導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一

1、專題四 導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一， 它有極其豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用 在本專 題中， 我們將復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算， 體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵； 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單 調(diào)性、 極值等性質(zhì)， 感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中的作用 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題主要圍 繞以下三個方面：導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，定積分與微積分基本定理§ 41 導(dǎo)數(shù)概念與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【知識要點(diǎn)】1導(dǎo)數(shù)概念：(1)平均變化率：對于函數(shù)yf(x)，定義 f(x2) f (x1) 為函數(shù) y f(x)從 x1到 x2的平均 x2 x1變化率換言之，如果自變量 x 在 x0 處有增量 x，那么函數(shù) f(x)相應(yīng)

2、地有增量 f(x0 x) f(x0)，則比值 f(x0x) f ( x0 )就叫做函數(shù) yf(x)從x0到 x0 x之間的平均變化率x(2)函數(shù) yf(x)在 xx0 處 的導(dǎo)數(shù) ：函數(shù) yf(x)在 x x0 處 的 瞬時 變化率 是 lim f (x0x) f (x0) ，我們稱它為函數(shù) yf(x)在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f (x0)，即f (x0) lixm0f (x0x) f (x0 )xf (x x) f ( x)x(3)函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù) (導(dǎo)數(shù))：當(dāng) x變化時， f(x)是 x的一個函數(shù)，我們稱它為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (簡稱導(dǎo)數(shù) )，即 f ( x) lim2導(dǎo)數(shù)的幾

3、何意義：函數(shù) yf(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f (x0)就是曲線 y f(x)在點(diǎn) (x0， f(x0)處的切線的斜率，即 k f (x0)3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：(1) 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C) 0(C 為常數(shù))； (xn) nxn 1(x>0，n Q*)； (sinx) cosx； (cosx) sinx； (ex) ex； (ax) axlna(a> 0，且 a 1)；1 (ln x)；x1 (log a x)log a e(a> 0，且 a1)x(2) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： u(x)± v(x) u(x)± v(x)； u(x)v(x) u(x)v(x)u(

4、x)v(x)；u(x) u (x)v(x) u(x) v(x)(v(x) 0).v(x)v2(x)(3) 簡單的復(fù)合函數(shù) (僅限于形如 f(ax b)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù) yf(u)，ug(x)，則函數(shù) y f(u) f g(x)稱為復(fù)合函數(shù)其求導(dǎo)步驟是：y x fu·gx，其中 fu表示 f對u求導(dǎo)，g x表示 g對 x求導(dǎo)f 對 u 求導(dǎo)后應(yīng)把 u 換成 g( x)復(fù)習(xí)要求】1了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景；2理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) yC，yx，yx2，yx3， y 1,y x 的導(dǎo)數(shù)；x4能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5理解簡單復(fù)

5、合函數(shù) (僅限于形如 f(ax b)導(dǎo)數(shù)的求法例題分析】例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2(1)y (x 1)( x2 1)；(2) x 1(2) y ； x1(3)y sin2 x；解： (1)方法一： y (x1) 1(4) y ex· ln x(x21)(x1)(x21) x21(x1)·2x3x22x方法二： y(x1)(x21)x3x2x1， y (x3x2x1)3x22x1(2)方法一：x 1( x 1) (x 1) (x 1)(x 1) (x 1) ( x 1) 2y ( ) 2 2 2x 1( x 1) 2 (x 1)2(x 1)2方法二：x 1 2 2 2 2

6、y 1 ， y' (1 ) ( ) 2 .x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) 2(3)方法一：22y' (sin2 x)'(2sin x· cosx)' 2(sin x)' · cosx sinx· (cosx)' 2(cos xsin x) 2cos2x 方法二： y' (sin2 x)'· (2 x)' cos2x· 2 2cos2x(4) y (ex) ln x ex(ln x) exx ln x ex(ln x 1 ) xx ex【評析】 理解和掌握求導(dǎo)法

7、則和式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件 運(yùn)用公式和求 導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)的基本步驟為： 分析函數(shù) y f(x) 的結(jié)構(gòu)特征； 選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)； 化簡整理結(jié)果應(yīng)注意： 在可能的情況下， 求導(dǎo)時應(yīng)盡量減少使用乘法的求導(dǎo)法則， 可在求導(dǎo)前利用代 數(shù)、三角恒等變形等方法對函數(shù)式進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可減少運(yùn)算量(如(1)(2) 題的方法二較方法一簡捷 )對于(3)，方法一是使用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解， 即使用三角公式將 sin2x 表示為 sinx和 cosx 的乘積形式， 然后求導(dǎo)數(shù)； 方法二是從復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的角度求解 方法二較方法一簡捷 對利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

