專題(2)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、專題二命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件基個(gè)知1R餐打年彊取圣11C H U Z H 1 & H I ¥ A <M)l 知識(shí)能否憶起一、命題的概念在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，能夠判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.二、四種命題及其關(guān)系1. 四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若綈p，則綈q逆否命題若綈q，則綈p2. 四種命題間的逆否關(guān)系杏1Z亠互連3. 四種命題的真假關(guān)系(1) 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性:(2) 兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)相關(guān)系亠三、充分條件與必要條

2、件1 .如果p? q,貝U p是q的充分條件，q是p的必要條件2. 如果p? q, q? p，則p是q的一小題能否全取1. (教材習(xí)題改編)下列命題是真命題的為()1 1A.若-=-，則 x= yB .若 x2 = 1,則 x= 1x y1 1解析：選A由-=-得x= y, A準(zhǔn)確，易知B、C、D錯(cuò)誤.x yn2. （2012湖南高考）命題“若a= 4,A .若 aM £ 則 tan a 14nC.若 tan a 1，貝U a 4則tan a= 1”的逆否命題是（）B .若 a= n,貝V tan a 14nD .若 tan a 1,貝V a=_4解析：選C以否定的結(jié)論作條件、否定的

3、條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若a= ,則tan a= 1”的逆否命題是“若 tan a 1，貝U a ：” .3. （2012溫州適合性測(cè)試）設(shè)集合A, B,貝U A? B是A n B= A成立的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選C由A? B，得An B= A;反過(guò)來(lái)，由A n B= A,且（A n B）? B，得A? B.所 以，A? B是An B= A成立的充要條件.4 . “在 ABC中，若/ C = 90 ° 則/ A、/ B都是銳角”的否命題為：解析：原命題的條件：在 ABC中，/ C = 90°結(jié)論

4、：/ A、/ B都是銳角.否命題是否定條件和結(jié)論.即“在 ABC中，若/ CM 90°則/ A、/ B不都是銳角”.答案：“在 ABC中，若/ C a 90°則/ A、/ B不都是銳角”5.下列命題中所有真命題的序號(hào)是 . a>b”是a2>b2”的充分條件； a|>|b|是a2>b2”的必要條件； a>b"是“ a+ c>b+ c”的充要條件.解析：由2> 3? / 22>（ 3）2知，該命題為假；由 a2>b2? |a|2>|b|2? |a|>|b|知，該命 題為真； a>b? a + c&

5、gt;b+ c,又 a + c>b+ c? a>b，二 a>b"是 “ a+ c>b + c” 的充要條件為 真命題.答案：1充分條件與必要條件的兩個(gè)特征（1）對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p? q” ? “q?p” ；傳遞性：若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）條件.注意區(qū)分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個(gè)充分不必要條件是 q”兩者的 不同，前者是“p? q”而后者是“q? p”.2. 從逆否命題，談等價(jià)轉(zhuǎn)換因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題具有相同的真假性，因而，當(dāng)判斷原命題的真假比較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)

6、化為判斷它的逆否命題的真假，這就是常說(shuō)的“正難則反”.|GARFIN KACH1I AN V ；學(xué)拽迭得瑣嵩分r*- 1四種命題的關(guān)系及真假判斷&典題導(dǎo)入例1下列命題中準(zhǔn)確的是（） “若x2+卄0，貝U x, y不全為零”的否命題； “正多邊形都相似”的逆命題； “若m>0，貝U x2 + x m= 0有實(shí)根”的逆否命題； “若x 3*是有理數(shù)，貝U x是無(wú)理數(shù)”的逆否命題.A .B .C.D .自主解答中否命題為 “若x2+ y2= 0,貝V x= y= 0”，準(zhǔn)確；中， A= 1 + 4m,當(dāng) m>0時(shí)，A>0,原命題準(zhǔn)確，故其逆否命題準(zhǔn)確；中逆命題不準(zhǔn)確；中原命

