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1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答1. 計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C,程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.1,打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了,求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少?解:設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件,“程序在A,B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字”分別記為事件。則根據(jù)全概率公式有,根據(jù)Bayes公式,該程序是在A,B,C上打字的概率分別為,。2. 用一種檢驗(yàn)法檢測(cè)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8;若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9
2、,據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4,0.6。今獨(dú)立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn),結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì),而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì),求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。(注:本題較難,靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式)解:設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件,“對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn),結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì),而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事件。則要求的概率為,根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件,根據(jù)題意有,而且,所以;故,3,一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí),他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi),以X表示鈴響至結(jié)束講解的時(shí)間。設(shè)X的概率密度為, (1)
3、確定;(2)求;(3)求;(4)求。解:(1)根據(jù),得到;(2);(3);(4)。4. 設(shè)產(chǎn)品的壽命X(以周計(jì))服從瑞利分布,其概率密度為(1) 求壽命不到一周的概率;(2) 求壽命超過(guò)一年的概率;(3) 已知它的壽命超過(guò)20周,求壽命超過(guò)26周的條件概率。解:(1);(2);(3)。5. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求分布函數(shù),并求,。解:(1);。6, 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為試確定常數(shù),并求,。解:根據(jù),可得,所以。;。7, 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量,它們的聯(lián)合概率密度為,(1) 求關(guān)于的邊緣概率密度;(2) 求條件概率密度,寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的條件概率密度;(3) 求條件概率。解:(1)。(2)
4、當(dāng)時(shí),。特別地,當(dāng)時(shí)。(3)。8,設(shè)是二維隨機(jī)變量,的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為,(1) 求聯(lián)合概率密度;(2) 求關(guān)于的邊緣概率密度;(3) 求在的條件下的條件概率密度。解:(1);(2);(3)當(dāng)時(shí),。9設(shè)隨機(jī)變量具有分布律-2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求的分布律,并求DY與DX。解:根據(jù)定義立刻得到分布律為1 2 5 10 1/5 7/30 1/5 11/30 10(1)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。(2)設(shè)隨機(jī)變量,求的概率密度。(3)設(shè)隨機(jī)變量,求的概率密度。解:設(shè)的概率密度分別為,分布函數(shù)分別為。則(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 。所以,。
5、(2)此時(shí)。因?yàn)椋?故, ,所以,。(3)當(dāng)時(shí),故, 。所以,。11.設(shè)隨機(jī)變量,隨機(jī)變量Y具有概率密度,設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求的概率密度。解:因?yàn)?,所以的概率密度為?2.隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為,X,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。解: 根據(jù)卷積公式,得,。所以的概率密度為。13,設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在(0,1)上服從均勻分布,且X,Y相互獨(dú)立,求的概率密度。解:因?yàn)閄,Y都在(0,1)上服從均勻分布,所以,根據(jù)卷積公式,得 。14,設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為(1) 求的分布律。(2) 求的分布律。(3) 求的分布律。YX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20
6、031/12000解:(1)的分布律為如,其余類(lèi)似。結(jié)果寫(xiě)成表格形式為0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 (2)的分布律為如,其余類(lèi)似。結(jié)果寫(xiě)成表格形式為0 1 27/40 13/40 (3)的分布律為如,其余類(lèi)似。結(jié)果寫(xiě)成表格形式為0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 15,設(shè),求,;解: ,17,設(shè),求,。解:因?yàn)?,所以?6,設(shè)隨機(jī)變量,已知,求和;解:(1)由,得到;,得到;聯(lián)立和,計(jì)算得到。17.據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的電話機(jī),(1)若在該地區(qū)安裝1000部電話機(jī),記需要安裝白色電話機(jī)的部數(shù)為,求,;(2)問(wèn)至少需要安裝多少部
7、電話,才能使其中含有白色電話機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95。解:(1)根據(jù)題意,且。由De Moivre-Laplace定理,計(jì)算得 ;。(2)設(shè)要安裝部電話。則要使得就要求,即,從而,解出或者(舍去)。所以最少要安裝305部電話。18,一射手射擊一次的得分是一個(gè)隨機(jī)變量,具有分布律8 9 10 0.01 0.29 0.70(1) 求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。(2) 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解:根據(jù)題意,。(1)以分別記10次射擊的得分,則(2)設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量,則。由De Moivre-Laplace定理,
8、計(jì)算得19. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)試確定常數(shù)b;(2)求邊緣概率密度f(wàn)X (x),fY (y)解:(1) (2) 20. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求(1)Y=2X(2)Y=e2x的數(shù)學(xué)期望。解:(1) (2) XY1231010.20.10.10.100.100.30.1 21. 設(shè)(X,Y)的分布律為(1) 求E (X),E (Y )。(2) 設(shè)Z=Y/X,求E (Z )。(3) 設(shè)Z= (XY )2,求E (Z)。解:(1)由X,Y的分布律易得邊緣分布為XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=1
9、5;0.4+2×0.2+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)×0.3+0×0.4 +1×0.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1(2)E (Z )= (1)×0.2+(0.5)×0.1+(1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.Z (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(
10、2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40(3)E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=522. 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里,其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X(以分計(jì))是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。其概率密度為求E (X)解: 23. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)試確定常數(shù)c。(2)求邊緣概率密度。解: l=y=x2x24. 盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù),求X,Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解:(X,Y)的可能取值為(i, j),i=0,1,2,3, j=0,12,i + j2,聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =025. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為(1)確定常數(shù)k。(2)求P X<1, Y<3(3)求P (X<1.5(4)
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