文的保辛算法求解非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題，

18、求得各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)變量和協(xié) 態(tài)變量；第點(diǎn)-1層圖1多層次遞推實(shí)現(xiàn)4)如果達(dá)到1)的劃分要求，則結(jié)束；否則將 時(shí)間網(wǎng)格劃分加密一倍，并記+ 1,然后將狀 態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量通過(guò)Lagrange插值分配到新增 的時(shí)間點(diǎn)上即通過(guò)插值式(7)和式(8)實(shí)現(xiàn)狀態(tài) 變量與協(xié)態(tài)變量的分配示意圖如圖1所示；非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法12035)返回第3)步.多層次求解算法開(kāi)始時(shí)，時(shí)間網(wǎng)格離散的區(qū)段數(shù)較少，因此非線(xiàn)性代數(shù)方程組的維數(shù)小, 并且收斂精度控制得較低,故迭代的計(jì)算量不大當(dāng)逐步加密網(wǎng)格劃分時(shí)，計(jì)算已經(jīng)繼承上一 次i十算的結(jié)果雖然不理想但狀態(tài)變量與協(xié)態(tài)變量對(duì)真解的近似已經(jīng)好多了，故迭代的收

19、斂會(huì) 加快，迭代次數(shù)會(huì)降低.4數(shù)值算例算例1為了說(shuō)明算法在不同參數(shù)下的計(jì)算精度與效率問(wèn)題，首先考慮一個(gè)終端狀態(tài)固 定的非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題，極小化性能指標(biāo)如下：人二 t J(X + U2)(1/,2丿0系統(tǒng)的微分方程及初始與終端狀態(tài)為% = 2% + 2u-Jx , %(0) = 2, %(5) = 1.此問(wèn)題具有解析解最優(yōu)狀態(tài)x*(/),協(xié)態(tài)入氣()與控制輸入/Q)分別為= (8.483 061 678 223 284 884 5 x l(V4e屈 +1.413 365 256 205 272 720 3-e_7T/)2,A *(/) = ( - 1.490 388 765 892 852 x

20、+ o.ooi 198 966 464 225 +2.411 318 132 612 103e-2)/(x*(0),zz *(O =- 2( 0 A "(f)通過(guò)大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，狀態(tài)變量的插值參數(shù)加與協(xié)態(tài)變量的插值參數(shù)的最佳匹配情 況是皿二 +1，這種搭配計(jì)算精度與效率能夠達(dá)到最佳因此，在這里將狀態(tài)變量與協(xié)態(tài)變量 分別采用m =2,7? = 1 ；ni =3,7? =2和m = 4,n = 3這3種插值方法求解此問(wèn)題將求解區(qū)域等 分為16份，狀態(tài)變量、協(xié)態(tài)變量與控制輸入的數(shù)值精度如圖2所示，其中虛線(xiàn)、點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)和實(shí)線(xiàn) 分別表示m =2,7? = 1 ；?7? =3= 2和7 =4,n

21、= 3計(jì)算的結(jié)果，可以看到隨著插值次數(shù)的增加,計(jì)算精度也隨之提高圖3給出了性能指標(biāo)隨步長(zhǎng)減小的變化情況，可以看到隨著步長(zhǎng)的減 小，性能指標(biāo)趨于收斂狀態(tài)變量、協(xié)態(tài)變量與控制輸入的數(shù)值精度隨步長(zhǎng)減小的變化如圖4 所示，從圖4可以計(jì)算得到本文算法的精度，即參數(shù)為 2 =2,z? = 1 ；/7? = 3,n =2和m =4,a = 3 這3種情況下，算法分別為2階、4階和6階精)5. Hamilton函數(shù)的相對(duì)誤差如圖5所示.對(duì)于此問(wèn)題，假如將求解區(qū)域劃分為"份,即可宜接求解，也可按照第3節(jié)的多層次算法 求解在多層次求解過(guò)程中,我們首先將求解區(qū)域劃分為2%(他 N)份，然后按照第3節(jié)的 多

22、層次算法求解表1給出了多層次求解與直接求解的計(jì)算效率比較，可以看到多層次求解比 直接求解的效率顯著提高.表1多層次求解與直接求解CPU時(shí)間的比較(飩=4)N =5N =6N =7N =8N =9N 二 10多層次求解(加=2,”=1)0. 1938710. 28()8160.5858000.9564651.3835912.781 027直接求解(皿=2,n =1)0. 2387460.5275951.2514142.3262524.6562208.859 753多層次求解(m=3,71=2)0.2720810.4311580.7548521.2916982.2768724.493 142直接求

23、解(皿=3=:2)0. 3495190. 9055911 690 4733.7314067.77969220. (X)6 846多層次求解(加=4=3)0. 362()73().71()1311.1781311.8873483.6761047.495 801直接求解(m =4=:3)0. 7063641.5585773.116()715.79141110.85635529.247 ()88加=4 n=3加=3,=2m=2.n=m=4.n=3加=3, n=2m=2, w = lw=4, w=3/w=3, w=2m=2, w = l圖2狀態(tài)、協(xié)態(tài)與控制輸入的相對(duì)誤差 (m = 2= 1 ；z

