2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案：3.3.2　基本不等式與最大（小）值 Word版含解析

1、32基本不等式與最大(小)值知識(shí)點(diǎn)基本不等式與最大(小)值 填一填已知x，y都是正數(shù)，則(1)若xys(和為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值；(2)若xyp(積為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2.答一答均值不等式可以解決什么問(wèn)題？提示：均值不等式可以解決定積、定和問(wèn)題使用均值不等式解決問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的變形常用的變形公式有：(1)ab2，ab()2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))；(2)a2(a>0)(當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)取等號(hào))；a2(a<0)(當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)取等號(hào))；(3)2(a，b同號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))；(4)(a，br)(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))類(lèi)型一利用基本不等

2、式求最值 【例1】(1)若x>0，求函數(shù)f(x)3x的最小值；(2)若x<0，求函數(shù)f(x)3x的最大值【思路探究】利用基本不等式求最值，必須同時(shí)滿足3個(gè)條件：兩個(gè)正數(shù)；其和為定值或積為定值；等號(hào)必須成立三個(gè)條件缺一不可對(duì)(1)，由x>0，可得>0,3x>0.又因?yàn)?#183;3x36為定值，且3x(x>0)時(shí)，x2，即等號(hào)成立，從而可利用基本不等式求最值對(duì)(2)，由x<0，得<0,3x<0，所以>0，3x>0，所以對(duì)(3x)可利用基本不等式求最值【解】(1)因?yàn)閤>0，所以>0,3x>0，所以f(x)3x22

3、12.當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x2時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值12.(2)因?yàn)閤<0，所以x>0，所以f(x)(3x)212，所以f(x)12.當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x2時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值12.規(guī)律方法 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，要注意體會(huì)“一正二定三相等”，當(dāng)兩個(gè)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)，首先將它們變?yōu)檎龜?shù)，即在前面加一個(gè)負(fù)號(hào)，再利用基本不等式求解設(shè)x>0，求y2x的最大值解：x>0，x24，y2242.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)等號(hào)成立，y取最大值2.【例2】(1)求函數(shù)yx(52x)(0<x<2)的最大值；(2)求函數(shù)y(x>1)的最

4、小值；(3)已知x>0，求函數(shù)y(x>0)的最大值【思路探究】(1)中要注意構(gòu)造2x(52x)為定值；(2)中要注意挖掘出(x1)·為定值【解】(1)yx(52x)·2x·(52x)0<x<2，0<2x<4,1<52x<5，y×2×.當(dāng)且僅當(dāng)2x52x，即x時(shí)取等號(hào)，故ymax.(2)yx12，x>1，x1>0，y222×328.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x4時(shí)取等號(hào)故ymin8.(3)x>0，y.又x24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)取等號(hào)，y.故當(dāng)x2時(shí)，y(x>0)取得最大值

5、.規(guī)律方法 運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值，主要是在定義域中構(gòu)造出“和為定值”或“積為定值”，同時(shí)注意檢驗(yàn)是否滿足取等號(hào)的條件(1)已知x>2，則yx的最小值為6.(2)若0<x<，則函數(shù)yx(12x)的最大值是.解析：(1)因?yàn)閤>2，所以x2>0，所以yxx22226，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時(shí)，等號(hào)成立所以yx的最小值為6.(2)因?yàn)?<x<，所以12x>0，所以yx·(12x)×2x×(12x)2×，當(dāng)且僅當(dāng)2x12x，即當(dāng)x時(shí)，ymax.類(lèi)型二利用基本不等式比較大小 【例3】已知a，b，c都是非負(fù)實(shí)數(shù)，試

6、比較與(abc)的大小【思路探究】a，b，c是非負(fù)數(shù)，兩個(gè)待比較的式子的結(jié)構(gòu)特征符合基本不等式的變形式：，所以借助它就可以比較大小【解】，(ab)同理可得(bc)，(ca)，(ab)(bc)(ca)(abc)，故(abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)規(guī)律方法 利用基本不等式或其變形式比較大小時(shí)，一般有兩種思路：(1)確定每個(gè)式子的范圍，用不等式的傳遞性比較；(2)觀察待比較式子的結(jié)構(gòu)特征，合理選取基本不等式或其變形式，利用不等式的性質(zhì)比較已知a>b>c，則與的大小關(guān)系是.解析：觀察題中兩式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)(ab)(bc)恰好是ac.ab>0，bc>0，當(dāng)且僅當(dāng)abbc即2bac