7、題準(zhǔn)確故逆 否命題準(zhǔn)確.答案B-由題悟法在判斷四個(gè)命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系.要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性，一旦一個(gè)命題定為原命題，也就相對(duì)應(yīng)的有了它的“逆命題” “否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時(shí)要實(shí)行推理，判定命題為假命題時(shí)只需舉出反例即可.對(duì)涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手.呂以題試法1. 以下關(guān)于命題的說(shuō)法準(zhǔn)確的有 （填寫(xiě)所有準(zhǔn)確命題的序號(hào)）. “若Iog2a>0,則函數(shù)f（x）= logax（a>0, a豐1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題； 命題“若a= 0，貝U ab= 0”的否命題是“若 a 0,

8、貝U ab 0”； 命題“若x, y都是偶數(shù)，則x+ y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題； 命題“若a M，貝U b?M”與命題“若b M，貝U a?M”等價(jià).解析：對(duì)于，若Iog2a>0 = log2l,則a>1，所以函數(shù)f(x)= logax在其定義域內(nèi)是增函 數(shù)，故不準(zhǔn)確；對(duì)于，依據(jù)一個(gè)命題的否命題的定義可知，該說(shuō)法準(zhǔn)確；對(duì)于，原命 題的逆命題是 "若x + y是偶數(shù)，則x、y都是偶數(shù)”，是假命題，如1 + 3= 4是偶數(shù)，但3 和1均為奇數(shù)，故不準(zhǔn)確；對(duì)于，不難看出，命題“若a M，則b?M”與命題“若b M，則a?M ”是互為逆否命題， 所以二者等價(jià)，所以準(zhǔn)確.綜上可

9、知準(zhǔn)確的說(shuō)法有答案：例 2 (1)(2012 福州質(zhì)檢)x<2”是“ x2 2x<0”的()A .充分而不必要條件B 必要而不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件(2)(2012北京高考)設(shè)a,b R，“ a= 0”是“復(fù)數(shù)a+ bi是純虛數(shù)”的()A .充分而不必要條件B 必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件自主解答(1)取x= 0,則x2 2x= 0,故由x<2不能推出x2 2x<0;由x2 2x<0得0<x<2,故由x2 2x<0能夠推出x<2.所以“<2"是“x2 2x<0”的必要

10、而不充分條件.當(dāng)a = 0，且b = 0時(shí)，a + bi不是純虛數(shù)；若 a + bi是純虛數(shù)，則a = 0.故“a = 0”是“復(fù)數(shù)a + bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.答案(1)B (2)B白由題悟法充要條件的判斷，重在“從定義出發(fā)”，利用命題“若p，則q”及其逆命題的真假實(shí)行區(qū)分，在具體解題中，要注意分清“誰(shuí)是條件”“誰(shuí)是結(jié)論”，如“ A是B的什么條件”中，A是條件，B是結(jié)論，而“ A的什么條件是B”中，A是結(jié)論，B是條件.有時(shí)還能夠 通過(guò)其逆否命題的真假加以區(qū)分.占以題試法2. 下列各題中，p是q的什么條件？(1) 在厶 ABC 中，p: A= B, q : sin A= sin B

11、 ；(2) p：兇=x, q : x2 + x> 0.解：(1)若 A= B,貝U sin A = sin B, 即卩 p? q.又若 sin A= sin B，貝V 2Rsin A = 2Rsin B，即 a= b.故 A= B，即 q? p.所以p是q的充要條件.(2)p： x|X| = x = x|x0 = A,q： xlx2+ x> 0 = x|x> 0,或 xw 1 = B,/ A B, p是q的充分不必要條件.例3已知p： 4<x a<4, q: (x 2)(x 3)<0，且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍為.自主解答設(shè)q, p表示的范圍

