高中數(shù)學(xué)求值域的10種方法

1、 第 1 頁 共 13 頁求函數(shù)值域的十 種方法一一直直接接法法 （觀觀察察法法） ：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 1求函數(shù)的值域。1yx【解析】，函數(shù)的值域?yàn)椤? x 11x 1yx1,)【練習(xí)】1求下列函數(shù)的值域：；32( 11)yxx xxf42)(；，。1xxy4112 xy2 , 1 , 0 , 1x【參考答案】；。 1,52,)(,1)(1,)4 1,0,3二二配配方方法法：適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。2( )( )( )F xafxbf xc例 2求函數(shù)（）的值域。242yxx 1,1x 【解析】。

2、2242(2)6yxxx ，。11x 321x 21(2)9x23(2)65x 35y 函數(shù)（）的值域?yàn)椤?42yxx 1,1x 3,5例 3求函數(shù)的值域。)4, 0(422xxxy【解析】本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計(jì)算不妨設(shè)：配方得：利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得)0)(4)(2xfxxxf)4, 0(4)2()(2xxxf，從而得出：。4, 0)(xf0,2y說明：在求解值域(最值)時(shí)，遇到分式、根式、對(duì)數(shù)式等類型時(shí)要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為：。0)(xf例 4若，試求的最大值。, 42yx0, 0yxyxlglg 第 2 頁 共 13 頁【分析與解】本題可看成第一象限內(nèi)

3、動(dòng)點(diǎn)在直線上滑動(dòng)時(shí)函數(shù)的最( , )P x y42yxxyyxlglglg大值。利用兩點(diǎn)，確定一條直線，作出圖象易得：(4,0)(0,2)，y=1 時(shí)，取最2(0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而yxlglg大值。2lg【練習(xí)】2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：；142xxy4 , 3, 142xxxy 1 , 0, 142xxxy；，；。5 , 0, 142xxxy5xxxy4224 ,41x6223yxx【參考答案】； 3,) 2,1 2,1 3,65736,460,2三三反反函函數(shù)數(shù)法法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函

4、數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。適用類型：分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型。例 5求函數(shù)的值域。12xxy分析與解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出，從而便于求出反函數(shù)。x反解得，故函數(shù)的值域?yàn)椤?2xxyyyx2(,2)(2,)【練習(xí)】1求函數(shù)的值域。2332xyx2求函數(shù)，的值域。axbycxd0,dcxc 【參考答案】1；。22(, )( ,)33(,)(,)aacc 第 3 頁 共 13 頁四四分分離離 變變量量法法：適用類型 1：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例 6：

5、求函數(shù)的值域。125xyx解：，177(25)112222525225xxyxxx ，函數(shù)的值域?yàn)椤?2025x12y 125xyx1 |2y y 適用類型 2：分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常)(xfky為k數(shù))的形式。例 7：求函數(shù)的值域。122xxxxy分析與解分析與解：觀察分子、分母中均含有項(xiàng)，可利用分離變量法；則有xx 2 。22221 111xxxxyxxxx 21113()24x 不妨令：從而。)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf,43)(xf注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除，因?yàn)樽鳛榉帜?所以故。0)(xf)(xf4( )0,3g x

6、1 ,31y另解另解：觀察知道本題中分子較為簡(jiǎn)單，可令，求出 的值域，進(jìn)而可得到222111xxtxxxx t的值域。y【練習(xí)】1求函數(shù)的值域。132222xxxxy【參考答案】110(2,3 第 4 頁 共 13 頁五五、換換元元法法：對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的基本函數(shù)。其題型特征特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元三角換元。例 8：求函數(shù)的值域。212yxx解：令（），則，。12tx0t 212tx22151()24yttt 當(dāng)，即時(shí)，無最

7、小值。函數(shù)的值域?yàn)椤?2t 38x max54y212yxx5(, 4例 9：求函數(shù)的值域。221 (1)yxx解：因，即。21 (1)0 x2(1)1x故可令，。1cos,0, x 1cossincos11cosy21)4sin(2，4544,02sin()12402sin() 1 124 故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?1 , 0例 10.求函數(shù)的值域。34221xxyxx解：原函數(shù)可變形為：222121211xxyxx 可令 X=，則有tan222221sin2 ,cos11xxxx11sin2cos2sin424y 當(dāng)時(shí)，28kmax14y當(dāng)時(shí)，28kmin14y 而此時(shí)有意義。tan 第 5

8、頁 共 13 頁故所求函數(shù)的值域?yàn)?1,41 例 11. 求函數(shù)，的值域。(sin1)(cos1)yxx,12 2x 解：(sin1)(cos1)yxxsincossincos1xxxx令，則sincosxxt21sin cos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt 由sincos2sin()4txxx且,12 2x 可得：222t 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2t max322y22t 3242y 故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?2 3,2422 例 12. 求函數(shù)的值域。245yxx解：由，可得250 x|5x 故可令5cos,0, x 5cos45sin10sin()44y05444 第 6 頁 共 1

9、3 頁當(dāng)時(shí)，4max410y當(dāng)時(shí)，min45y故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?5,410六六、判判別別式式法法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式x( , )0F x y ，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時(shí)為零）的函數(shù)的值域，常用此0 21112222a xb xcya xb xc1a2a方法求解。例 13：求函數(shù)的值域。2231xxyxx解：由變形得，2231xxyxx2(1)(1)30yxyxy當(dāng)時(shí)，此方程無解；1y 當(dāng)時(shí)，1y xR2(1)4(1)(3)0yyy 解得，又，1113y1y 1113y函數(shù)的值域?yàn)?231xxyxx11 |13yy七七、函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性法