24、87; = 3 m = 2 ；圖3性能指標(biāo)隨不同時(shí)間步長(zhǎng)的變化（t = 5/2v；Az = 2,3,。）w=4, w=3m = 4, n = 3)圖4 狀態(tài)、協(xié)態(tài)與控制輸入隨不同時(shí)間圖5 Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差隨不同步長(zhǎng)變化的相對(duì)誤差時(shí)間步長(zhǎng)變化情況算例2本算例考慮另一種邊界條件，即考慮一個(gè)終端狀態(tài)自由的強(qiáng)非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn) 題其性能指標(biāo)為r ifJe = 2%|(zf) + 2 兀;(“)+(x, + %2 +，)(k,J 0系統(tǒng)的微分方程及初始狀態(tài)為X| = ( 1 - x - %2 )X1 一兀2 + "，X,(0) = 0,x2 = x,%2(0) = 3 由于這個(gè)強(qiáng)非線(xiàn)

25、性最優(yōu)控制問(wèn)題沒(méi)有分析解，因此采用Matlab提供的l)v,)4c函數(shù)求解H“mil 伽兩端邊值問(wèn)題，得到的系統(tǒng)狀態(tài)/，協(xié)態(tài)入)與控制輸入/(/)作為參考解(其中 hvp4c函數(shù)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差選項(xiàng)分別設(shè)定為1()-12和10-*°).同樣,根據(jù)大量的數(shù)值計(jì)算，狀態(tài)變量的插值參數(shù)加與協(xié)態(tài)變量的插值參數(shù)的最佳匹配 情況是m = n + 1.因此，在這里仍然將狀態(tài)變量與協(xié)態(tài)變量分別采用m = 2 , z? = 1= 3，/?= 2和加=4,n =3這3種插值方法求解此問(wèn)題將求解區(qū)域等分為16份時(shí)狀態(tài)變量、協(xié)態(tài)變量與 控制輸入的相對(duì)誤差如圖6所示，其中虛線(xiàn)、點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)和實(shí)線(xiàn)分別表示m =

26、2,n = 1 = 3,w =2 和m=4.n=3計(jì)算的結(jié)果，同樣隨著插值次數(shù)的增加，計(jì)算精度也隨之提高圖7給出了性能 指標(biāo)隨步長(zhǎng)減小的變化情況，可以看到隨著步長(zhǎng)的減小，性能指標(biāo)趨于收斂狀態(tài)變量、協(xié)態(tài)變量與控制輸入數(shù)值計(jì)算精度隨步長(zhǎng)減小的變化以及Hamilton函數(shù)的相對(duì)誤差如圖8和圖9所 示.從圖8中可以計(jì)算得到本文算法的精度，從左到右在參數(shù)為m = 2 , n = 1 ； m =3,幾二2和 zn=4,n=3的情況下算法分別為是2階、4階和6階精度表2給出了多層次求解與直接求解的計(jì)算效率比較，同樣可以看到多層次求解比直接求 解的效率顯著提高.圖7性能指標(biāo)隨不同時(shí)間步長(zhǎng)的變化(t = 6/2

27、' ； N = 4,5,()圖8狀態(tài)、協(xié)態(tài)與控制輸入隨不同時(shí)間圖9 Hamilton函數(shù)相對(duì)誤差隨不同非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的保辛多層次求解方法1205時(shí)間步長(zhǎng)變化情況步長(zhǎng)變化的相對(duì)誤差表2多層次求解與直接求解CPU時(shí)間的比較（A； = 4）N =5N =6N =7N =8N =9N =10多層次求解（m :=2tn=1)0. 1491320. 2823060.5226660.9720411.7412153.86873()直接求解（m =2=:1)0. 1724330.3349830.7650281.4381752.7133925.360466多層次求解（m := 3,”=2)0. 238

28、5970.3652850.6906891.4573582.9531556.655046直接求解（加=3,” =:2)0. 28()5000.5494771.2622982.2304304.4133728.810797多層次求解（加：=4.n=3)0. 3846430.5981301. 1309182.2997524.8567729. 128909直接求解（巾=4=:3)0.4438850.9236()41.9611413.6850397.39452315.1614345結(jié) 論采用對(duì)偶變量變分原理并以時(shí)間區(qū)段兩端狀態(tài)為獨(dú)立變量,將非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為非線(xiàn)性方程組的求解，此方法可保持原Ham

29、ilton系統(tǒng)的辛幾何結(jié)構(gòu)多層次的求解思想進(jìn) 一步提高了非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題的求解效率使得在線(xiàn)實(shí)時(shí)計(jì)算成為可能通過(guò)數(shù)值算例得到 如下結(jié)論：1 )大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，狀態(tài)變量的插值參數(shù)皿與協(xié)態(tài)變量的插值參數(shù)的最佳匹配情況 是m = n + 1,這種參數(shù)搭配計(jì)算精度與效率能夠達(dá)到最佳，此時(shí)的算法精度為2階；2) 非線(xiàn)性最優(yōu)控制的性能指標(biāo)隨網(wǎng)格加密而趨于收斂，而Hamilton函數(shù)的相對(duì)誤差隨 網(wǎng)格加密也越來(lái)越小；3) 在采用本文保辛算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)施多層次求解算法，可顯著提高求解效率.附 錄每個(gè)子區(qū)段內(nèi)子矩陣K的具體表達(dá)式：略(M網(wǎng)®笄)山，丿o a x丿j% =-f(A/.Af

30、4;0) dt = (K£)T,K 厶=f 他n 3-MN 0 翳)d/ = (KJ,昭(mm器)dt = (KU，理ar.&3 = J：dt = (K£)T,略=-fJ® 0) dt = (KGSK. =-fJ 何N® 需)<k,K£ = JJf =(&JT,m a x 丿 j致謝 感謝大連理工大學(xué)青年教師培養(yǎng)基金和大連理工大學(xué)理學(xué)基金(SFDUTO7OO2)對(duì) 本文的資助.參考文獻(xiàn)：| 1 |Sage A P, White C C. Optimum Systems Control M . New Jersey: Pre

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