2020-2021學年高二數(shù)學北師大版必修5學案：3.3.2　基本不等式與最大（小）值 Word版含解析

1、32基本不等式與最大(小)值知識點基本不等式與最大(小)值 填一填已知x，y都是正數(shù)，則(1)若xys(和為定值)，則當且僅當xy時，積xy取得最大值；(2)若xyp(積為定值)，則當且僅當xy時，和xy取得最小值2.答一答均值不等式可以解決什么問題？提示：均值不等式可以解決定積、定和問題使用均值不等式解決問題時，常見的變形常用的變形公式有：(1)ab2，ab()2(當且僅當ab時取等號)；(2)a2(a>0)(當且僅當a1時取等號)；a2(a<0)(當且僅當a1時取等號)；(3)2(a，b同號)(當且僅當ab時取等號)；(4)(a，br)(當且僅當ab時取等號)類型一利用基本不等

2、式求最值 【例1】(1)若x>0，求函數(shù)f(x)3x的最小值；(2)若x<0，求函數(shù)f(x)3x的最大值【思路探究】利用基本不等式求最值，必須同時滿足3個條件：兩個正數(shù)；其和為定值或積為定值；等號必須成立三個條件缺一不可對(1)，由x>0，可得>0,3x>0.又因為·3x36為定值，且3x(x>0)時，x2，即等號成立，從而可利用基本不等式求最值對(2)，由x<0，得<0,3x<0，所以>0，3x>0，所以對(3x)可利用基本不等式求最值【解】(1)因為x>0，所以>0,3x>0，所以f(x)3x22

3、12.當且僅當3x，即x2時，等號成立所以當x2時，f(x)取得最小值12.(2)因為x<0，所以x>0，所以f(x)(3x)212，所以f(x)12.當且僅當3x，即x2時，等號成立所以當x2時，f(x)取得最大值12.規(guī)律方法 利用基本不等式求函數(shù)最值時，要注意體會“一正二定三相等”，當兩個數(shù)均為負數(shù)時，首先將它們變?yōu)檎龜?shù)，即在前面加一個負號，再利用基本不等式求解設x>0，求y2x的最大值解：x>0，x24，y2242.當且僅當x，即x2時等號成立，y取最大值2.【例2】(1)求函數(shù)yx(52x)(0<x<2)的最大值；(2)求函數(shù)y(x>1)的最

4、小值；(3)已知x>0，求函數(shù)y(x>0)的最大值【思路探究】(1)中要注意構造2x(52x)為定值；(2)中要注意挖掘出(x1)·為定值【解】(1)yx(52x)·2x·(52x)0<x<2，0<2x<4,1<52x<5，y×2×.當且僅當2x52x，即x時取等號，故ymax.(2)yx12，x>1，x1>0，y222×328.當且僅當x1，即x4時取等號故ymin8.(3)x>0，y.又x24，當且僅當x，即x2時取等號，y.故當x2時，y(x>0)取得最大值

5、.規(guī)律方法 運用基本不等式求函數(shù)的最值，主要是在定義域中構造出“和為定值”或“積為定值”，同時注意檢驗是否滿足取等號的條件(1)已知x>2，則yx的最小值為6.(2)若0<x<，則函數(shù)yx(12x)的最大值是.解析：(1)因為x>2，所以x2>0，所以yxx22226，當且僅當x2，即x4時，等號成立所以yx的最小值為6.(2)因為0<x<，所以12x>0，所以yx·(12x)×2x×(12x)2×，當且僅當2x12x，即當x時，ymax.類型二利用基本不等式比較大小 【例3】已知a，b，c都是非負實數(shù)，試

6、比較與(abc)的大小【思路探究】a，b，c是非負數(shù)，兩個待比較的式子的結構特征符合基本不等式的變形式：，所以借助它就可以比較大小【解】，(ab)同理可得(bc)，(ca)，(ab)(bc)(ca)(abc)，故(abc)，當且僅當abc時取等號規(guī)律方法 利用基本不等式或其變形式比較大小時，一般有兩種思路：(1)確定每個式子的范圍，用不等式的傳遞性比較；(2)觀察待比較式子的結構特征，合理選取基本不等式或其變形式，利用不等式的性質比較已知a>b>c，則與的大小關系是.解析：觀察題中兩式的特點，發(fā)現(xiàn)(ab)(bc)恰好是ac.ab>0，bc>0，當且僅當abbc即2bac

