3第3講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

1、第3講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教材回顧夯實(shí)基礎(chǔ)一謠水溫故，追根汞捅1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin( a±就=sin acos 6icos osin B;知識梳理cos(«? 8 = cos_ ocos_ B為in_ _ <sin_ tan a立an 3 f . _ 7A一、，. 兀，一 ' tan("±/1? tan癡Bg，曲不為l2, k”J2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 a= 2sinocos a;cos 2 a= cos2 a sin2 a = 2cos2 a 1 = 1 - 2sin2 a；2tant

2、an 2 a= 1 ta.2 a, 2 涸不為 k 計(jì) 2, k Z /提醒三角函數(shù)公式的變形(1)tan a±tan 3= tan( a±3)(1? tan atan 肌小、21 + cos 2 a c；/(2)cos a= 2，sin a=1 cos 2 a2，2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos a)，1 sin 2 a= (sin a cos a)2, sin a±cos a= #sin a±4j3.三角函數(shù)公式關(guān)系利用皿俁土q令R= a 4兩式相除| 令左aI加兩式相除兩式相除基礎(chǔ)自測，O判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打“

3、x”(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角a, 3是任意角.(2)兩角和與差的正切公式中的角 3是任意角.(3)cos 80° cos 20° - sin 80° sin 20° = cos(80° 20°、1，、)=cos 60 = 2.()tan a(4)公式 tan(a+ 3)= 1 _tantan a + tan 3 = tan( a+ 9(1 tan a tan3 ),且對任意角a, 3都成立.()(5)存在實(shí)數(shù) a,使 tan 2 a = 2tan a .()答案：(1)，(2)X (3)X (4)X (5)，0 （教材習(xí)

4、題改編）已知cos 55 是第三象限角，則A 二10B.10D.7.23解析：選A.因?yàn)閏os a=,5“是第三象限的角,所以 sin a= 1 1 - cos. 民=3)245'所以cos（4+力=7171cos 4cos a sin sin a=，3、 ，_、 2 (-5)- 2 (-5) =210.（2017高考江蘇卷）若tana 4 J= 6,則 tan a=解析：tan a= tan1 tan 4兀an 4加工15.1 6答案：75Sn sin 15平sin 75的值是解析：sin 15 4 sin 75 = sin 15 4 cos 15 =A/2sin(15。+ 45&#

5、176;) =小sin 60 =乎.答案:-26典例剖析上考點(diǎn)突破名師導(dǎo)悟以例說法考點(diǎn)三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用例1典例引領(lǐng)（2017高考全國卷I ）已知 正0, 2 I；, tan a= 2,則cos(2)(2018 廣州市綜合測試 (一)已知 f(x)=sinx+61,若 sin “= |(【解析】因?yàn)榇?”，2),且 tan “=黑；=2,所以 sin a= 2cos % 又 sin2“+ cos2 a= 1,所以sin,5cos a=三，貝 cosa4 f= cos acos 4c + sin osin 4c:3 ：1010，兀,、，、cos（+ 勸為（）4(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法

6、、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.通關(guān)練習(xí)“3 工作1.已知sin a= g,"號tan(危3) = 2,則tan(a 3)的值為().2A.- 1111 C.y-11D.-.一 . 一 ,3解析：選A.因?yàn)閟in a= _ 52'所以COS a= #1 Sin2a=45'所以- Sin a 3tan a=-cos a 4因?yàn)閠an(份=1=tan 3,所以 tan 3= -1 2t2'則 tan( atan a tan B 2=1 + tan otan 3112.(2018湖南省東部六校聯(lián)考)已知角a為銳角，若cos葉6 <= 4,則sin 2計(jì)；加值為

7、()八12A.25c 24B.25-24C- -25-12D- -257171解析：選B.因?yàn)閍為銳角，COS4>0,所以為銳角，Sin ! a+56161'" COS2(+615，所以 sin|2a+31= 2sin Q+6)osQ+3,熱£故選B.(2)因?yàn)?Sin a= 5 &< 00兀；所以 COS a= 5,所以.2.2Sin a+ 2 COS a= 一 y0.【答案】嗜反思利用三角函數(shù)公式應(yīng)注意的問題(1)使用公式求值，首先要注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和符號變化規(guī)律.例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反(2)使用公式求值，應(yīng)注意與

