相似矩陣-學(xué)習(xí)課件

1、2021/8/141第二節(jié)第二節(jié)2021/8/142一、相似矩陣的概念和性質(zhì)一、相似矩陣的概念和性質(zhì)定義定義 對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A和和B，若存在若存在n階階可逆可逆方陣方陣P，使得使得 1,P APB則稱則稱A與與B 相似相似, ,記為記為. BA矩陣的矩陣的“相似相似”關(guān)系具有以下特性：關(guān)系具有以下特性：(1)(1)反身性：反身性：對(duì)對(duì)任任何何方方陣陣A，總總有有AA( (令令EP 即即可可) )； (2)(2)對(duì)稱性：對(duì)稱性：若若BA，則則有有AB ； 證證BAPP 1.)(111 BPP1 PBPA(3)(3)傳遞性：傳遞性：若若BA, ,且且CB , ,則則有有CA. . 證證CB

2、QQBAPP 11,.)()(1CPQAPQ QAPPQ)( 11 2021/8/143相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣的性質(zhì)：定理定理 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式, ,從而特征值相同從而特征值相同. .證證BAPP 1APPEBE1 PAEP)(1 PAEP 1 .AE 推論推論1 相似矩陣的行列式相等；相似矩陣的行列式相等；推論推論2 相似矩陣的跡相等；相似矩陣的跡相等；推論推論3 若矩陣若矩陣A與一個(gè)對(duì)角陣與一個(gè)對(duì)角陣 n 21相似相似, ,則則n ,21即即為為A的的全全部部特特征征值值。 2021/8/144注意注意: : 特征值相同的矩陣不一定相似特征值相同的矩陣

3、不一定相似.例例如如, , 1011A與與 1001E的的特特征征值值相相同同， 但它們不相似但它們不相似, , 因?yàn)閷?duì)任意可逆陣因?yàn)閷?duì)任意可逆陣P, ,1EEPP 即與即與 E 相似的矩陣只有它自己。相似的矩陣只有它自己。相似矩陣的其它性質(zhì)：相似矩陣的其它性質(zhì)： 相似矩陣的秩相等；相似矩陣的秩相等；,1BAPP 若若P, ,Q為可逆矩陣為可逆矩陣, ,則有則有. )()()(ArAQrPAr 2021/8/145若若BA , ,則則 kBkA, ,其其中中k為為任任意意常常數(shù)數(shù)； TTBA ； mmBA , ,其其中中m為為任任意意正正整整數(shù)數(shù)； )()(BpAp, ,其其中中)(xp為為任

4、任一一多多項(xiàng)項(xiàng)式式； A , ,B 同為可逆或不可逆同為可逆或不可逆, ,可逆時(shí)它們的逆矩陣可逆時(shí)它們的逆矩陣及伴隨矩陣也分別相似。及伴隨矩陣也分別相似。它它們們的的特特征征矩矩陣陣AE 和和BE 也也相相似似； 只證只證(3)，其余證明留作練習(xí)，其余證明留作練習(xí).(1)(2)(3)(4)(5)(6),1BAPP mmAPPB)(1 )()(111APPAPPAPP .1PAPm 2021/8/146例例1解解設(shè)設(shè) 32020002aA, , bB00020001, ,且且BA, ,求求 ba,。 BA ba 43 )(tr)(trBA ba 35 .53 ba另解另解相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)

5、式，由相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，由detdetEAEB得得200200010340102ab2021/8/147計(jì)算上面兩個(gè)行列式，得到計(jì)算上面兩個(gè)行列式，得到22212338ab比較等式兩邊比較等式兩邊 同次冪的系數(shù)，得同次冪的系數(shù)，得3138abb 3 .5ab解得2021/8/148 n階矩陣階矩陣A與一個(gè)對(duì)角陣相似的充分必要條件與一個(gè)對(duì)角陣相似的充分必要條件是是A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 二、矩陣可相似對(duì)角化的條件二、矩陣可相似對(duì)角化的條件 定理定理 如果一個(gè)矩陣能與一個(gè)對(duì)角陣相似如果一個(gè)矩陣能與一個(gè)對(duì)角陣相似, ,稱該矩陣稱該矩陣可以可以( (相似相似)

6、)對(duì)角化對(duì)角化。 證證 必要性：必要性：設(shè)設(shè)A與一個(gè)對(duì)角陣相似與一個(gè)對(duì)角陣相似, ,即存在一個(gè)可逆即存在一個(gè)可逆陣陣P, ,使使,211 nAPP 2021/8/149即即, PAP,1 APP將將矩矩陣陣P按按列列分分塊塊, ,),(21nP , ,則則有有 ),(),(2121nnA , ),(),(221121nnnAAA 即即即得即得, 2 , 1 ,niAiii 說(shuō)說(shuō)明明n ,21是是A的的分分別別對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值n ,21的的特特征征向向量量, , 由由于于P可可逆逆，所所以以n ,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。 ,21 n 必要性得證。必要性得證。上述步驟倒過(guò)來(lái)寫上述步驟倒過(guò)來(lái)寫