8、法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要熟練、準(zhǔn)確例 2 (1)求曲線 yx2 在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；(2)過點(diǎn) (1， 3)作曲線 yx2 的切線，求切線的方程【分析】 對于 (1)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) yf(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f '(x0)就是曲線 y f(x)在點(diǎn) (x0，f(x0)處的切線的斜率，可求出切線的斜率，進(jìn)而由直線方程的點(diǎn)斜式求得切 線方程對于 (2)，注意到點(diǎn) (1，3)不在曲線 yx2上，所以可設(shè)出切點(diǎn)，并通過導(dǎo)數(shù)的幾何意 義確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程解： (1)曲線 y x2在點(diǎn) (1，1)處的切線斜率為 y 2xx12， 從而切線的方程為 y12(x 1

9、)，即 2xy10(2)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x0,x02) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何 意義知 ，切線的斜率為 y'2x|x x 2x0，從 而切線的方程 為2y x0 2x0(x x0).因為這條切線過點(diǎn) (1， 3)，所以有 3 x02 2x0(1 x0)，整理得 x0 2x0 3 0 ，解得 x0 1，或 x0 3從而切線的方程為 y1 2(x1)，或 y96(x3)， 即切線的方程為 2xy10，或 6xy 90【評析】 用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，常依據(jù)的條件是：函數(shù) yf(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f '(x0)就是曲線 yf(x)在點(diǎn) (x0，f(x0)處的切線的斜率， 即 k f

10、'(x0)； 切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，即切點(diǎn)的坐標(biāo)同時滿足切線與曲線的方程例 3 設(shè)函數(shù) f(x) ax3bxc(a0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn) (1， f(1)處的切線與直線 x 6y 70垂直，導(dǎo)函數(shù) f '(x)的最小值為 12求 a，b，c的值【分析】 本題考查函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，以及 推理能力和運(yùn)算能力題目涉及到三個未知數(shù)，而題設(shè)中有三個獨(dú)立的條件，因此，通過解 方程組來確定參數(shù) a、b、 c 的值解： f(x)為奇函數(shù)， f( x) f(x)，即 ax bx c ax bx c， c 0f '(x)3ax2 b的最小值為 1

11、2，b 121又直線 x6y 70的斜率為 ，因此， f '(1)3ab6，a26綜上 ,a2，b 12，c012例 4 已知 a> 0，函數(shù) f (x)a ，x(0， )設(shè) 0 x1，記曲線 yf(x)在xa點(diǎn) M(x1， f(x1)處的切線為 l(1) 求 l 的方程；(2)設(shè) l 與 x 軸的交點(diǎn)是 (x2， 0)，證明： 0 x2.a【分析】 對于(1)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不難求出l 的方程；對于 (2)，涉及到不等式的證明，依題意求出用 進(jìn)行推理x1表示的 x2后，將 x2 視為 x1的函數(shù)，即 x2g(x1)，結(jié)合要證明的結(jié)論112 (x x1) 1y ( a)解：

12、 (1)對 f(x)求導(dǎo)數(shù)，得 f (x) 2 ，由此得切線 l的方程為： x(2)依題意，切線方程中令2 1 2 y 0，得 x2 x1 (a) x1 2x1 ax1 x1x1x122由 0 x1，及 x2 2x1 ax1 x1(2 ax1) ，有 x2> 0；a另一方面， x2 2x1 ax12a(x1 1)2 1 ，aa1 11從而有 0 x2，當(dāng)且僅當(dāng) x1時， x2.aaa【評析】 本題考查的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的概念和計算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式的證明涉及 的基礎(chǔ)知識都比較基本，題目難度也不大，但把導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識與不等式等內(nèi)容有機(jī)整合， 具有一定新意，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函

13、數(shù)性質(zhì)問題的方法1本題中的 (2) 在證明 0 x2時，還可用如下方法：a11 21 2 作法， 1x21 2x1ax121(1ax1)20.a a a 利用平均值不等式， x2 x1(2 ax1) 1 ( ax1)( 2 ax1) 1(ax1 22 ax1)2 a a 21例 5 設(shè)函數(shù) f'(x) ax (a,b Z)，曲線 yf(x)在點(diǎn) (2， f(2)處的切線方程為 xb3(1) 求 f'(x) 的解析式；(2) 證明：曲線 y f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；(3)證明：曲線 y f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線 x1 和直線 y x 所圍三角形的面