8、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.考點(diǎn)三角函數(shù)公式的活用(高頻考點(diǎn))三角函數(shù)公式的活用是高考的熱點(diǎn)，高考多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，研究三角函數(shù)的性質(zhì)和解三角形常應(yīng)用三角函數(shù)公式.高考對三角函數(shù)公式的考查主要有以下兩個命題角度：(1)兩角和與差公式的逆用及變形應(yīng)用;(2)二倍角公式的活用.典例引領(lǐng)I：角度一兩角和與差公式的逆用及變形應(yīng)用例三11. 2 兀 、，(1)已知 sin a+ cos a= 則 sin (4 a)=(c 17B-188C.9(2)在 ABC 中，若 tan Atan B = tan A+tan B+1,則 cos C 的值為()A¥D.C -C.2【

9、解析】(1)由sin a +cos a =1兩邊平方得1 + sin 2 a =1, 39解得sin 2 a =8- 91 cos ( 2 2 a)所以 sin2(j 4 =21 sin 2 a 1+9 17 =2218.tan A+ tan B一一一 一由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得 i iAtan B= 一,即 tan(A+B) = T，又 A+BC (0,兀)所以 A+B=?則 C = :, cos C =乎.【答案】(1)B (2)B口角度二二倍角公式的活用例2-2cos 15° sin 15°cos 15 sin 15°【解析

10、】 法1 tan 15°1 + tan 15°tan 45° tan 15°1 + tan 45° tan 15°= tan 30。法二:原式=善篝Fcos 15° cos 45° sin 15° )cos 15° + cos 45 sin 15° )1sin 30 ° _ 2 變sin 60°33 ."2"、4一1'cos 15 - sin 152 1 - sin 30法二：因?yàn)椋?；Qos 15 + sin 15 ) 1 + sin

11、3013.p cos 15° sin 15°。又cos 150 + sin 15° >0,所以cos 15° sin 15°cos 15° + sin 15,33 .規(guī)律方法三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan a + tan 3 = tan( a+ 3) (1 tana tan B）和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路,培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用.通關(guān)練習(xí)1. (

12、1tan215° )cos215° 的值等于(B. 1A 137taA.2解析：選 C.(1-tan1 215° )cos215° = cos：,215° - sin215=cos 30°2.（2018河北衡水中學(xué)三調(diào)考試）若代吟，叼：且3cos 271a= sin 二一%；則sin 2 a的值為（）. 工A. 181B.18c 17C, 1817D.18解析：選 C.由 3cos 2a= sin a.得 3(cos2a sin2o) =乎(cos a- sin o),又由 呈知 cos a sin aWQ 于是 3(cos a+ s

13、in 4 =坐，所以 1+ 2sin a cos a= J, 故 sin 2 a= 17.故21818選C.角的變換典例引領(lǐng)1tan(a-四=2，則 tan( a+ 3)等于例3（2018四川成都摸底）已知sin 2k 3 < 2 a< 6,()B. 1A. 2C.211D.-211(2)(2018 六盤水質(zhì)檢)已知 cos a= 1, cos(a+ 份=1,且 a、33S' 2i 則 COS(“ 9 的值等.1A. - 21B.223D.27【解析】(1)因?yàn)?sin 2 a= 5, 2a g,兀)4所以 cos 2 a=-, 5tan 2 a= - 7，4tan( a+

14、 =tan2 a ( a 3)=tan 2 a tan ( a一廿 0 2.1 + tan 2 atan ( a份（2）因?yàn)榇? l所以2代（0,兀因?yàn)?cos a= 1,所以 cos 2 a= 2cos2 a- 1 = - 7, 39所以 sin 2 a= 1 cos22 & = 42, 9而 a,躍o, 2 ,所以 a+ 3 (0,兀)所以 sin( a+ -=M1 一 cos2 ( a+ 02,23所以 cos( a 3=cos2a ( a+ 即=cos 2 ocos( a+ 就+ sin 2 «sin( a+ 份【答案】(1)A (2)D若本例(2)條件不變，求co