10、法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例 14：求函數(shù)的值域。12yxx解：當(dāng)增大時(shí)，隨的增大而減少，隨的增大而增大，x12xx1 2xx函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。12yxx1(, 2，1111 2222y 函數(shù)的值域?yàn)椤?2yxx1(, 2 第 7 頁 共 13 頁例 15. 求函數(shù)的值域。11yxx 解：原函數(shù)可化為：1x1x2y令，顯然在上為無上界的增函數(shù)1, 121xyxy21y,y, 1 所以在上也為無上界的增函數(shù)21yyy, 1 所以當(dāng) x=1 時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值21yyy2222顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?y 2, 0(適用類型 2：用于求復(fù)合

11、函數(shù)的值域或最值。（原理：同增異減原理：同增異減）例 16：求函數(shù)的值域。)4(log221xxy分析與解：由于函數(shù)本身是由一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：配方得：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）2( )4 ( ( )0)t xxx t x 2( )(2)4( )0,4)t xxt x 所以（知：。), 2y八八、利利用用有有界界性性：一般用于三角函數(shù)型，即利用等。 1 , 1cos,1 , 1sinxx例 17：求函數(shù)的值域。cossin3xyx解：由原函數(shù)式可得：，可化為：sincos3yxxy21sin ()3yx xy即23sin ()1yx xyxRsi

12、n () 1,1x x 即23111yy 解得：2244y 第 8 頁 共 13 頁故函數(shù)的值域?yàn)?2,44注：該題還可以使用數(shù)形結(jié)合法。，利用直線的斜率解題。coscos0sin3sin3xxyxx例 18：求函數(shù)的值域。1 212xxy解：由解得，1 212xxy121xyy，20 x101yy11y 函數(shù)的值域?yàn)椤? 212xxy( 1,1)y 九、圖像法（數(shù)形 結(jié)合法）：其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。例 19：求函數(shù)的值域。|3|5|yxx解： ，22|3|5|822xyxxx(3)

13、( 35)(5)xxx 的圖像如圖所示，|3|5|yxx由圖像知：函數(shù)的值域?yàn)閨3|5|yxx8,) 例 20. 求函數(shù)的值域。22(2)(8)yxx解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：|2|8|yxx上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn) P（x）到定點(diǎn) A（2），間的距離之和。( 8)B 由上圖可知，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，|2|8| | 10yxxAB當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，|2|8| | 10yxxAB85-3oyx 第 9 頁 共 13 頁故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0, 例 21. 求函數(shù)的值域。2261345yxxxx解：原函數(shù)可變形為：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可

14、看成 x 軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，( ,0)P x(3,2),( 2, 1)AB 由圖可知當(dāng)點(diǎn) P 為線段與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)，22min|(32)(2 1)43yAB故所求函數(shù)的值域?yàn)?43,例 22. 求函數(shù)的值域。2261345yxxxx解：將函數(shù)變形為：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成定點(diǎn) A（3，2）到點(diǎn) P（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。) 1 , 2(B )0 , x(P即：|yAPBP由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上且不是直線 AB 與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三 PABP角形兩邊之差小于第三邊，有22| |(32)(2 1)26A

15、PBPAB即：2626y（2）當(dāng)點(diǎn) P 恰好為直線 AB 與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)，有| |26APBPAB綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?26,26 第 10 頁 共 13 頁例 23、：求函數(shù)的值域.xxycos2sin3分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式，將1212xxyyk原函數(shù)視為定點(diǎn)(2，3)到動(dòng)點(diǎn)的斜率，又知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足單位圓的方程，從而問題)sin,(cosxx)sin,(cosxx就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得，從而解得：3326,3326y點(diǎn)評(píng)：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直

16、線的斜率，結(jié)合圖形，從而使問題得到巧解。例 24求函數(shù)的值域。xxy11分析與解答：令，則，xu1xv10, 0vu222 vuyvu原問題轉(zhuǎn)化為 ：當(dāng)直線與圓在直角坐標(biāo)系的第一象限有公共點(diǎn)時(shí)，求直線yvu222 vuuov的截距的取值范圍。由圖 1 知：當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；yvu)2, 0(2miny當(dāng)直線與圓相切時(shí)，。 2222maxOCODy所以：值域?yàn)?2 y 2 2OVUABCDE 第 11 頁 共 13 頁十十：不不等等式式法法：利用基本不等式，求函數(shù)的32,3abab abcabc( , ,)a b cR最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)需要

17、用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 例 25. 求函數(shù)的值域。2211(sin)(cos)4sincosyxxxx解：原函數(shù)變形為：222222222211(sincos)sincos1sec3tancot32 tancot5yxxxxces xxxxxx 當(dāng)且僅當(dāng)tancotxx即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立4xk()kz故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,) 例 26. 求函數(shù)的值域。2sin sin2yxx解：4sin sincosyxxx24sincosxx42222222316sincos8sinsin(22sin)8(sinsin22sin)/36427yxxxxxxxx當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。22sin2

18、2sinxx22sin3x 由可得：26427y 8 38 399y故原函數(shù)的值域?yàn)椋? 3 8 3,99十十一一、 多多種種方方法法綜綜合合運(yùn)運(yùn)用用： 第 12 頁 共 13 頁 例 27. 求函數(shù)的值域。23xyx解：令，則2(0)txt231xt（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) t=1，即時(shí)取等號(hào)，所以0t 211112tyttt1x 102y（2）當(dāng) t=0 時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?0,2注：先換元，后用不等式法 例 28. 求函數(shù)的值域。234241212xxxxyxx解：24324241 21212xxxxyxxxx2222111xxxx令，則tan2x22221cos1xx21sin12xx2211coss