14、積為定 值，并求出此定值解：(1) f '(x) a12(x b)2于是2a 2 b 1,解得a 1,a 2 0,(2 b)2或b 1,9a,4b83因為 a，b Z，所以1f (x) x x111(2) 證明：已知函數(shù) y1 x， y2都是奇函數(shù)，x1所以函數(shù) g(x) x 也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形x1而 f(x) x 11 ，x1可知，函數(shù) g(x)的圖象按向量 a(1，1)平移，即得到函數(shù) f(x)的圖象， 故函數(shù) f(x)的圖象 是以點(diǎn) (1， 1)為中心的中心對稱圖形1(3)證明：在曲線上任取一點(diǎn) (x0,x0) x0 11234由 f'(x0)

15、 11(x0 1)2x02 x0 1x0 1知，過此點(diǎn)的切線方程為1(x0 1)2(x x0) x0 1x0 1令 x1得 y0 ，切線與直線 x 1交點(diǎn)為 (1, 0 ) ；x0 1x0 1令 yx得 y2x01，切線與直線 yx交點(diǎn)為 (2x01，2x01) 直線 x1 與直線 y x 的交點(diǎn)為 (1，從而所圍三角形的面積為 1 | x0 12 x0所以，所圍三角形的面積為定值、選擇題： (tanx)等于 ( 1(A) 2sin x21)；121| |2x0 1 1| 12|x02 1| |2x0 2| 2 練習(xí)411 (C) 2 cos x )ln2(C) ln22 函數(shù) yax21的圖

16、象與直線 y x相切，則 a 等于(1(B) 2 sin x 設(shè) f(x)xlnx，若 f '(x0)2，則 x0等于 (1(D) 2 cos x(A)e21(A) 18曲線 y92 (A) e22、填空題：(B)e1(B) 141(C) 121 x2 e2 在點(diǎn) (4， e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(B)4e 22(C)2e2(D)ln2(D)1(D)e25f '(x)是 f(x)1 x3 2x 1 的導(dǎo)函數(shù)，則 f '(1) 36若函數(shù) yf(x)的圖象在點(diǎn) M (1， f(1)處的切線方程是 yx2，則 f(1)f '(1)7過原點(diǎn)作曲線 ye

17、x 的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；切線的斜率為 8設(shè)函數(shù) f(x)xekx(k0)，則曲線 yf(x)在點(diǎn) (0，f(0)處的切線方程是 三、解答題：9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： x3(1) yx ex；(2) y x3 cosx；ln x(3) y (x1)(x2)(x3)；(4) yx10已知拋物線 yax2bxc經(jīng)過點(diǎn) A(1，1)，B(2， 1)，且該曲線在點(diǎn) B處的切線方程 為 yx3，求 a、b、 c 的值1 2 1 311求曲線 y 2 x 與y x 2 在交點(diǎn)處的兩條切線的夾角的大小24§42 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【知識要點(diǎn)】1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有

18、如下關(guān)系：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)可導(dǎo)， 如果恒有 f '(x)>0，那么函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)單調(diào)遞增； 如果恒有 f '(x)<0，那么函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)單調(diào)遞減值得注意的是，若函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)有 f '(x) 0(或 f '(x)0)，但其中只有有限個 點(diǎn)使得 f '(x) 0，則函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)仍是增函數(shù) (或減函數(shù) )(2) 一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對值越大，說明這個函數(shù)在這個范 圍內(nèi)變化得快 這時函數(shù)的圖象就比較 “陡峭” (向上

19、或向下 )；反之， 函數(shù)的圖象就比較 “平 緩”2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值：(1)設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 附近有定義，如果對 x0 附近所有的點(diǎn)，都有 f(x)<f(x0)，就說 f(x0) 是函數(shù) f(x)的一個極大值， x0 是極大值點(diǎn)；如果對 x0附近所有的點(diǎn)，都有 f(x)>f(x0)，就說 f(x0)是函數(shù) f( x)的一個極小值， x0 是極小值點(diǎn)(2)需要注意，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值 點(diǎn)如 yx3在 x0處的導(dǎo)數(shù)值為零，但 x0不是函數(shù) yx3的極值點(diǎn)也就是說可導(dǎo)函 數(shù) f(x)在 x0 處的導(dǎo)數(shù) f '(x0)0 是該