7、, ,即得充分性證明。即得充分性證明。 2021/8/1410推論推論1 如果矩陣如果矩陣A的特征值互不相同的特征值互不相同, ,則則A必可對(duì)角化必可對(duì)角化. .因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄渴蔷€性無(wú)關(guān)的因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄渴蔷€性無(wú)關(guān)的. .注意注意: 這個(gè)這個(gè)條件是充分的而不是必要的條件是充分的而不是必要的. . 如果如果A的特征方程有的特征方程有重根重根，此時(shí)不一定有，此時(shí)不一定有n個(gè)線性個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣A不一定能對(duì)角化；但如不一定能對(duì)角化；但如果能找到果能找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, A還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化推推論論 2

8、2 n階階方方陣陣 A可可對(duì)對(duì)角角化化的的充充分分必必要要條條件件是是對(duì)對(duì)每每一一個(gè)個(gè)in重重的的特特征征值值i , ,矩矩陣陣AEi 的的秩秩為為inn . . （證證略略） 即齊次線性方程組即齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系所含的的基礎(chǔ)解系所含的向量個(gè)數(shù)等于特征根向量個(gè)數(shù)等于特征根 的重?cái)?shù)的重?cái)?shù) 。0iEA Xiin2021/8/1411解解633312321 AE, )9)(1( 633312011 633312011)1( 663332001)1( 6633)1( 21rr 例例2設(shè)設(shè),633312321 A求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對(duì)對(duì)角角陣陣. . 2021/8/1412，對(duì)

9、對(duì)01 特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 6333123210AE,000110321 ，對(duì)對(duì)12 特征向量特征向量,)0,1,1(2T 733322322AE,000100322 2021/8/1413特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 特征向量特征向量,)0,1,1(2T ，對(duì)對(duì)93 特征向量特征向量,)2,1,1(3T 3333823289AE,0001206111 2021/8/1414,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( ,)0,1,1(2T ,)2,1,1(3T ,

10、),(321 P令令111 011 211則則.9101 APP2021/8/1415解解1630310104 AE, )2()1(2 例例3判斷矩陣判斷矩陣 1630310104A能否對(duì)角化，若能，能否對(duì)角化，若能，對(duì)對(duì)11 0630210105AE,000000021 特征向量特征向量,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對(duì)對(duì)角角陣陣. . 2021/8/14161630310104 AE, )2()1(2 ，對(duì)對(duì)22 36305101022AE,000130051 特征向量特征向量,)3,1,5(3T ，對(duì)對(duì)11 ,)0,1,2(1T ,)1,

11、0,0(2T 可對(duì)角化可對(duì)角化,310101502 P.2111 APP2021/8/1417解解 1112124 AE,)2(2 ，對(duì)對(duì)21 2111221222AE,000100122 只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, ,例例4判斷矩陣判斷矩陣 能否對(duì)角化，若能，能否對(duì)角化，若能， 011102124A所以不能對(duì)角化所以不能對(duì)角化.21cc 求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對(duì)對(duì)角角陣陣. . 2021/8/1418設(shè)設(shè) 0011100yxA有有三三個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量，求求x和和y應(yīng)應(yīng)滿滿足足的的條條件件。 例例5解解,0)1()1(0111

12、02 yxAE得得A的特征值為的特征值為 12,1 ，13 ， 只只要要12, 1 有有兩兩個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量即即可可， 即即矩矩陣陣AE 1的的秩秩等等于于 1 1, , 2021/8/1419 01110 yxAE即即矩矩陣陣AE 1的的秩秩等等于于 1 1, , AE 1 1010101yx,00000101 xy只只要要滿滿足足0 yx即即可可. . 2021/8/1420設(shè)設(shè)矩矩陣陣 51341321aA的的特特征征方方程程有有一一個(gè)個(gè)二二重重根根, 求求 a 的的值值, 并并討討論論 A 是是否否可可相相似似對(duì)對(duì)角角化化. 例例6解解51341321 aAE5

13、13410)2(2 a51341011)2( a, )3188)(2(2a 2021/8/1421當(dāng)當(dāng)2 是是特特征征方方程程的的二二重重根根， 則則有有,03181622 a 解得解得2 a. 故故2 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有兩兩個(gè)個(gè), 從而從而A可相似對(duì)角化可相似對(duì)角化. . 3213213212AE,000000321 秩為秩為1，)3188)(2(2aAE 2021/8/1422)3188)(2(2aAE 若若2 不不是是特特征征方方程程的的二二重重根根, 則則a31882 為為完完全全平平方方, 從從而而16318 a, 解解得得 ,32 a 132130

14、13234AE,000110301 故故4 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量只只有有一一個(gè)個(gè), 從而從而A不可相似對(duì)角化不可相似對(duì)角化. . 秩為秩為2，特特征征值值為為 2,4,4, 2021/8/1423 一般來(lái)說(shuō)，求矩陣的高次冪比較困難，但若矩陣一般來(lái)說(shuō)，求矩陣的高次冪比較困難，但若矩陣A能對(duì)角化，即存在可逆陣能對(duì)角化，即存在可逆陣P，使得使得 ,1 APP則則,1 PPA)()(111 PPPPPPAn于是于是,1 PPn1111)()()( PPPPPPPP轉(zhuǎn)化為對(duì)角陣求冪轉(zhuǎn)化為對(duì)角陣求冪.2021/8/1424例例7解解設(shè)設(shè) ,1221 A求求100A. . 122