03-4振型函數(shù)的正交性與連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng).振型疊加法(精)

1、3.5振型函數(shù)的正交性 士型 士吩更同有限自由度系統(tǒng)一樣，連續(xù)系統(tǒng)也存在固有振型的 正交性這一重要的特性.從前面討論可以看到，一些簡單情形下的振型函數(shù)是 三角函數(shù)，它們的正交性是自然的.在一些復(fù)雜情況下，振型函數(shù)還包含雙曲函數(shù)，它們 的正交性以及更一般情形下振型函數(shù)的正交性尚待進一 步說明.僅以梁彎曲振動的振型函數(shù)論證其正交性.設(shè) Yr(x)和 y$(x)分別代表對應(yīng)于/階和$階固有頻率 和的兩個不同階的振型函數(shù)，代入上式得127 EJ(x)dv*用Yr(x)HL方程(2),并在梁全長上進行積分粱橫向振動的振型函數(shù)方程為-M2p(x)A(x)Y(x) = 0 (0 x L)d2ru) )dx2

2、=0)p(x)A(x)Yr(x) x L (1)d2左EJ(X)用方程(i),幷在梁全長上進行積分 心(兀)d.v2=(i)；p(x)A( x)Z (x) xL (2)dg)d?如令W)EJ(x)dvd； EJ(x)J(.v)d(：V)dtd?-(1)* tLAfdLr =旳匸p(x)A(x比(.v)r%(.vXLv丄d dr二億(x)WEJ(x)dr2臼ldvL二皿)竺妙眥ddr2此dT也2也Udrdx2汀：Q(X)Ad比(x)匕(x)drIf fit=arp(x)A(x)Ys(x)AL (2)用打(x)乘方程(2),并在柔全長上進行積分.同理可得clL“迴”)昨dxdxd2rv(x)dLt

3、2+E/(x嚴 3 巡oJ M *p(x)A(x)Yx)Ys(x)dx*fit、hw I腫細j(p(x)4(x)r(x)y(xXLvCL d2J怙dr dr0) p(x)A(x)YrWYS(x)dr兩式左右對應(yīng)相減dx2注意:上式右邊是x=0和x=的端點邊界條件.對于固支 端.較支經(jīng)過變換后得如下兩個方程山=Y.x) EJ(x) dxd2YrMdx2/(x)dr+皿嚴.仰遜)心J 0 dx2dv+j細空凹(4)將上面兩*fitWdutf . MfUMa.、(；(x)A(x)Yr(x)ys(x)cL竺臥嚴(X)*山夫?qū)W仇被工*1爭fttfiiirrti、aariM I rM端和自由端的任一組合而

4、成的梁，上式右邊都 等于零.*山夫?qū)W仇被工*1爭fttfiiirrti、aariM I rM研匚p(x)因此，上述方程可以簡化為(e； - e 汀(：p(x)A( (M(譏C“U = 0按照假設(shè)， 片(x)和匕(x)是對應(yīng)于不同固有頻率的振 型函數(shù)(咼，工型)，由此得出Q(X)A(X比(x)匕(x)dv = 0 (m)顯然，振型函數(shù)；(x)和人(x)對于質(zhì)量p(x)A(x)是正 交的，這就是簡單支承條件下梁振型函數(shù)對于質(zhì)量的正 交性條件.將振型函數(shù)對于質(zhì)量“(x)A(x)的正交性關(guān)系/9( (x)A(x) )y (A)KS(x)dv = 0(廠Hs) d:f KWJo dr+j:m)勢畑=oJ

5、氐妝d2Y(x).L dd2r( (x) )lldr dr振型函數(shù)對于剛度E/(x)的正交性鼻.山大爭機鈦工任爭嚨Mtaatf . MaU k.式中見為克朗尼格貂號用途：對振型函數(shù)正則化， 確定正則化系數(shù)+S空竺牌心Jo dr d?對于固支端、咬支端和自由端的任一組合的梁，振 型函數(shù)對于剛JtEJ(x)的正交條件表示為E/(x)趙里乜山=0(廠處)Jodr dr由此可見，梁彎曲振動振型函數(shù)對剛度E/(x)的正交 性，實際上是振型函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所具有的正交性.我（dr匕(切 /(d.vd.v = OdxocLf振型函數(shù)的正則化H 工彳1芋fit設(shè)“n和2)為正則振型函數(shù)，則有3.6連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)

6、振型疊加法(& HZi”M貝JM Eh在討論離散系統(tǒng)響應(yīng)時，采用了振型疊加法.利用系統(tǒng)的振型矩陣進行坐標變換，可以將系統(tǒng)相互 耦合的物理坐標運動方程變換成解耦的固有坐標運動方 程，從而使多自由度j： p(x)A(x)Yr(x)Yx(x)d.x =啓,s = 1,2,可得可按以上系統(tǒng)的響應(yīng)分析問題可以按多個單 自由度系統(tǒng)的問題分別加以處理.離散系統(tǒng)響應(yīng)求解方一振型単加法 Q 竺也匕吩直多自由度離散系統(tǒng)振動微分方程：Afx+Cx+Kx-e（r）多自由度離散系統(tǒng)的自由振動：M+Kx = 0特征矩陣：B = K-CO2M _個固有頻率固有頻率方程：|B| =A/| =O = （）振型方程:離敵