15、s 2 3的值.解： 因?yàn)?COS a= 1, COS( a+ 份=1,且33代,，2 所以a+ 3 (0,兀所以 sinsin( a+ 9 = ",33COS 3= COS( a+ 9 耳=cos( a+ 份COS a+ Sin( a+ 就Sin a1 1 2.2 2.2 7 一3寸3得=9.所以 Cos 2 3= 2Cos2 3- 1 = 2；-1=81.角的變換技巧當(dāng)“已知角”有兩個時，一般把 “所求角”表示為兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當(dāng)“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把變成“已知角”(3)常用拆分方法:2 a=

16、( a+3 + ( a就，a= ( a+四一氏片； a+ 3 民3 民3-21通關(guān)練習(xí)1.已知 tan(a+3)=1, tana-31= : 則 tanB.22 A3C.4解析：選B.tanW，一, ，小3 尸 tan ( “+ 3 tan ( a+ 3)-tan S3)1 + tan ( a+ tan-511 2.1 + 1與2.(2018湖南郴州模擬)已知厭?，n:sina+4j= 45,則 tan a=解析：因?yàn)閍 0, 4 .4 sin " 4 廠 5,所以cos回一4廠sin2! a+工134廠5'所以tan "413,所以 tan a= tan17.答案

17、：7課堂小結(jié)K運(yùn)用三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的直接應(yīng)用，還要熟悉公式的逆用及變形，如tana+ tan 3= tan( a+ 3) (1 - tan otan和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.易錯防范(1)在使用兩角和與差的余弦或正切公式時運(yùn)算符號易錯.(2)在(0,兀范圍內(nèi)，sin(“+3 =乎所對應(yīng)的角3不是唯一的.分層演練直擊高考基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)尸1.計(jì)算一sin 133° cos 197° cos 47° cos 73° 的結(jié)果為()1A.b.TC.D.解析：選 A. sin 133

18、° cos 197° cos 47° cos 73=sin 47° ( cos 17° ) cos 47° sin 17°。 一 1= sin(47 17 )=sin 30 =5.2.已知 sin 16c a' cos * + “j,則 tan a=()A. - 11C.解析：選 A.因?yàn)?sin 6- a 尸 cos6+ ay,所以 Los a當(dāng)sin a=*cos a Lin a, 2222'所以 g-¥n a=償-2)os a,B. 0D. 1所以 sin a= cos a,所以 tan a=

19、 1.3.若tan I a+y H1,則 sin a 等于(473A.54B.5C.D.解析:選A.因?yàn)閠antan a+ 1所以 tan a= = sncos a所以cos a= - 3sin 以又因?yàn)閟in2a+cos a= 1 ,所以2 且 sin a= 25.sin3a= 一5.4.已知 cos 6一sin 66 2 a 的值為(1 A3B.2 C.3D.=cos-2 a i= 2cos26- a：T = 2X3313.5.(2018 24_ 兀蘭州市頭戰(zhàn)考試）sin 2 k 25, 0嗔,則2B.5C.7D.5解析:選 D. ,2cos2 cos a+ 2 sinaj= sin a+

20、 cos a,又因?yàn)?sin a+ cos a)2= 1+ 2sin ocos a= 1 + sin 2 a= 29， 0< a<2,所以 sin a+ cos a= 7 故選 D.6. （2018貴州省適應(yīng)性考試）已知4 a是第二象PM角，且 cos（ "+兀）=«,則5tan 2 a=解析:由 cos( T& o) = cos得cos a= - 4,又a是第三象限角，所以 sin a= tan 553 ”一4,2tan a故 tan 2 a= >2 ：1 tan a247 .答案:2477 .已知 sin( a份cos a cos( 3- a)

