獨(dú)家整理柯西積分公式

1、整理課件第五節(jié)第五節(jié) 柯西積分公式柯西積分公式 一、問(wèn)題的提出二、柯西積分公式三、典型例題四、小結(jié)與思考整理課件一、問(wèn)題的提出 . , 0中中一一點(diǎn)點(diǎn)為為為為一一單單連連通通域域設(shè)設(shè)BzB ,d)( 0 Czzzzf一一般般不不為為零零所所以以 .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果zzzzfBzf 根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 該積分值不隨閉曲線該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變的變化而改變, 求這個(gè)值求這個(gè)值. .0的閉曲線的閉曲線內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞為為zBC整理課件, , 00 zzzC的正向圓周的正向圓周半徑為很小的半徑為很小的為中心為中心取作以取

2、作以積分曲線積分曲線 , )( 的連續(xù)性的連續(xù)性由由zf , )( 0處的值處的值接近于它在圓心接近于它在圓心的縮小而逐漸的縮小而逐漸的值將隨著的值將隨著上函數(shù)上函數(shù)在在zzfC )(.d)( d)(000縮縮小小將將接接近近于于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 整理課件二、柯西積分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)

3、D 0zC證證 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在因?yàn)橐驗(yàn)閦zf, 0 則則, 0)( 整理課件D 0zCK , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的的內(nèi)內(nèi)部部全全在在的的正正向向圓圓周周半半徑徑為為為為中中心心設(shè)設(shè)以以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0則則 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000整理課件 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足夠小足夠小, 左端積分的模就左端積分的模就可以任意小可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形

4、原理知, 左端積分的值與左端積分的值與 R 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 所以只有在對(duì)所有的所以只有在對(duì)所有的 R 積分值為零時(shí)才有可能積分值為零時(shí)才有可能.證畢證畢 Czzzzfizfd)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式柯西介紹柯西介紹 Kzzzzfzfd)()(00整理課件關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明: :(1) 把函數(shù)在把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積

5、分而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是是圓圓周周如如果果.d)(21)(2000 ieRzfzf整理課件三、典型例題例例1 1解解 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求求下下列列積積分分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析因因?yàn)闉閦zf , 4 0內(nèi)內(nèi)位位于于 zz整理課件 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212

6、 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西積分公式由柯西積分公式0sin221 zzii整理課件例例2 2 2.d1 zzzze計(jì)計(jì)算算積積分分解解 , )( 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析因因?yàn)闉閦ezf , 2 1內(nèi)內(nèi)位于位于 zz由柯西積分公式由柯西積分公式122d1 zzzzeizze.2ie 整理課件例例3 3.d)1(1 212 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在因因?yàn)闉?izzf,0iz 由柯西積分公式由柯西積分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizziziz

7、zi )(122212ii . i 整理課件例例解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表表示示正正向向圓圓周周設(shè)設(shè) 根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知, , 內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí)在在當(dāng)當(dāng)Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 內(nèi)內(nèi)在在而而Ci ).136(2)1( iif 所所以以整理課件例例5 5;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 整理課件例例5 5;211 (2): ,d

8、14sin 2 zCzzzC其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解整理課件 22d14sin)3(zzzz由閉路復(fù)合定理由閉路復(fù)合定理, 得得例例5 5. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中計(jì)計(jì)算算積積分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 整理課件例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并并證證明明求求積積分分解解根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知, 1dzzzze02 zzei;2

9、 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 整理課件 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因?yàn)橐驗(yàn)?cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比較兩式得比較兩式得.d)cos(sin0cos e整理課件課堂練習(xí)課堂練習(xí).d)1( 32 zzzzze計(jì)計(jì)算算積積分分答案答案1, 1, 0 zzz有三個(gè)奇點(diǎn)有三個(gè)奇點(diǎn)).2(d)1( 132 eeizzzezz整理課件四、小結(jié)與思考 柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式柯西積

10、分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式, 它的證明基于柯西它的證明基于柯西古薩基本定理古薩基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過(guò)積分表示邊界上的值通過(guò)積分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函數(shù)的重要工具數(shù)的重要工具. Czzzzfizf.d)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式:整理課件思考題思考題 柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的, 能否推能否推廣到無(wú)界區(qū)域中廣到無(wú)界區(qū)域中?整理課件思考題答案思考題答案可以可以. , )( 要做一些限制要做一些限制但對(duì)函數(shù)但對(duì)函數(shù)zf , )( 上上解解析析及及邊邊界界在在設(shè)設(shè)CGzf )(, 0, 0( )( , zfRzRzfz時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)即即一一致致趨趨于于零零時(shí)時(shí)并并且且當(dāng)當(dāng) , 內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)則則對(duì)對(duì)G ,d)(21)( Czzzfif 有有