2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第3節(jié)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題學(xué)案

1、第 3 節(jié) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題最新考綱1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；2. 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決I基礎(chǔ)摻斷丨回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1) 一般地，二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C= 0 某一一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不含邊界直線.不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域包括邊界直線，把邊界直線畫成實(shí) .對(duì)直線Ax+By+C= 0 同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),代入Ax+By+C所

2、得值的符號(hào)都相同， 所 以只需取一個(gè)特殊點(diǎn)(xo,yo)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax+By)+C的符號(hào)可判斷Ax+By+C0 表示的 是直線Ax+By+C= 0 哪一側(cè)的平面區(qū)域.(3)不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分2. 線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對(duì)x,y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.

3、畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：(1) 直線定界：不等式中無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線；(2) 特殊點(diǎn)定域：若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0 ,1)或(1 , 0)來驗(yàn)證.2.在通過求直線的截距呂的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b0 時(shí)，截距取最大值時(shí)，b2bz也取最大值；截距Z取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b 0 表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C= 0 的上方.()(2) 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.()(3) 線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上.()在目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b0)中，z的幾

4、何意義是直線ax+byz= 0 在y軸上的截距.()解析(1)不等式xy+ 10 表示的平面區(qū)域在直線xy+ 1 = 0 的下方直線ax+byz= 0 在y軸上的截距是b.答案X(2)V(3)VX2. 下列各點(diǎn)中，不在x+y K0 表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A.(0 , 0)B.( 1, 1)C.( 1, 3)D.(2 , 3)解析 把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(1, 3)不適合.答案 Cx 3y+ 60,一3. (教材習(xí)題原題)不等式組表示的平面區(qū)域是()區(qū)一y+ 2 1,貝Uz= 3x 2y的最小值為xyw0,x+2yw1,解析 不等式組 2x+y 1，表示的平面區(qū)域如圖所示xy3z3z由z= 3x

5、 2y得y=十一,當(dāng)直線y= * 過圖中點(diǎn)A時(shí)，縱截距最大，此時(shí)z取最小值2x+y= 1,由彳解得點(diǎn)A 1, 1），此時(shí)z= 3X（ 1） 2X1= 5.x+ 2y= 1答案 5/ y+1 0,5.（2018 石家莊質(zhì)檢）若x,y滿足約束條件 幺2W0, 則z= 的最大值為 _x （x+y 2 0,解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分，z=丫 =x ,表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn) 連線的斜率，易知zmax=k0A由x 0 xy+ 1 = 0,x+y 2= 0,1得A2,32koA= 1 = 3 ,Zmax= 3.答案 3I考點(diǎn)突破 晴 ppi上弓訃尋分類講練.以例求沬245考點(diǎn)一二元一次不

6、等式(組)表示的平面區(qū)域【例 1】(1)不等式(X 2y+ 1)(x+y 3) 1,由 ”+y2=0,解得 /=1m即A(1 m1 +m.xy+2m= 0,|y= 1 +m24ix=33mI2 2y=3+3m(2)若不等式組x+y20,xy+2m0表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危移涿娣e等于43，貝 U m 的值為A. 3B.14C.3D.3解析 (1)(x2y+1)(x+y3)0,x+y30或x 2y+ 1 0.畫出平面區(qū)域后,由x+2y-2=0,xy+2m=0, 解得6洛 422 11即B3 3，3 + 3m，所圍成的區(qū)域?yàn)锳BC貝uSAABC=SAADC- SBDE-(2 + 2m)(1 +m

7、2(22124+2m 3(1 +m= 3(1 +m= 3,解得 m= 3(舍去)或 m= 1.答案(1)C(2)B規(guī)律方法1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測(cè)試點(diǎn)定域2.求平面區(qū)域的面積：(1) 首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；(2) 對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析， 若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和【訓(xùn)練 1】(2018 鄭州預(yù)測(cè))若不等式x2+y2 0,x+y0,表示的平面區(qū)域?yàn)镹,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)

8、拋一粒豆子， 則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概2x 6率為_ .1解析作出不等式組與不等式表示的可行域如圖陰影部分所示，平面區(qū)域N的面積為X3n X(6 + 2) = 12,區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為 4n(邊)2= 2，故所求概率P=巨=盤.考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題(多維探究)命題角度 1 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值x+ 3y 1,貝 Uz=x+y的最大值為y 0,8答案 D命題角度 2 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值x+yw2,【例 2-2】(1)若變量x,y滿足2x 3yw9,則x2+y2的最大值是(),x 0,A.4B.9C.10D.12尸x 1 ,x(2018 湘中高三聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足彳xw3,貝與

