2018年秋高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2任意的三角函數(shù)1.2.1第1課時(shí)任意角的三角函

1、第 1 課時(shí)任意角的三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)目標(biāo)：1借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.（重點(diǎn)、難 點(diǎn)）2.掌握任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）在各象限的符號(hào).（易錯(cuò)點(diǎn)）3.掌握公式一一 并會(huì)應(yīng)用.自主預(yù)習(xí)探新知1.單位圓在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)0為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓.2任意角的三角函數(shù)的定義（1）條件在平面直角坐標(biāo)系中， 設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）,那么：結(jié)論1y叫做a的正弦，記作 sin_a，即卩 sina=y;2x叫做a的余弦，記作 cos_a，即卩 COSa=X；3丫叫做a的正切，記作 tana，即 tana=y（x豐0）.

2、xx（3）總結(jié)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).3.正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinaRCOSaRtana1xCRx，kn+專(zhuān)，kCZ 4正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)（1）圖示：3.252.口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.5.誘導(dǎo)公式一1.思考辨析(1)sina表示 sin 與a的乘積.()y設(shè)角a終邊上的點(diǎn)P(x,y),r= |Op豐0,貝Usina=-，且y越大，sina的值越大.()(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.()終邊落在 y 軸上的角的正切函數(shù)值為0.()解

3、析(1)錯(cuò)誤.sina表示角a的正弦值，是一個(gè)“整體”.(2)錯(cuò)誤.由任意角的正弦函數(shù)的定義知，sina=y.但y變化時(shí)，sina是定值.正確.(4)錯(cuò)誤.終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值不存在.答案x(2)x(3)V(4)x2.已知 sina 0, cosa V0,則角a是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角B 由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)知，角a是第二象限角.sina圖 1-2-23.252.sin3n =sin325sinTn合作探究攻重難1三角函數(shù)的定義及應(yīng)用探究問(wèn)題1. 一般地，設(shè)角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r,則 sina, c

4、osa, tana為何值？提示：sina=y,cosa=x,tana=yrrx2. sina, cosa, tana的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？提示：sina, cosa, tana的值只與a的終邊位置有關(guān)，不隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變.例 (1)已知角0的終邊上有一點(diǎn)F(x,3)(x豐0)，且 cos0 =-0 x，則 sin0+ tan0的值為_(kāi).(2)已知角a的終邊落在直線，3x+y= 0 上，求 sina, cosa, tana的值.思路探究依據(jù)余弦函數(shù)定義列方程求xT|依據(jù)正弦、正切函數(shù)定義求sin0+ tan0分類(lèi)討論求 sina, cosa, tanasin0

5、 +tan0=出嚴(yán).故 coscosa =x=-23,sina +sina1,2，貝Ucosa+ sina的值為1a=y=2,(1)3T30或3 10301010_ x(1)因?yàn)?r =./x2+ 9, cos0=-,所以x=%2+ 9.又x工 0,所以x= 1,所以r=10.又y= 30，所以0是第一或第二象限角.3n00為第一象限角時(shí)，sin0= 10 ,tan0=3,則 sin0 +tan0=0為第二象限角時(shí)，sin0=3100,tan0 =3,判斷角a的終邊位置4.角a終邊與單位圓相交于點(diǎn)由r= |OQ=12+22岳sina =- =,cos取52tana2.12.將本例 的條件“落在

6、直線3x+y= 0 上”改為“過(guò)點(diǎn) R 3a,4a) (a*0)”，求2sina +cosa.解因?yàn)閞= 3a2+la2=5|a| ,若a0,則r= 5a,角a在第二象限,規(guī)律方法由角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟:(1)已知角a的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種:先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)(2)直線 3x+y= 0,即y= 3x,經(jīng)過(guò)第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(一 1,3)，貝Ur= .12+3 一2= 2，所以 sina =#,cos12，tana=-3;何在第四象限取直線上的點(diǎn)(1 , 3),所以sin母題探究