7、系統(tǒng)響應(yīng)求解方法振型加法振型矩陣:小加flrIFr22A:舛振型矩陣對角矩陣卜心-正則振型矩陣：W卜恥叫竝皿叫=恥:ZM；02硏02於 B肉K-a）2MA求出個振叭系統(tǒng)響應(yīng)求解方法一型加法 Q 暑出址乂臥直 正則振型矩陣的正交性：NMN = lNKN卜同正則坐標變換：x = NA/W+CN KN=妙W+q %+； /=對于具有無限多個自由度的連續(xù)系統(tǒng)，也可以用類似 的方法來分析系統(tǒng)的響應(yīng).只要把連續(xù)系統(tǒng)的位移表示成振型函數(shù)的級數(shù)，利用 振型函數(shù)的正交性，就可以將系統(tǒng)物理坐標的偏微分方 程變換成一系列固有坐標的二階常微分方程組.經(jīng)過坐標變換后，就可以把連續(xù)系統(tǒng)按一系列單自由 度系統(tǒng)的形式來處理，

8、 可以方便地得出系統(tǒng)對初始激勵、外部激勵的響應(yīng)；也可以求出系統(tǒng)對初始激勵、外部激 勵的共同響應(yīng).對于比例阻尼,上述分方程完全解對于一般阻尼.假設(shè)阻尼矩陣*山犬學(xué)仇被工彳1爭嚨00號心(訓(xùn)爾+盤網(wǎng))常)_以)以梁的彎曲振動為例，說明振型疊加法在連續(xù)系統(tǒng)中的應(yīng)用.設(shè)梁的彎曲剛度為EJ(x),單位體積質(zhì)量為p(x),橫截 面積為A(x),分布激勵載荷為/)梁的彎曲振動微分方程為這是非齊次偏微分方程，其全解包含兩部分：一部分是 對應(yīng)于齊次方程的通解，相當(dāng)于自由振動的解；另一部 分是對應(yīng)于非齊次項的特解，即受迫振動的響應(yīng).當(dāng)給 定激勵函數(shù)A“) )時，可求得激勵的響應(yīng).設(shè)在給定邊界條件下的固有頻率為,相

9、應(yīng)的振型函 數(shù)為Yr(x).引進正則坐標(f),根據(jù)振型疊加法，可將梁 橫向振動偏微分方程和給定邊界條件的解變換為00y(xj) =工h( (x) )4( (/) )將上式代入梁橫向振幼的偏微分方程PUM(X)U)+：JE/(X)蘭簽；)=/(.) 可得M ffitNrf MMl I鼻.山犬 p(x)A(x)Yr(x)r+ * CLX= /Cv)上述方程兩邊同時乘以y$(x),并在整個區(qū)間(0 xL)內(nèi) 積分，根據(jù)正交條件，得相互獨立的常微分方程組為qr(t)+qr(t) = Qr(t)心1,2,(1)式中rLQ,=J仆/( (X,叫(x)dx廠=1,2,0衛(wèi))定義為對應(yīng)于正則坐標乞的廣義力.

10、方程(1)和受外部激勵的無阻尼單自由度系統(tǒng)運動微分 方程的形式完全相同，故其響應(yīng)可寫成如下的一般形式和么()的值可以由已知初始條件計算。J(x)dV) )L (r)q式中9r0和Go表示廣義坐標和廣義速度的初始條件.例1在等截面均質(zhì)簡支梁上作用的分布力函數(shù)為 幾W) )=)( (f) )，其中/o為一常量，“為單位階躍函數(shù).試 求初始條件為零時，系統(tǒng)的響應(yīng).解：等截面均質(zhì)簡支梁的固有頻率和振型函數(shù)為對振型函數(shù)進行正則化，即令i*山戈學(xué)機被工()紋Cv)dv=W2L“亦1刺一5 (-1,2.)這意味著為偶數(shù)時，對應(yīng)振型函數(shù)的廣義力為零. 由 qo=Go=。，得s(r)=匸GC)sin( (F-r

11、)drCD/023pAL r7rJ 0盒處皿）系統(tǒng)的響應(yīng)/、 4/)Z?召 1 . rnxy()=為 L嚴1L I上式可以改寫為(、4 人* 右 1. (2r-l)x3)=為若麗 1 嚴1-cos式中各項與(2r-l)5成反比，因此取第一項已與精確結(jié)果 相當(dāng)接近，因此第一振型是非常重要的一個振型.例2試求圖示的簡支梁在X=X處有一集中的簡諧激勵 力幾盧加皿作用下的響應(yīng).解：運動微分方程作用于x=X處的集中力Finar可表示為f(x,/)= /)sind?r(.-xI)式中況LxJ為5函數(shù). 簡支梁的固有頻率與正則振型函數(shù)為r7T彳、rnxr=廣義坐標0的運動微分方程為AtLAffit thAf