7、時(shí)，等號(hào)成立，.類(lèi)型三利用基本不等式解決有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 【例4】某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格每件x元(50<x80)時(shí)，每天銷(xiāo)售的件數(shù)為p，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，則銷(xiāo)售價(jià)為多少元？【思路探究】首先據(jù)題意建立關(guān)于利潤(rùn)的函數(shù)模型，利潤(rùn)銷(xiāo)售件數(shù)×(銷(xiāo)售價(jià)格進(jìn)貨價(jià)格)再應(yīng)用基本不等式解決最值問(wèn)題【解】解法一：由題意知利潤(rùn)s(x50)·(x50)·.x50>0，(x50)20.s2 500，當(dāng)且僅當(dāng)x50，即x60或x40(不合題意舍去)，即x60時(shí)，取等號(hào)解法二：由題意知利潤(rùn)s(x50)·令x50t，xt50(t>0)，

8、則s2 500.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t10時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x60.答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格定為60元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最多規(guī)律方法 1.解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題要遵循以下幾點(diǎn)：(1)在理解題意的基礎(chǔ)上設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一定要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)解析式，將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化，抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題(純數(shù)學(xué)問(wèn)題)；(3)在定義域內(nèi)(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量取值范圍)求出函數(shù)的最大值、最小值；(4)回到實(shí)際問(wèn)題中，寫(xiě)出正確答案2本題為分式函數(shù)模型，可將其轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求解若分子次數(shù)高時(shí)，可把分子拼湊成分母的形式，用分母除開(kāi)；若分母次數(shù)高時(shí)，可把分母拼湊成分子的形式，反過(guò)來(lái)相除，此

9、外，也可以先使用換元法，再拼湊成基本不等式的形式，去求最值現(xiàn)有一批貨物用輪船從甲地運(yùn)往乙地，甲地與乙地的距離為500海里，已知該船最大速度為45海里/小時(shí)，每小時(shí)運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用組成輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與輪船速度的平方成正比，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元已知輪船速度為20海里/小時(shí)，全程運(yùn)輸成本為30 000元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時(shí))的函數(shù)；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)為多大速度行駛？解：(1)由題意得，每小時(shí)燃料費(fèi)用為kx2(0<x45)，全程所用時(shí)間為小時(shí)則全程運(yùn)輸成本ykx2·960·，x(0,45，當(dāng)x20時(shí)，y3

10、0 000得k0.6，故所求的函數(shù)為y300(x)，x(0,45(2)y300(x)300×224 000，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x40時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)輪船速度為40海里/小時(shí)時(shí)，所需成本最小【例5】如圖所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其余各面用鋼筋網(wǎng)圍成(1)現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠的面積最大？(2)若使每間虎籠的面積為24 m2，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？【思路探究】設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為x m，寬為y m，則問(wèn)題(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而問(wèn)題(2)則是

11、在xy24的前提下求4x6y的最小值【解】(1)設(shè)每間虎籠的長(zhǎng)為x m，寬為y m，則由條件得4x6y36，即2x3y18.設(shè)每間虎籠的面積為s，則sxy.2x3y22，218，解得xy，即s，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)，等號(hào)成立由解得故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使面積最大(2)由條件知sxy24.設(shè)鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)為l，則l4x6y.2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)等號(hào)成立由解得故每間虎籠長(zhǎng)為6 m，寬為4 m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18 000 cm2，四周空白的

12、寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm，請(qǐng)確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，使矩形廣告面積最小，并求出最小值解：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，ab9 000.廣告的高為a20，寬為2b25，其中a>0，b>0.廣告的面積s(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.當(dāng)且僅當(dāng)25a40b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ba，代入式得a120，從而b75，即當(dāng)a120，b75時(shí)，s取得最小值24 500，故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小，最小值為24 500 cm2.多維探

13、究系列利用均值不等式解恒成立問(wèn)題不等式的恒成立問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中非常重要，在此類(lèi)問(wèn)題的解決中，均值不等式和不等式的傳遞性是最重要的一種方法【例6】已知不等式(xy)()9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值【規(guī)范解答】原不等式化為1a9，而1a1a2，(x>0，y>0)當(dāng)且僅當(dāng)yx時(shí)取等號(hào)，1a29，a280，2，即a4，amin4.若對(duì)任意x>0，ax2(4a1)xa0恒成立，則a的取值范圍是，)解析：將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化a恒成立，x>0時(shí)，a.一、選擇題1設(shè)x>0，則y33x的最大值是(c)a3 b33c32d1解析：y33x3(3x)3232，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x時(shí)取“”2已知a>0，b>0，則2的最小值是(c)a2 b2c4 d5解析：因?yàn)?222( )4，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即ab1