重積分練習(xí)題含答案

1、第十章重積分練習(xí)結(jié)論1如果積分區(qū)域 D關(guān)于y對稱，D! =(x, y)(x,y)D, x _ 0則9當(dāng) f(x,y) = f(x,y)時U f(x,y)db(x,y)db 當(dāng) f (x,y) = f (x,y)時DDi結(jié)論2：如果積分區(qū)域 D關(guān)于x軸對稱，D1二(x,y)(x,y) D, y _ 0則f(x,y)d 二D02”f(x, y)dbDi當(dāng) f(x,-y) =-f(x,y)時 當(dāng) f(x,-y)二 f(x,y)時結(jié)論3：如果積分區(qū)域 D關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，則°f(x,y)d、_ 二 2 f (x, y)d rD當(dāng) f (-x,-y)二-f (x, y)時 當(dāng) f (-x,-

2、y)工 f(x, y)時其中 Di =(x, y)(x,y)w D, xO結(jié)論4：如果積分區(qū)域 D關(guān)于直線y=x對稱，則f (x,y)d、 ii f(y,x)d二DD練習(xí)11求 I = JJ y x2dcr，其中 D: 1WxW1,0 蘭 y 蘭2Dbxb2.證明dx f(y)dy 二 f(y)(b-y)dy ( f 連續(xù))aaabb 123.設(shè)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，且f(x) 0 ,試證明 f(x)dxdx(b-a)a、a f (x)4.計算 11 x 1 - yf (x2 y2) dxdy，其中 D 由 y=x3 , y=1, x-1 圍成。D5.計算| =(x2 y2)dv ,

3、 v是由yOz平面上曲線y = . 2z繞z軸旋轉(zhuǎn)所得平面vz = 2 , z = 8所圍區(qū)域。6.設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，F(xiàn)(t) ! z2 f (x2 y2)dv，其中vV =(x, y, z) x2 + y2 蘭t2,0 蘭 z 蘭 H ，試求 dF和7.求曲面= 1 x2 y2在點M 0(1, -1,3)的切平面與曲面 z = x2 y2所圍立體的體積V2 2 2 28.設(shè)半徑為R的球面匕的球心在定球面x y z a (a 0)上，問當(dāng)R取何值時，二在定球面內(nèi)部的那部分 11的面積最大？練習(xí)21.計算.xyd二，其中區(qū)域D是由拋物線y = x2-1及直線y=1-x所圍成的區(qū)域D(27、y

4、蘭1所確定的區(qū)域C8i2.計算.e"d二，其中D是由D3.計算II si n( x y) dxdy，其中D為正方形區(qū)域：0乞x乞二，0乞y乞二(2二)D4.更換積分次序:; sin x0 dx.* f(x, y)dy22 x d dx2f(x,y)dyx5計算由平面x y z =6,x =0, y = 0及x 24所圍成的立體的體積37.計算三重積分hi zdxdydz，其中門為由圓錐面的z =>x2 y2及平面z=-1所圍成區(qū)5、8.分別用柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)和直角坐標(biāo)計算三重積分I =x2zdv，其中門是由球面Q12x2 y2 z2 = 2及圓錐面z= x2 y2所圍成（含z

5、軸部分）9. 求球面x2y2 z2二a2含在圓柱面x2 y2 = ax內(nèi)部的那部分面積（a 0）(2a2(： -2)重積分練習(xí)一參考答案21.求I = "y x dd，其中D : 1蘭X蘭1,0蘭y蘭2D解： 如圖，曲線y =x2把區(qū)域D分為D1和D2，其中Dj：-1空x空1 ,0<y < x2 ；2D2 : -1 _X _1, X2 _ y _2UyD1-x db= JJx ydb+ Jyxdex22=dx xD1 D21 22-y dy +匚dx J(y-X1xb1d八 3152證明f dxf f(y)dy = f f (y)(b y)dy-a- a*a(f連續(xù))證:

6、bx左端=dx f (y)dy ,a- a'a蘭y蘭xD，作出積分域交換積分順序,a蘭x蘭bDy*ba蘭y蘭bbxb bb注:左端= dx f(y)dy dy f(y)dx 二 f(y)(b-y)dy=右端，證畢! a - aa ya本題還可這樣證明：txt令 F(t)二.dx. f (y)dy - . f (x)(t x)dx，證明 F (t) =0二 F(t) =0aaa3.設(shè)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，且f(x)0,試證明 bf(x)dx ' 1 dx (b-a)2 、aLa f(x)證：設(shè)平面區(qū)域 D二(x, y) a _ x _ b, a _ y _ b , D關(guān)于

7、直線y二x對稱bb 1bb 1dy蟲 dxdyD f (x)二 TT-dxd y .d f(y)他-DLf(y) f (x)f2(x) f2(y),|d x d d f(x)f(y)2二 d x d y (b _ a)DIfDdxdy f (x)f(y)4.計算1 , x = -1 圍成。11 x 1 yf (x2 y2) dxdy，其中D解：作曲線y = x3，則積分區(qū)域被分為 D1和D2 , D1關(guān)于x軸對稱，D2關(guān)于y軸對稱。由于被積函數(shù)是x的奇函數(shù)，故有 x b yf(x2D2y2) dxdy 二 0 ,由于 xyf(x2 y2)的奇函數(shù)，故有i ix 1 yf (x2y2) dxdy

8、 = xdxdy 0=2xdx ° dy =DiDi2 ：( x4)dx255.計算I = (x2 y2)dv , v是由yO z平面上曲線y = 2z繞z軸旋轉(zhuǎn)所得平面vz = 2, z = 8所圍區(qū)域。解： 旋轉(zhuǎn)面方程為x2 y2 = 2z，積分區(qū)域V =(x, y, z) X2 + y2 W 2乙 2 蘭 z 蘭 82 2 8I = fff(x +y )dv = dzJHxv2 y2)dxdyDz8 2z dz=336 二2z 3=?dz o d 0 r dr = 2二注：本題若采用先一后二法，將較麻煩！6設(shè)函數(shù) f (x)連續(xù)，F(xiàn)(t) !f (x2y2)dv，其中v乞t2,

9、0乞z乞H ',試求空和lim匸単 dt t t2D為圓x2 y2 - t2，于V = ( x, y, z)x2解：V在xOy平面上投影當(dāng)t 0時有:當(dāng)t :： 0時有:從而27. 求曲面Z =1 X 'F(t) hi (z2f (x2y2)dvvH 222二 dxdy 0 (z f(x y )dzDH3 f(")H -d-3H3t22：H J f(r2)dT3空=2：H3t 2二Htf (t2)dt 3dF 232H3t 2二Htf (t2)dt 3pj匚rl匚q=lim ，所以二一二 H 3t 2 Htf (t2)t Q dtdt32 3 2H3t 2二Hf (t

10、2).F(t) 3lim 2limt0 t202tJl QQ Ji QH 3 lim-：Hf (t2) H3- ：Hf (0)3 t32 2 2y在點Mo(1,-1,3)的切平面與曲面z=x y所圍立體的體積(0)V解：不難想象，該立體的上、下底曲面一個是曲面Z=x2 y2的一塊，一個是切平面的一塊，首先確定立體在 xOy平面上投影區(qū)域 Dx,y由于切平面的法向量是 n =zx, zy,-1m0 =2,-2, 一1，切平面方程：z(x -1) -2(y1) _(z _3) =0,即即 z =2x _2y _1從而切平面與曲面z = x2 + y2z = 2x_2y _1，消去z，可得投影Dxy

11、 : (x -1)2 (y 1)2 <1，注意到在 D 上, 2x -2y -1 _ x2 y2，所以V = 2x 2y 一1 一 x2 y2 dxdy 二 1 _(x 一1)2 一 (y 1)2 dxdyDD2-1 -=0 d0(1 -r )rdr 二；2 2 2 2 28.設(shè)半徑為R的球面匕的球心在定球面 x y z a (a 0)上，問當(dāng)R取何值時，丄在定球面內(nèi)部的那部分 Z1的面積最大?解：可設(shè)二的方程為x2 y2 （z-a）2 =R2，從而兩球面的交線是2 丄 2R 兒 2|>2、x + y = 2(4a - R )(24a，于是龍1的方程為z = a Jr2X2 y22a