概率復(fù)習(xí)測試題(含答案)

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答1. 計(jì)算機(jī)中心有三臺打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件，“程序在A,B,C三臺打字機(jī)上打字”分別記為事件。則根據(jù)全概率公式有，根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，。2. 用一種檢驗(yàn)法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9

2、，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6。今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注：本題較難，靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式）解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件，“對一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事件。則要求的概率為，根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件，根據(jù)題意有，而且，所以；故，3，一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí)，他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至結(jié)束講解的時(shí)間。設(shè)X的概率密度為， （1）

3、確定；（2）求；（3）求；（4）求。解：（1）根據(jù)，得到；（2）；（3）；（4）。4. 設(shè)產(chǎn)品的壽命X（以周計(jì)）服從瑞利分布，其概率密度為（1） 求壽命不到一周的概率；（2） 求壽命超過一年的概率；（3） 已知它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。解：（1）；（2）；（3）。5. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求分布函數(shù)，并求，。解：（1）；。6, 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為試確定常數(shù)，并求，。解：根據(jù)，可得，所以。；。7， 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度為，（1） 求關(guān)于的邊緣概率密度；（2） 求條件概率密度，寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度；（3） 求條件概率。解：（1）。（2）

4、當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)。（3）。8，設(shè)是二維隨機(jī)變量，的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為，（1） 求聯(lián)合概率密度；（2） 求關(guān)于的邊緣概率密度；（3） 求在的條件下的條件概率密度。解：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，。9設(shè)隨機(jī)變量具有分布律-2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求的分布律,并求DY與DX。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為1 2 5 10 1/5 7/30 1/5 11/30 10（1）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。（2）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。（3）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。則（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。所以，。

5、（2）此時(shí)。因?yàn)椋?故， ，所以，。（3）當(dāng)時(shí)，故， 。所以，。11.設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量Y具有概率密度，設(shè)X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)椋缘母怕拭芏葹椤?2.隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為，X,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。解： 根據(jù)卷積公式，得，。所以的概率密度為。13，設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在(0,1)上服從均勻分布，且X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)閄,Y都在(0,1)上服從均勻分布，所以，根據(jù)卷積公式，得 。14，設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為（1） 求的分布律。（2） 求的分布律。（3） 求的分布律。YX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20

6、031/12000解：（1）的分布律為如，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）的分布律為如，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0 1 27/40 13/40 （3）的分布律為如，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 15，設(shè)，求，；解： ，17，設(shè)，求，。解：因?yàn)?，所以?6，設(shè)隨機(jī)變量，已知，求和；解：（1）由，得到；，得到；聯(lián)立和，計(jì)算得到。17.據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的電話機(jī)，（1）若在該地區(qū)安裝1000部電話機(jī)，記需要安裝白色電話機(jī)的部數(shù)為，求，；（2）問至少需要安裝多少部

7、電話，才能使其中含有白色電話機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95。解：（1）根據(jù)題意，且。由De Moivre-Laplace定理，計(jì)算得 ；。（2）設(shè)要安裝部電話。則要使得就要求，即，從而，解出或者（舍去）。所以最少要安裝305部電話。18，一射手射擊一次的得分是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律8 9 10 0.01 0.29 0.70（1） 求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。（2） 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意，。（1）以分別記10次射擊的得分，則（2）設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量，則。由De Moivre-Laplace定理，

8、計(jì)算得19. 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX (x)，fY (y)解：（1） （2） 20. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）Y=2X（2）Y=e2x的數(shù)學(xué)期望。解：（1） （2） XY1231010.20.10.10.100.100.30.1 21. 設(shè)（X，Y）的分布律為(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 設(shè)Z=Y/X，求E (Z )。(3) 設(shè)Z= (XY )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=1

9、5;0.4+2×0.2+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)×0.3+0×0.4 +1×0.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1（2）E (Z )= (1)×0.2+(0.5)×0.1+(1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.Z (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(

10、2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40（3）E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=522. 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。其概率密度為求E (X)解： 23. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l=y=x2x24. 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =025. 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求P X<1, Y<3（3）求P (X<1.5（4）