9、的最小值是 _x+ 5y 4,解析(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(包括邊界)，x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方 .由圖 易知平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(3 , 1)與原點(diǎn)的距離最大，所以x2+y2的 最大值是 10.x(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域， 如圖所示，又勺表示平面區(qū)域內(nèi) 的點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率的倒數(shù) 由圖知，直線OA的斜率最 大，此時(shí)x取得最小值，所以r .=k-=2.yyminkoA23答案(1)C命題角度 3 求參數(shù)的值或范圍A.OB.1C.2D.3解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分A(3 , 0)時(shí)取得最大值，故Zmax= 3 + 0

10、 = 3.(含邊界)，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+y經(jīng)過9x+ 3y+5 0,【例 2- 3】(2018 惠州三調(diào))已知實(shí)數(shù)x,y滿足：x+y K 0, 若z=x+ 2y的最小值 lx +a0,為一 4,則實(shí)數(shù)a=()A.1B.2C.4D.8解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z=x+ 2y經(jīng)過點(diǎn)fa5a5Ca, 一 時(shí)，z取得最小值一 4，所以一a+2 = 4，解得a= 2.答案 B規(guī)律方法 1.先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值2當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義：Jx2+y2表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0 ,

11、 0)的距離，(xa)2+(yb)2表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn) (a,b)的距離；yyb-表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0 , 0)連線的斜率，表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率.xxa3當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件x -y+3W0,【訓(xùn)練 2】（1）（201 7 山東卷）已知x,y滿足約束條件 3x+y+ 5 0,值是()）若實(shí)數(shù)x,y滿足 2x+y 60,yw3,5且z=mx y(n2)的最小值為一-,A.0B.2C.5D.6(2018 新鄉(xiāng)模擬10則m等于()11C.1oyc3元工5m ，口 2= 2-3,解得 m= 1.答案(1)C(2)C考點(diǎn)三【例3 （201

12、6 全國(guó)I卷）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A 和產(chǎn)品 B 需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A 的利潤(rùn)為 2 100 元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為 900 元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，則在不超過 600 個(gè)工時(shí)的條件A,由尸3，解得2xy+ 2= 0,下，生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品 B 的利潤(rùn)之和的最大值為x+ 0.3y0,y N+,目標(biāo)函數(shù)z= 2作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分（包括邊界）內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

13、A.4B.-61D.3解析（1）由已知得約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，故工一1汁咅=04xz=mx- y（m2）的最小值為一|，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解過點(diǎn)解析 設(shè)生產(chǎn) A 產(chǎn)品x件，B 產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、時(shí)要求等其他限制條件，得線性約束條件為5x+ 3y0,x N+,目標(biāo)函數(shù)z=x+ 2y經(jīng)過點(diǎn)q 3,4）時(shí)取最大值Zmax= =5.3+2X4.1.5X+ 0.5y0,y0.作出可行域(如圖陰影部分所示).當(dāng)直線z= 200 x+ 100y經(jīng)過可行域上4x+y= 10,點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值.解方程組6x+ 5y=22，得點(diǎn)B的坐標(biāo)(2,2),故Zmax=200X2+100X2

14、=600.答案 600I課乍業(yè)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30 分鐘)、選擇題yw -x+ 2,.4x+y0,y0.目標(biāo)函數(shù)z= 200 x+ 100y.分層訓(xùn)練、提升能力131.不等式組 iywx 1,所表示的平面區(qū)域的面積為()!.y 014解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)? 1 1SBCD=2x（xc-XB）X2=4答案 Dxw3,2.（2017 北京卷）若x,y滿足丿x+y2,則x+ 2y的最大值為ywx,( )A.1B.3C.5D.9一 一1z1z解析畫出可行域，設(shè)z=x+ 2y，貝 Uy=- 2乂+ ，當(dāng)直線y=-歹+過B(3 , 3)時(shí)，z取得最大值 9.答案 D2x+3y-3w0,3.