12、為集合 A, B,則 A= (2,3), B= (a 4, a+ 4).因?yàn)閝是p的充分而不必要條件，則有A B,a 4 w 2,a 4<2,即或解得一1 w aw 6.a + 4>3a+ 4> 3,答案1,6白由題悟法利用充分條件、必要條件能夠求解參數(shù)的值或取值范圍，其依據(jù)是充分、必要條件的定義，其思維方式是：(1)若p是q的充分不必要條件，則p? q且q? / p；若p是q的必要不充分條件，則p? / q,且q? p；若p是q的充要條件，則 p? q.占以題試法3. (2013蘭州調(diào)研)“x 3 , a ”是不等式2x2 5x 3> 0成立的一個(gè)充分不必要條件， 則

13、實(shí)數(shù)a的取值范圍是()1A. (3,+ )B. m， U 3,)C. m， 1D. m， 1 U (3,+m )1解析：選 D 由 2x2 5x 3 > 0 得 xw 或 x> 3. x 3 , a是不等式2x2 5x 3>0成立的一個(gè)充分不必要條件，又根據(jù)集合元素的 互異性a工3,1 aw- 2或 a>3.E&趣全員必做題1. （2012福建高考）已知向量a = （x 1,2）, b= （2,1），貝U a丄b的充要條件是（）1A. x= 2B . x= 1C. x = 5D. x= 0解析：選 D a丄 b? 2（x 1） + 2= 0，得 x= 0.2命題

14、“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（）A .“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B. “若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C. “若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D. “若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析：選B原命題的逆命題是：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù).a l b3. （2013武漢適合性訓(xùn)練）設(shè)a, b R,則“ a>0, b>0”是“一> .忑”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選 D 由 a>0 , b>0 不能得知 a> 一 ab,如取 a = b = 1 時(shí)

15、，a = . ab;由a> 一 ab 不能得知a>0, b>0 ,如取a = 4, b = 0時(shí)，滿足a-b> ab,但b= 0.綜上所述，“a>0, b>0”a+ b 是廠ab ”的既不充分也不必要條件.4. 已知 p： “a= 一 2”，q : “直線 x+ y = 0 與圓 x2+ （y a）2= 1 相切”，則 p 是 q 的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選A由直線x+ y= 0與圓x2 + （y a）2 = 1相切得，圓心（0, a）到直線x+ y = 0的 距離等于圓的半徑，即有 |aJ

16、= 1, a= ± 2.所以，p是q的充分不必要條件.5. （2012廣州模擬）命題：“若x2<1，則1<x<1 ”的逆否命題是（）A. 若 x2> 1，則 x> 1 或 x< 1B. 若1<x<1，則 x2<1C. 若 x>1 或 x< 1,貝U x2>1D. 若 x> 1 或 xw 1,則 x2> 1解析：選D x2<i的否定為：x2> 1 ； 1<x<1的否定為x> 1或xw 1,故原命題的逆否 命題為：若x> 1或x< 1，貝U x2> 1.6.

17、 (2011 天津高考)設(shè)集合 A = x R|x 2> 0, B= x R|xv 0, C= x R|x(x 2)>0，則“ x AU B”是“ x C” 的()A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C.充分必要條件D 既不充分也不必要條件解析：選 C A U B= x R|xv 0，或 x> 2, C = x R|xv 0，或 x > 2,/ AU B= C,. x A U B是x C的充分必要條件.7. 下列命題中為真命題的是()A .命題“若x>y,則x>|y|”的逆命題B. 命題“ x>1，則x2>1 ”的否命題C. 命題“若x =

18、1，則x2 + x 2= 0”的否命題D. 命題“若x2>0 ,則x>1 ”的逆否命題解析：選A對(duì)于A，其逆命題是：若 x>|y|，則x>y,是真命題，這是因?yàn)?x>|y|> y,必 有x>y;對(duì)于B，否命題是：若 x< 1,貝U x2w 1,是假命題.如 x= 5, x2 = 25>1 ;對(duì)于C, 其否命題是：若 xm 1，貝U x2+ x 2工0,因?yàn)閤= 2時(shí)，x2+ x 2 = 0,所以是假命題；對(duì) 于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，所以原命題與它的逆否命題都是假命題.&對(duì)于函數(shù)y