7、時，等號成立，.類型三利用基本不等式解決有關實際應用問題 【例4】某商品進貨價為每件50元，據(jù)市場調查，當銷售價格每件x元(50<x80)時，每天銷售的件數(shù)為p，若想每天獲得的利潤最多，則銷售價為多少元？【思路探究】首先據(jù)題意建立關于利潤的函數(shù)模型，利潤銷售件數(shù)×(銷售價格進貨價格)再應用基本不等式解決最值問題【解】解法一：由題意知利潤s(x50)·(x50)·.x50>0，(x50)20.s2 500，當且僅當x50，即x60或x40(不合題意舍去)，即x60時，取等號解法二：由題意知利潤s(x50)·令x50t，xt50(t>0)，

8、則s2 500.當且僅當t，即t10時取等號，此時x60.答：當銷售價格定為60元時，每天獲得的利潤最多規(guī)律方法 1.解實際應用問題要遵循以下幾點：(1)在理解題意的基礎上設變量，設變量時一定要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)建立相應的函數(shù)解析式，將實際應用問題轉化，抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題(純數(shù)學問題)；(3)在定義域內(nèi)(使實際問題有意義的自變量取值范圍)求出函數(shù)的最大值、最小值；(4)回到實際問題中，寫出正確答案2本題為分式函數(shù)模型，可將其轉化為基本不等式的形式求解若分子次數(shù)高時，可把分子拼湊成分母的形式，用分母除開；若分母次數(shù)高時，可把分母拼湊成分子的形式，反過來相除，此

9、外，也可以先使用換元法，再拼湊成基本不等式的形式，去求最值現(xiàn)有一批貨物用輪船從甲地運往乙地，甲地與乙地的距離為500海里，已知該船最大速度為45海里/小時，每小時運輸成本由燃料費用和其他費用組成輪船每小時的燃料費用與輪船速度的平方成正比，其余費用為每小時960元已知輪船速度為20海里/小時，全程運輸成本為30 000元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數(shù)；(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應為多大速度行駛？解：(1)由題意得，每小時燃料費用為kx2(0<x45)，全程所用時間為小時則全程運輸成本ykx2·960·，x(0,45，當x20時，y3

10、0 000得k0.6，故所求的函數(shù)為y300(x)，x(0,45(2)y300(x)300×224 000，當且僅當x，即x40時取等號，故當輪船速度為40海里/小時時，所需成本最小【例5】如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其余各面用鋼筋網(wǎng)圍成(1)現(xiàn)有可圍36 m長網(wǎng)的材料，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠的面積最大？(2)若使每間虎籠的面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？【思路探究】設每間虎籠長為x m，寬為y m，則問題(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而問題(2)則是

11、在xy24的前提下求4x6y的最小值【解】(1)設每間虎籠的長為x m，寬為y m，則由條件得4x6y36，即2x3y18.設每間虎籠的面積為s，則sxy.2x3y22，218，解得xy，即s，當且僅當2x3y時，等號成立由解得故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大(2)由條件知sxy24.設鋼筋網(wǎng)的總長為l，則l4x6y.2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，當且僅當2x3y時等號成立由解得故每間虎籠長為6 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18 000 cm2，四周空白的

12、寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm，請確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，使矩形廣告面積最小，并求出最小值解：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，ab9 000.廣告的高為a20，寬為2b25，其中a>0，b>0.廣告的面積s(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.當且僅當25a40b時，等號成立，此時ba，代入式得a120，從而b75，即當a120，b75時，s取得最小值24 500，故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小，最小值為24 500 cm2.多維探

13、究系列利用均值不等式解恒成立問題不等式的恒成立問題在高中數(shù)學中非常重要，在此類問題的解決中，均值不等式和不等式的傳遞性是最重要的一種方法【例6】已知不等式(xy)()9對任意正實數(shù)x，y恒成立，求正實數(shù)a的最小值【規(guī)范解答】原不等式化為1a9，而1a1a2，(x>0，y>0)當且僅當yx時取等號，1a29，a280，2，即a4，amin4.若對任意x>0，ax2(4a1)xa0恒成立，則a的取值范圍是，)解析：將原不等式等價轉化a恒成立，x>0時，a.一、選擇題1設x>0，則y33x的最大值是(c)a3 b33c32d1解析：y33x3(3x)3232，當且僅當3x，即x時取“”2已知a>0，b>0，則2的最小值是(c)a2 b2c4 d5解析：因為2222( )4，當且僅當，且，即ab1