7、:2+,32=2,312,cosa =,tana = 3.1將本例(2)的條件“ 3x+y= 0”改為y=2x”其他條件不變，結(jié)果又如解當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)P(1,2)，由r=|Op=12+ 22=22 515=,cosa =5555當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)5，得 sina，tan2 -=2.1Q-1, 2),22=5，得:1 並a=5 =歹，y4a4sina=廠晶=5，cosax 3ar5a35,所以 2sin83,a +cosa =一一一=1.55若a0).則 sina =, cosax=F 已知a的終邊求a的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便.(2)當(dāng)角a

8、的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)， 一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定，則需分類(lèi)討論三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用(1)已知點(diǎn)P(tana, cosa)在第四象限，則角a終邊在(C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)判斷下列各式的符號(hào)：sin 145 cos( 210 ): sin 3cos 4tan 5.思路探究(1)先判斷 tana, cosa的符號(hào)，再判斷角a終邊在第幾象限.先判斷已知角分別是第幾象限角，再確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，最后判斷乘積的符 號(hào).bana0,(1) C (1)因?yàn)辄c(diǎn) P 在第四象限，所以有由此可判斷角a終邊在第三cosa 0, 210= 360+ 150, 210是第二象限角,

9、 cos(210)v0,sin 145cos(210 )v0.%3n3nT V3V n , n V4v, -V5V2n ,2 2 2sin 30,cos 4V0,tan 5V0,sin 3cos 4tan 5 0.規(guī)律方法判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略：1 基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；2 關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)；8 注意：用弧度制給出的角常常不寫(xiě)單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號(hào).卜例A.第一象限【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352022】B.第二象限跟蹤訓(xùn)練1._ 已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)(3a 9,a+ 2)且 cosa0,則實(shí)數(shù)a的取

10、值范 圍是_.2va3因?yàn)?cosa 0,所以角a的終邊在第二象限或y軸非負(fù)半軸上，因?yàn)閍終邊過(guò)(3a 9,a+ 2),3a9w0,所以七所以一 2va 0,aaa2.設(shè)角a是第三象限角，且_sin= sin，則角2 是第象限角.a四角a是第三象限角，則角-；2 是第二、四象限角，aa_ a口 十一十-sin 牙 =sin y，二角是第四象限角.求值:tan 405 sin 450 + cos 750解(1)原式=tan(360 + 45 ) sin(360 + 90 ) + cos(2x360+ 30)=tan 45 sin 90 + cos 30 1-1+# 呼(n n fn、( n 、2

11、n +3 cos |4n + +tan i4n+才cos j 4n + nnn=sin cos+tan cos364規(guī)律方法利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫(xiě)成2kn+a的形式，其中a 0,2n) ,k Z.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角a的某個(gè)三角函數(shù)值.求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值.跟蹤訓(xùn)練3.化簡(jiǎn)下列各式：2 2I舉廈自._誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用(2)sin+ tan15n13nWcosW原式=sinx_23227n亍0S23n6(1)asin( 1 350 ) +btan 405 2abcos( 1 080 );f 11n、12(2) sin

12、 +cos-5n tan 4n.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352023】在第三象限或第一象限.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角3均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于1，貝Usin3=5設(shè)角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),2 2解(1)原式=asi n( 4X360+ 90) +bta n(360+ 45)2abcos(3X360)=a2sin 90 +b2tan 45 2abcos 0 2 2 2=a+b 2ab= (ab).(2)sin11 12?n +COs石ntan 4n=sin-tan 0 = sinn16+0=2.1.sin( 315 )的值是(A.C.2.A.C.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1B2sin( 315 ) = sin( 360+ 45)=sin 45若 sin0cos00,貝 U0在(第一或第四象限第一或第二象限B.D.因?yàn)?sin0cos0 0,所以 sin0第一或第三象限第二或第四象限v0,cos0v0 或 sin0 0,cos0 03.已知角a終邊過(guò)點(diǎn) R11)，貝 U tana的值為(A.B.C.D.由三角函數(shù)定義知 tan1a= =1.x軸對(duì)稱,LT *右 sina11由題意知y= s