20、函數(shù)在 x0 處取得極值的必要但不充分條件(3) 函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上的最值： f(x)在區(qū)間a，b上的最大值 (或最小值 )是 f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)的極大值 ( 或極小值 )及 f(a)、f(b)中的最大者 (或最小者 )(4) 應(yīng)注意，極值只是相對一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而最值是相對整個定義域內(nèi)的整體性 質(zhì)【復(fù)習(xí)要求】1了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間( 對多項式函數(shù)一般不超過三次 )；2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小 值( 對多項式函數(shù)一般不超過三次 )；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、 最小值

21、 (對多項式函數(shù)一般 不超過三次 )；3會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題 【例題分析】例 1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)x33x；(2)f(x)3x22lnx；(3) f(x)2x b(x 1)2解： (1) f(x)的定義域是 R，且 f '(x) 3x2 3， 令 f '(x) 0，得 x1 1， x2 1列表分析如下：x(， 1)1(1，1)1(1， )f (x)00f(x)所以函數(shù) f(x)的減區(qū)間是 (1，1)，增區(qū)間是 (， 1)和 (1， )2(2)f(x)的定義域是 (0， )，且 f (x) 6x ， xx(0, 33)333( , )3f (x)0f(x

22、)令 f(x) 0，得 x1 33 ,x23列表分析如下：33所以函數(shù) f(x)的減區(qū)間是 (0, ) ，增區(qū)間是 ( , ) 33(3) f(x)的定義域為 (， 1)(1 ， )，求導(dǎo)數(shù)得22(x 1)2 (2x b) 2(x 1) 2x 2b 2 2(b 1 x)f (x) (x 1)4 (x 1)3(x 1)3令 f(x)0，得 xb 1當(dāng) b 1< 1，即 b<2 時， f(x)的變化情況如下表：x(，b 1)b1(b1，1)(1， )f (x)0所以，當(dāng) b<2時，函數(shù) f(x)在(， b1)上單調(diào)遞減， 在(b 1，1)上單調(diào)遞增， 在(1， )上單調(diào)遞減當(dāng) b

23、 1> 1，即 b>2 時， f(x)的變化情況如下表：x（， 1）（1，b1）b1(b1， )f （x）0所以，當(dāng) b>2時，f(x)在(， 1)上單調(diào)遞減，在 (1，b1)上單調(diào)遞增，在 (b1，)上單調(diào)遞減2 當(dāng) b 1 1，即 b2時， f(x)，所以 f(x)在(， 1)上單調(diào)遞減，在 (1，x1)上單調(diào)遞減【評析】 求函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間的步驟是： 確定 f(x)的定義域 ( 這一步必不可少，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集)； 計算導(dǎo)數(shù) f(x)； 求出方程 f( x) 0 的根； 列表考察 f(x)的符號，進(jìn)而確定 f(x)的單調(diào)區(qū)間 (必要時要進(jìn)行分類討論 )1

24、3例 2 求函數(shù) yx3 4x 4 的極值3解： y x24(x 2)(x 2)，令 y 0，解得 x1 2，x22 列表分析如下：x(， 2)2(2，2)2（2， ）y'00y28 極大值34 極小值328 4所以當(dāng) x 2時， y有極大值 28；當(dāng) x2時，y有極小值 433【評析】 求函數(shù) f(x) 的極值的步驟是：計算導(dǎo)數(shù) f(x)； 求出方程 f( x) 0 的根； 列表考察 f(x) 0 的根左右值的符號：如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x) 在這個根處取得極小值例 3 已知函數(shù) f(x) x3 3x29xa(1)求 f(x)的單調(diào)遞

25、減區(qū)間；(2)若 f(x)在區(qū)間 2， 2上的最大值為 20，求它在該區(qū)間上的最小值解： (1)f(x) 3x26x9令 f ( x)< 0，解得 x< 1或 x>3所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (， 1)， (3， )(2)因為 f( 2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以 f(2)>f( 2)因為在 (1，3)上 f(x)>0，所以 f(x)在1，2上單調(diào)遞增，又由于 f(x)在2， 1上 單調(diào)遞減，因此 f(2)和 f( 1)分別是 f(x)在區(qū)間 2， 2上的最大值和最小值于是有 22 a20，解得 a 2故 f(x) x3 3x2