12、fit廣義力0為Qrt) = lfx,t)Yr(x)d.x乞(/)+0fitI KK由于 7rO=9rO=0，得必)=十 J：Q, (r)sinDk=sin- sinft?rsin?f(r-r)dr(orLJo=1-甩sinYAL e；l-(e/o) L 系統(tǒng)響應(yīng)，即梁的物理坐標的響應(yīng) 心丿)=人(5r=l2 人十1. rnx. . rnx=- -/ - sin-sinQA厶乞研l(wèi)(e/ejLI最山犬學(xué)機鈦工植爭嚨fj*、MalMB I的例3在上題中，正弦力以等速y移動，即有X=W 求梁 的響應(yīng).解：梁的固有頻率、正則振型函數(shù)均同上例 仔摒2)=民和于將作用于Xvt處的集中力F0sinor用6

13、函數(shù)統(tǒng)一地表示為 分布力，即/(兀j)= ) )sin0n5(x-w)廣義力為。，=J：y( (m比( (x) )dk = rn ./ 2 rnvt .sin xav = /r；, sin sin col.(o .sinrwr-sm/ co sna)t-sin 砂厶 I5-co)t-cos( pf+w)r故廣義坐標彷的運動微分方程為(0+X(0 = =rcos(pr一小 _cos(p, +小 p2pAL上述方程對應(yīng)零初始，解為T- cos(卩廠 G)一梁的響應(yīng)為y( (F) )=匕( (”) )sr=l=V sin .t*- cos(幾-亦/-cos/pAL L 研_(幾町 L)-；- - c

14、ospr+0)/-cose/” (0r L/v, 0=0,梁作自由振動，自由振動初始 條件是”(ZA)與qr(L/v),便可得到自由振動的 解。令Pr=rI八則有e( (o=cosr- cos(pr(0/ )研一(幾+血)vsin pri sino)t*山犬學(xué)機軾工彳1淨(jìng)嚨、AMIMBI押6近代工程上許多因共振造成的災(zāi)難性事故給 我們留下的教訓(xùn)就顯得非常深刻1940年7月1日美國西海岸華盛頓州建成了一 座當(dāng)時位居世界第三的Tacoma大橋.大橋中央 跨距為853.4 m,全長1810.56 m,橋?qū)?1 9 m,梁高為1 3 m,為懸索橋結(jié)構(gòu)，設(shè)計可以抗60 m/s的大風(fēng)。但不幸的是大橋剛建成

15、4個月后（1940年11月7 EJ）就在19的小風(fēng)吹拂下整體塌毀美國華盛頓州Tacoma懸索橋連續(xù)系統(tǒng)共振破壞實例復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)仿真實例： 游梁式抽油系統(tǒng)動力學(xué)仿真.系統(tǒng)描述：系統(tǒng)邊界、系統(tǒng)組 成；研究目的；系統(tǒng)簡化.力學(xué)模型：地面裝置力學(xué)模型;井下裝置力學(xué)模型.振動形式：橫向振動、扭轉(zhuǎn)振動地面裝置 廠力學(xué)模型 r單自由度系統(tǒng)力學(xué)模型 兩自由度系統(tǒng)力學(xué)模型 多自由度系統(tǒng)力學(xué)模型離散一連續(xù)混合系統(tǒng)動力學(xué)模型井下裝畫縱向振動力學(xué)模巫抽油桿柱縱向振動力學(xué)榛型 桿液耦合縱向振動力學(xué)模型 桿管液耦合縱向振動力學(xué)樓型2、數(shù)學(xué)模型*山丸學(xué)機被工植淨(jìng)fitW、AMIMB1J 力學(xué)模型 抽油桿柱三維振動力學(xué)模型

16、 警:暮桿液三維耦合振動力學(xué)模型力字稹型桿管液三維耦合振動力學(xué)模型地面裝置單自由度+抽油桿柱縱向振動力學(xué)模型曲柄運動規(guī)律數(shù)學(xué)模型We=陸（電動機機械特性、地面運動件重力、運動副摩 擦、傳動機構(gòu)速比、懸點載荷PRL）(2)抽油桿柱縱向振動數(shù)學(xué)模型Q士 ax 吆直ItJr、AMMMBI抽油桿柱縱向撅動的力學(xué)模型： 彈簧因定于基礎(chǔ)之上，基礎(chǔ)按懸點 運動規(guī)律上下往復(fù)運動.抽油桿柱任意截面的運動可以分 解成兩部分：一是該截面隨懸點的 運動；二是該截面相對于懸點的運 動.抽油桿柱底端受軸向力Pp(t).桿柱運動微分方程為：Tf$c2u、c:u du du(t) dut)-c +#一=-；v-drGx ct dt dtt u制卜Ult)+5(L)汕)+g集中力的表示方法(2)抽油桿柱縱向振動數(shù)學(xué)模型Q士 ax 吆直3、數(shù)值仿真模型M2層型士吩色(2)桿柱