19、= f(x), x R，“y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“ y= f(x)是奇函數(shù)”的()A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選B若y= f(x)是奇函數(shù)，則f( x)= f(x), - |f( x)|= | f(x)|=|f(x)|, y= |f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但若y= |f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如y= f(x)= x2,而 它不是奇函數(shù).9. 命題“若x>0,則x2>0”的否命題是 命題.(填“真”或“假”)解析：其否命題為“若xw 0，則x2w 0 ”，它是假命題.答案：假10. 已知集合 A= x

20、|y = lg(4 x)，集合 B = x|x<a，若 P:“ x A” 是 Q:“ x B”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .解析：A = x|x<4，由題意得A B結(jié)合數(shù)軸易得a>4.答案：(4,+ )x2y211. (2013紹興模擬)“一3<a<1 ”是“方程 += 1表示橢圓”的 a+ 3 1 a條件.a+ 3>0,解析：方程表示橢圓時(shí)，應(yīng)有1 a>0 ,a + 3 工 1 a解得3<a<1 且 a* 1,故“3<a<1 ”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.答案：必要不充分12. 若Xd>1 ”是x&

21、lt;a”的必要不充分條件，則a的最大值為 .解析：由x2>1，得x< 1或x>1，又x2>1 ”是x<a”的必要不充分條件，知由x<a”能夠推出x2>1 ”，反之不成立，所以 a < 1，即a的最大值為一1.答案：113. 下列命題： 若 ac2>bc2，則 a>b; 若 sin a= sin貝V a= B; “實(shí)數(shù)a = 0”是“直線x 2ay= 1和直線2x 2ay= 1平行”的充要條件； 若f(x) = log2x,則f(|x|)是偶函數(shù).其中準(zhǔn)確命題的序號(hào)是 .解析：對(duì)于，ac2>bc2, c2>0,.a>

22、b 準(zhǔn)確；對(duì)于，sin 30 = sin 150?°/ 30 = 150 ° 所以錯(cuò)誤；對(duì)于，11/ 12? A1B2= A2B1，即2a= 4a? a= 0且A1C2? / A2C1，所以準(zhǔn) 確；顯然準(zhǔn)確.答案：1 n14. 已知集合 A= x 2 x2 x 6<1 , B = x|log4(x+ a)<1,若 x A是 x B 的必要不充分條件，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .1解析：由 2 x2 x 6<1,即 x2 x 6>0,解得 x< 2 或 x>3,故 A= x|x< 2,或 x>3； 由 log4(x+ a)<

23、1，即 0<x+ a<4，解得-a<x<4 a,故 B = x| a<x<4 a，由題意,可知 B A, 所以 4 a< 2 或a>3，解得 a>6 或 a< 3.答案：(一a, 3 U 6 ,+ )B級(jí)黃點(diǎn)選做題1.在厶ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊，貝UA<B”是“ co2A>cos 2B”的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件ab由正弦定理可知= ，故a<b? sin A<sin B.sin A sin B而 cos 2A = 1 - 2sin

24、 若不等式x2 + ax+ bw 0的解集是非空數(shù)集，則a2- 4b<0 ;A, cos 2B = 1 - 2sin2B,又 sin A>0, sin B>0，所以 sin A<sin B? cos 2A>cos 2B.所以 a<b? cos 2A>cos 2B, 即卩 A<B"是 “coQA>cos 2B"的充要條件.2設(shè)x、y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，命題“ x、y中至少有一個(gè)數(shù)大于1 ”成立的充分不必要條件是()A. x+ y= 2B. x+ y>2C. x2 + y2>2D. xy>1解析：選B命題“ x、y