26、9x 2，因此 f(1)1392 7，即函數(shù) f(x)在區(qū)間 2， 2上的最小值為 7【評析】 求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a， b上最值的方法：計算導(dǎo)數(shù) f(x)；求出方程 f( x) 0 的根 x1，x2，； 比較函數(shù)值 f(x1) ，f(x2)，及 f(a)、f(b)的大小， 其中的最大 (小)者就是 f(x)在閉區(qū)間 a， b上最大 (小 )值例 4 設(shè) f(x)，g(x)分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)， 當(dāng) x<0 時，f(x)g(x)f(x)g(x) >0，且 g( 3) 0，則不等式 f(x)g(x)< 0 的解集是 ()A(3，0)(3， )B(3， 0)

27、(0，3)C(， 3) (3， )D(， 3)(0，3)【分析】 本題給出的信息量較大， 并且還都是抽象符號函數(shù)解答時， 首先要標(biāo)出重要 的已知條件，從這些條件入手，不斷深入研究由f(x)g(x)f(x)g(x)> 0 你能產(chǎn)生什么聯(lián)想 ?它和積的導(dǎo)數(shù)公式很類似，整理可得f(x)g(x) >0令 h(x) f(x)g(x)，則當(dāng) x<0 時， h(x)是增函數(shù)再考慮奇偶性，函數(shù) h(x)是奇函數(shù)還有一個已知條件g( 3)0，進(jìn)而可得 h(3)f( 3)g(3)0，這樣我們就可以畫出函數(shù) h(x)的示意圖，借助直觀求解答案： D.例 5 求證：當(dāng) x>0 時， 1x<

28、; ex分析 ：不等式兩邊都是關(guān)于 x的函數(shù)，且函數(shù)類型不同，故可考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)1xex，通過研究函數(shù) f(x)的單調(diào)性來輔助證明不等式證明： 構(gòu)造函數(shù) f(x) 1 x ex，則 f(x) 1ex當(dāng) x>0 時，有 ex>1，從而 f(x) 1 ex< 0，所以函數(shù) f(x)1xex在(0， )上單調(diào)遞減，從而當(dāng) x>0 時，f(x)<f(0)0，即當(dāng) x>0 時， 1 x< ex【評析】 通過構(gòu)造函數(shù)， 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用方法之一， 而借助導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)單調(diào)性輔助證明不等式突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用例 6 用總長 14.8 m 的鋼

29、條制作一個長方體容器的框架， 如果容器底面的長比寬多 0.5 m ， 那么長和寬分別為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積解： 設(shè)容器底面長方形寬為 x m，則長為 (x 0.5)m，1依題意，容器的高為 114.8 4x 4(x 0.5) 3.2 2x 4x 0,顯然0<x<1.6，即 x 的取值范圍是 (0， 1.6) 3.2 2x 0,記容器的容積為 y m3，則 yx(x0.5)(3.22x) 2x32.2x21.6x x (0，1.6)對此函數(shù)求導(dǎo)得， y 6x2 4.4x1.6令 y> 0，解得 0< x< 1；令 y< 0，解得 1<

30、 x<1.6 所以，當(dāng) x1 時， y取得最大值 1.8，這時容器的長為 10.51.5 答：容器底面的長為 1.5m 、寬為 1m 時，容器的容積最大，最大容積為1.8m3【評析】 解決實際優(yōu)化問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型(目標(biāo)函數(shù) )，通過把題目中的主要關(guān)系 (等量和不等量關(guān)系 )形式化，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饫?7 已知 f(x)ax3cxd(a0)是 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x1時，f(x)取得極值 2(1) 求 f(x)的解析式；(2) 證明對任意 x1、x2(1，1)，不等式 f(x1)f(x2)<4 恒成立【分析】 對于 (1) 題目涉及到三個未知數(shù)

31、，而題設(shè)中有三個獨(dú)立的條件，因此，通過解 方程組來確定參數(shù) a、c、 d 的值；對于 (2)可通過研究函數(shù) f (x)的最值加以解決解： (1)由 f(x)ax3cxd(a0)是 R 上的奇函數(shù)，知 f(0) 0，解得 d0， 所以 f(x) ax3 cx(a 0)， f(x) 3ax2 c(a 0)由當(dāng) x1 時， f(x)取得極值 2，得 f(1)ac2，且 f(1)3ac0，解得 a 1， c 3，所以 f(x) x3 3x(2)令 f(x)>0，解得 x< 1，或 x>1；令 f(x)<0，解得 1<x<1，從而函數(shù) f(x)在區(qū)間 (， 1)內(nèi)為增