21、sin a= 5，3是第三象限角，則sin 時學(xué)j=解析：依題意可將已知條件變形為sin( a- 3)- a = - sin 3=1, sin 3= 55又3是第三象限角，因此有 cos 3= L.5., 5 兀'i / c ,%.c 兀兀 7>/2sin 計(jì) 了 廠一sin(汁 4)=sin /os 4 cos 出in 4=0".答案:看解析：由 sin a sin 3=1一,得(sin a- sin 2= - 1 8 . (2018 蘭州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬)若 sin a- sin 3= 1專,cos a- cos 3= 2，則 cos(“一 3 =即 sin2 a+

22、sin2 3 2sin osin 3= 724一事,由 cos a得 cos2 a + cos2 3 2cosc 1c cos B = 一，4+得，2sin a sin3 + 2cos a cos3 =淄,即 cos(a- 3 =坐.9.已知 tan a =2.sin 2 a"/上(2)求sin2in a cos -cos 2 - 1 的值解：(1)tan兀兀.tan n 72+1a + - 1= 3.4 J工 1-2X11 tan a tan )4sin 2 a化)sin2 a + sin a cos a cos 2 a 12sin a cos asin2 a + sin a co

23、s a - 2cos2 a2tan a2X 2tan2 a + tan a -2- 4+2-2=1.10.已知函數(shù) f(x)=Asin x+3 <,"且好乎.(1)求A的值;(2)若 f( 0 f( = V3,!o,2),求cos。的值.解：噫1Asin凈3 .卜a而務(wù)當(dāng)a=乎,所以A=3.(2)f(0)-f(- = 3sin3.1=3. 一兀，八.Sin ecos 3+cos Osinf 公 兀1 sin 9cos 3+ cos Osin= 6sin (cos 3- = 3sin 0= yf3,所以sin 0=等.又因?yàn)? ；0,能力提升所以 cos 0=寸1 sin2。=1

24、. （2018山西太原五中模擬）已知角“為銳角，若sina-6 = 3,則 cosa-3¥ ()2 '6+ 1 a.-632B. 82 .反1D. 6解析：選A.由于角a為銳角，且sina6J= 3,則cos222 mtta- g 尸 3，則 cos廣3=cosacos Ls 6 + sinin 6=平坐+3步平. 兀 i.冗 _ I2. （2018河南百校聯(lián)盟聯(lián)考）已知a為第二象限角，且tan a+ tan - =2tan龍an工一2,則B3B. 103 ,：10 DFAT3 ,10C10兀2,因?yàn)閍tan a+ tan 12解析： 選 C.tan a+ tan 12

25、9;= 2tan 龍an 6一2?= - 2? tan a+1 tan dan 12為第二象限角，所以sin C+ 12 ''廠 255, cos C+ 12 "=弋,則 sin "涔sin C-6 ；=.r兀、兀- r,兀、.兀./，兀、兀3/10 Sin g 區(qū)L 4 1 cos卜+ - sin 4-sin卜+ 12 cos 4 一卷.3. (2018安徽重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)若 代改, 2: cos5“尸242cos 2%則sin 2 a=.2一 一斛析：由已知得 2 (cos a+ sin a)= 2/2(cos a sin o) (cos a+ sin a

26、),1所以 cos a+ sin a= 0 或 cos a sin a=二 4.由 cos a+ sin a= 0 得 tan a= 1,因?yàn)樨礽0, 2j,所以tan a>0,所以cos a+ sin a= 0不滿足條件;由cos a sin a=。兩邊平方得 1 一 sin 2 a= 工, 416 ,15所以 sin 2 a=.15答案：16aj3cos A+ sin A4. （2018鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測 ）AABC的三個內(nèi)角為 A、B、C,若毛tan寸 3sin A cos A7吟 121則 tan A=后r/l/3cos A+ sin A解析：+2sinA+3i；2sin A6sinH + 3)cos A+ 3.=-tan a+ 3 i= tan AV3sin A cos A= tan7 C也 |、. Tt .7 Tt7 71Tt., 3 TtI,兀p12 所以A 3= k 兀i