25、中至少有一個(gè)數(shù)大于 1 "等價(jià)于“ x>1或y>1".若 x + y>2，必有 x>1 或 y>1,否則 x+ y< 2;而當(dāng)x= 2, y=- 1時(shí)，2- 1 = 1<2，所以x>1或y>1不能推出x+ y>2.對(duì)于x+ y= 2，當(dāng)x= 1,且y= 1時(shí)，滿足x+ y= 2,不能推出x>1或y>1.對(duì)于x2+ y2>2，當(dāng)x< 1, y< 1時(shí)，滿足x2 + y2>2，故不能推出 x>1或y>1.對(duì)于xy>1，當(dāng)x<- 1, y<- 1時(shí)，滿足x

26、y>1，不能推出x>1或y>1，故選B.1 13. 已知不等式|x- m|<1成立的充分不必要條件是 <x<4答案：2，34. 在“ a，b是實(shí)數(shù)”的大前提之下，已知原命題是“若不等式x2+ ax+ bw 0的解集是非空數(shù)集，貝U a2- 4b> 0”，給出下列命題： 若a2- 4b> 0，則不等式x2 + ax+ bw 0的解集是非空數(shù)集； 若a2-4b<0，則不等式x2 + ax+ bw 0的解集是空集； 若不等式x2 + ax+ bw 0的解集是空集，則 a2- 4b<0;，則m的取值范圍是 1 1解析：由題意知：“ 3<

27、x<2”是“不等式|x- m|<1 ”成立的充分不必要條件.1 1 所以x 1<x<1是x|x- m|<1的真子集.而x|x- m|<1 = x|- 1 + m<x<1 + m，-1 + mw 3所以有11 + m> ，14解得一2w mw §.1 4 所以m的取值范圍是 一， 3 . 若a (2012濟(jì)南模擬)在命題p的四種形式的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題 )中，準(zhǔn)確命題的個(gè)數(shù)記為f(p),已知命題p： “若兩條直線I仁a1x+ b1y+ C1= 0, I2： a2x+ b2y+ C2= 0 平行，則 a1b2 a2

28、b1= 0”.那么 f(p)=()A. 1B . 2C. 3D. 4 解析：選B若兩條直線1仁a1x+ b1y + C1= 0與12： a2x + b2y+ C2= 0平行，則必有 a1b2a2b1= 0，但當(dāng)a1b2 a2b1 = 0時(shí)，直線l1與l2不一定平行，還有可能重合，所以命題p是 4b<0，則不等式x2 + ax+ b< 0的解集是非空數(shù)集； 若不等式x2 + ax+ bw 0的解集是空集，則 a2 4b> 0.其中是原命題的逆命題、否命題、逆否命題和命題的否定的命題的序號(hào)依次是(按要求的順序填寫(xiě))解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，

29、根據(jù)命題的 構(gòu)造規(guī)則，題目的答案是答案：5設(shè)條件 p： 2x2 3x + 1w0，條件 q： x2 (2a + 1)x+ a(a+ 1)w 0,若綈 p 是綈 q 的必 要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1解：條件p為：gw xw 1，條件q為：aw xw a+ 1.1綈p對(duì)應(yīng)的集合A = xx>1，或,綈q對(duì)應(yīng)的集合B=x|x>a+ 1，或x<a 綈p是綈q的必要不充分條件,11/ B A,. a+ 1>1 且 aw-或 a+ 1 > 1 且 a<221 一 1 0w a w 2.故 a 的取值范圍是 0, 2 6.已知集合 M = x|x< 3,或 x>5, P = x|(x a) (x 8) w 0.(1) 求M n P = x|5<xw 8的充要條件；(2) 求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為 M n P = x|5<xw 8的一個(gè)充分但不必要條件.解：(1)由 M n P= x|5<xw 8，得一3w aw 5,所以 M n P= x|5<