32、函數(shù)， (1， 1)內(nèi)為減函數(shù)，在 (1， )內(nèi)為增 函數(shù)故當(dāng) x1，1時， f(x)的最大值是 f(1)2，最小值是 f(1)2， 所以，對任意 x1、x2(1，1)，|f(x1) f(x2)|<2(2)4【評析】使用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性， 進(jìn)而解決極值 (最值 )問題是常用方法， 較為簡便 例 8 已知函數(shù) f(x)xln x(1)求 f (x)的最小值；(2)若對所有 x1 都有 f(x) ax 1，求實數(shù) a 的取值范圍 解： (1)f (x)的定義域為 (0， )，f(x)的導(dǎo)數(shù) f(x)1 lnx11令 f(x)> 0，解得 x；令 f(x) < 0，解得 0 x

33、 ee11從而 f(x)在 (0, )單調(diào)遞減，在 ( , ) 單調(diào)遞增ee 11所以，當(dāng) x時， f(x)取得最小值ee(2)解法一：令 g(x)f(x)(ax1)，則 g(x)f(x)a 1alnx，若 a1，當(dāng) x>1 時， g(x) 1 a lnx>1a 0，故 g(x)在 (1， )上為增函數(shù)，所以， x1 時， g(x)g(1)1a0，即 f(x)ax1若 a> 1，方程 g(x)0 的根為 x0 ea1，此時，若 x (1，x0)，則 g(x)<0，故 g(x)在該區(qū)間為減函數(shù) 所以， x (1， x0)時， g(x)< g(1) 1 a<0，

34、 即 f(x) <ax 1，與題設(shè) f(x)ax 1 相矛盾綜上，滿足條件的 a的取值范圍是 (， 1 解法二：依題意，得 f(x)ax1在1， )上恒成立，1即不等式 a ln x對于 x 1， )恒成立x11 1 11令 g (x ) ln x ，則 g ( x)2 (1 ) xx xxx11當(dāng) x> 1時，因為 g (x)(1 ) 0，xx故 g(x)是 (1， )上的增函數(shù)，所以 g(x)的最小值是 g(1)1，從而 a 的取值范圍是 (， 1 1例 9 已知函數(shù) f(x) n aln(x 1)，其中 nN*，a 為常數(shù)(1 x) n(1)當(dāng) n 2 時，求函數(shù) f(x)的

35、極值；(2)當(dāng)a1時，證明：對任意的正整數(shù) n，當(dāng)x2時，有 f(x)x1解： (1)由已知得函數(shù) f(x)的定義域為 xx>1 ，當(dāng) n 2 時，1f(x) (1 1x)2 aln(x 1)，所以f '(x)22 a(1 x)2(1 x)3當(dāng) a>0 時，由 f(x)0 得 x1 1 2 1,x2 1 2 1 ，1 a 2 a此時 f (x)a(x x1)(x x2)(1 x)3當(dāng) x(1，x1)時， f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng) x (x1 ， )時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增 當(dāng) a 0， f( x)< 0 恒成立，所以 f(x)無極值

36、綜上所述， n2 時，當(dāng) a> 0 時，f(x) 在 x 12 處取得極小值，極小值為a2 a 2 f(1 2a) 2a(1 ln 2a)當(dāng) a0 時， f(x)無極值(2)證法一：因為 a1，所以 f(x) 1 n ln(x 1) (1 x)n1當(dāng)n為偶數(shù)時，令 g(x) x 1 1 n ln(x 1) ，(1 x)則g (x) 1nn1 (x 1)n 1x1x2x1(x n1)n 1 0(x 2)所以當(dāng) x2 時， g(x)單調(diào)遞增，又 g(2)0，1因此 g(x) x 1 1 n ln(x 1) g(2) 0 恒成立， (x 1)n所以 f(x) x 1 成立當(dāng) n 為奇數(shù)時，要證