15、（2017 全國(guó)n卷）設(shè)x,y滿足約束條件2x-3y+30,則z= 2x+y的最小值是（y+ 3 0,答案 AA.1111B.-C.D.-234由* y =-x+2,y=x-1,得yD= 2 所以A. - 15B. - 9C.1D.9解析作出不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得函數(shù)在點(diǎn)B（ - 6, - 3）處取得最小值z(mì)min=- 12 3 =- 15.BCD由題意知XB=1,Xc= 2.L -.：=：Iit-刊+X赳）153x+2y-6w0,4.（2017 全國(guó)川卷）設(shè)x,y 滿足約束條件x0,則z=xy的取值范圍是（）y o,A. 3, 0B. 3, 2C.0 , 2D.0 ,

16、 3解析畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示），結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)A（0，3）處取得最小值z(mì)= 0 3= 3，在點(diǎn)B（2 , 0）處取得最大值z(mì)= 2 0 = 2.答案 BxyK0,5.（2018 河北名校聯(lián)盟質(zhì)檢）設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y0,則z=x 2y的最x+ 2y4 0,大值為（）3A. 12B. 1C.0D.-解析作出可行域，如圖陰影部分，作直線I。：x 2y= 0，平移直線10,可知經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z=x 2y取得最大值，x +2y4=0,由得A（2 , 1），所以zmax= 2 2X1= 0,xy1 = 0,故選 C.答案 C166.（2018 上饒調(diào)研）

17、若 K log2（xy+ 1） 2, |x 3| 1,則x 2y的最大值與最小值之和是（）17|2wxy+1w4,解析1 log2（xy+1） 2, |x 3|1即變量x,y滿足約束條件即2x 4,xy 3 0,2x 1,x,y滿足mx- y0的最大值為 2，則實(shí)數(shù)m的值為（2 2設(shè)z= （x 2） +y,則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（2, 0）的距離的平方，由圖知C,D間的距離最小，此時(shí)z最小由 =1, 得 =0,即C(0, 1),A.OB. 2C.2D.67. （2018 湖南長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽八中等十三校聯(lián)考）若1A.32B.-3C.1D.2解析 若z= 3xy的最大值為 2，則此時(shí)目

18、標(biāo)函數(shù)為y= 3x 2，直線y= 3x 2 與 3x 2y+ 2 = 0 和x+y= 1 分別交于A(2 ,4),B| , 4 .mx-y= 0 經(jīng)過其中一點(diǎn),1所以 m= 2 或 m= 3 ,當(dāng)m=1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，故m= 2.答案 Dxy+1 0,8.若變量x,y滿足約束條件y 1,2 2則（x 2） +y的最小值為B. 59C.9D.5解析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示18lxy+ 1 = 0|y= 1,此時(shí)Zmin= (x 2)2+y2= 4 + 1 = 5.19答案 D、填空題rx-y 0,9.(2017 全國(guó)川卷)若x,y滿足約束條件 fx +y-2 2,上的

19、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OMON勺最大值是_.I yx解析 依題意，得不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 其中A2 ,1,13B2，2，c(1，1).設(shè)z=SMON= 2x+y,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z= 2x+y過點(diǎn)C(1 , 1)時(shí)，z= 2x+y取得最大值 3.A(1 , 1)處取最小值，故20答案 311._ ( 一題多解)已知一 1vx+yv4 且 2vxy 3,則z= 2x 3y的取值范圍是 _ (答21案用區(qū)間表示).15所以z= 2（x+y） + 2（xy）.所以兩式相加可得z (3 , 8).平移直線 2x 3y= 0,當(dāng)相應(yīng)直線經(jīng)過xy= 2 與x+y= 4 的交點(diǎn)A(3 ,1)時(shí)，z取得

20、最小值，Zmin= 2X3 3X1= 3;當(dāng)相應(yīng)直線經(jīng)過X+y=1 與xy= 3 的交點(diǎn)B（1 , 2）時(shí)，z取得最大值，Zmax= 2X1 + 3X2= 8.所以z （3 , 8） .答案 （3 , 8）x+y 2 0,12.x,y滿足約束條件丿x 2y 2 0.的值為_解析 如圖，由y=ax+z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距. 故當(dāng)a 0時(shí)，要使z=yax取得最大值的最優(yōu)解不唯一， 則a= 2； 當(dāng)a 0 時(shí)，要使z=yax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a=1.答案 2 或1能力提升題組解析 法一 設(shè) 2x 3y=a(x+y) +b(xy)，則由待定系數(shù)法可得a+ b=2,a一b= 一 3,解得又2v2（x+y）v2,5155v2（xy） ,法二作出不等式組1 x+y 4,2xy 3表示的可行域，如圖中陰影部分所示嚴(yán)=-|4占-1a= 2，22(建議用時(shí)：15 分鐘)13.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A