37、 f(x)x1，由于1 n 0 ，所以只需證 ln(x1)x1，(1 x)n令 h(x)x1ln(x1)，1 x 2則h(x) 1 1 x 2 0(x 2) x 1 x 1 所以，當(dāng) x2 時， h(x)x1ln(x 1)單調(diào)遞增，又 h(2) 1> 0， 所以，當(dāng) x2 時，恒有 h(x)>0，即 ln(x1)<x1 成立 綜上所述，結(jié)論成立1證法二：當(dāng) a1時， f(x) (1 1x)n ln(x 1).1當(dāng) x2 時，對任意的正整數(shù) n，恒有n 1，(1 x)n故只需證明 1ln(x1)x1令 h(x)x11ln(x1)x2ln(x1)，x2， )，則 h(x) 11x

38、1x2x 1 ，當(dāng) x2時，h(x)0，故 h(x)在2， )上單調(diào)遞增，因此當(dāng) x2 時，h(x)h(2)0，即 1ln(x1)x1 成立1故當(dāng) x2 時，有1 n ln(x 1) x 1 ，(1 x)n即 f(x) x 1一、選擇題：1函數(shù) y13xx3 有()(A) 極小值 2，極大值 2(C) 極小值 1，極大值 12f '(x)是函數(shù) y f(x)的導(dǎo)函數(shù)，練習(xí) 4 2(B) 極小值 2，極大值 3(D) 極小值 1，極大值 3yf '(x) 圖象如圖所示，則 yf(x)的圖象最有可能是 ()1 (D) a3a 的取值范圍是 (1 (D) ae3函數(shù) f(x)ax3x

39、在 R 上為減函數(shù)，則 a的取值范圍是 (1(A) a0(B) a0(C) a3 4設(shè) aR，若函數(shù) f(x)ex ax，xR 有大于零的極值點(diǎn)，則1(A) a 1(B)a1(C) ae二、填空題：5函數(shù) f(x)x33ax22bx 在x 1處取得極小值 1，則 ab26函數(shù) yx(1x2)在0，1 上的最大值為 7已知函數(shù) f(x)2x36x2a 在2，2上的最小值為 37，則實數(shù) a8有一塊邊長為 6m 的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器，為使其容積最大，截下的小正方形邊長為 m三、解答題：9已知函數(shù) f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖象

40、過點(diǎn) P(1，2)，且在點(diǎn) P 處的切線斜率為 8(1)求 a，b 的值；(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3) 求函數(shù) f(x)在區(qū)間 1，1上的最大值與最小值10當(dāng) x (0, ) 時，證明： tanx> x2x x11已知函數(shù) f(x) ex e x(1)證明： f(x)的導(dǎo)數(shù) f '(x)2；(2)若對所有 x0 都有 f(x) ax，求 a 的取值范圍§ 4 3 定積分與微積分基本定理【知識要點(diǎn)】1曲邊梯形的面積與定積分：(1) 定積分定義：設(shè)函數(shù) y f( x)定義在區(qū)間 a， b上用分點(diǎn) ax0<x1<x2<< xn1< x

41、nb 把區(qū)間 a，b分為 n 個小區(qū)間， 其長度依次為 xixi1xi，i0，1，2，n1記 為這些小區(qū)間長度的最大者當(dāng) 趨近于 0 時，所有的小區(qū)間的長度都趨近于0在每個n1小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) i，作和式 Snf( i)· xi 當(dāng) 0時，如果和式的極限存在，我i0b 們把和式 Sn 的極限叫做函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作 f (x)dx ，即b n 1f(x)dx lim f ( i) xi其中 f(x)叫做被積函數(shù)， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a0 i 0i i此時稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 a，b上可積(2)定積分性質(zhì)：定積分有三條主要的性質(zhì)：bb kf

42、 ( x)dx k f (x)dx (k為常數(shù) )；aab b b af(x) g(x)dx a f(x)dx ag(x)dx；a a abcb f (x)dx f (x)dxf (x)dx(a c b) aac說明：性質(zhì)對于有限個函數(shù) (兩個以上 )也成立； 性質(zhì)對于把區(qū)間 a，b分成有限個 (兩 個以上 )區(qū)間也成立b在定積分的定義中， f (x)dx 限定下限小于上限，即 a<b為了計算方便，我們把定a ab 積分的定義擴(kuò)展，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：f (x)dxf ( x)dx.(3)幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法：由三條直線b積Sf (x)dx.由三條直線 bf ( x

43、)dxx a，xb(a< b)，x 軸，一條曲線 yf(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面x a，xb(a< b)，x 軸，一條曲線 yf(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面 bf ( x)dx.由兩條直線 xa， x b(a< b)，兩條曲線 yf(x)，yg(x)(f(x)>g(x)圍成的平面圖形 b的面積 S f (x) g(x)dx.由三條直線xa，xb(a<b)， x 軸，一條曲線 y f(x)圍成的曲邊梯形的面積 bS f (x)dxf (x)dx ，即在區(qū)間 a， b上， f(x)有正有負(fù)，求曲邊梯形的面積時應(yīng)分段aca計算2微 積分 基本 定理

44、 ：如 果 F'(x)f(x)， 且 f(x)在a， b上 可積 ， 則 af (x)dx F (b) F (a) ，其中 F(x)叫做 f(x)的一個原函數(shù) 原函數(shù)在 a，b上的改變量 F(b)F(a)簡記作 F(x) |ab ，因此微積分基本定理可以寫成abb f (x)dx F(x) |ab F(b) F(a)復(fù)習(xí)要求】1了解定積分的概念；2了解微積分基本定理的含義 例題分析】例 1 計算下列定積分：22(1) 0x2dx ；(2)sin xdx ；0(3) edxx ；ex(4)2 (3x sin x)dx ； 012(5) ( ax bx c)dx ；(6)2(sin x c

45、osx)dx 解：(1) 0x2dx 31x3 |20 83(2)sin xdxcosx |0 coscos0 2 (3)dx ln x |3e ln 3 1 ex23 2 3 (4) 2(3x sin x)dx ( xcosx) |0210 2 81 2 a 3 b 2 1 a b(5) (ax2 bx c)dx ( x3.x2 cx) |10c0 3 2 3 22 2(6) (sinx cos x) dx ( cosx sinx) |2 2b【評析】 求 f (x)dx 一般分為兩步：求 f(x)的原函數(shù) F(x)；計算 F(b)F(a)的值， a對于求較復(fù)雜函數(shù)的定積分還要依據(jù)定積分的性

46、質(zhì)例 2 計算下列定積分：1(1) |x|dx； (2)設(shè) f (x)x2,x 0, 求 1 f(x)dxcosx 1,x 0. 1解：(1) |x|dx 2 xdx 2 1 x2|101(2) 1 f(x)dx01|01 (sin x x)|10 sin10 2 1x3x2dx(cosx 1)dx 3a 評析】設(shè) f(x)在區(qū) 間a，a上連 續(xù)，則 f(x)是 偶函數(shù)時， f (x)dx aaa2 0 f (x)dx; f(x) 是 奇函數(shù)時，f(x)dx 0.當(dāng) f(x)是分段函數(shù)時，求積分應(yīng)分段進(jìn)行例 3求曲線 yex，yex及直線 x1 所圍成圖形的面積 解： 兩條曲線 yex，ye

47、x 的交點(diǎn)為 (0，1)，1故所求面積 S(ex e x)dx (ex e x)|10 e e 1 2.例 4 過原點(diǎn)的直線 l 與拋物線 y x2 2ax(a>0)所圍成圖形的面積為 9a3 ，求直線 l 的2 方程解： 設(shè)直線 l 的方程為 y kx，將其代入 y x2 2ax( a> 0)，解得 x0 或 x 2a k當(dāng) 2ak> 0 時，所求面積為2a k(kx x2 2ax)dx (2a k x22a k0(2a k)36令(2a6 k)39a3 ，解得2k a，此時直線 l 的方程為 y ax)|02a k當(dāng) 2a k<0 時，所求面積為(kx x2 2ax

48、)dx (2a k x22a k 2(2a k)36(2a k)3693a3 ，解得 k 5a，此時直線l 的方程為 y 5ax習(xí)題 4一、選擇題：1曲線 yex在點(diǎn) (1，e)處導(dǎo)數(shù)為 ( )(A)1 (B)e(C) 1(D)e2曲線 yx32x4在點(diǎn) (1，3)處切線的傾斜角為 ( )(A)30 °(B)45 °(C)60 °(D)120 °3函數(shù) f(x)的定義域為開區(qū)間 (a， b)，導(dǎo)函數(shù) f '(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a， b)內(nèi)有極小值點(diǎn) ( )4函數(shù)f(x)xlnx 的最小值是 ()(A)

49、e(B)e1(C)e1(D)e(A)1 個(C)3 個5設(shè) f(x)、g(x)是定義域為< b 時，一定有 ()R 的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f '(x)g(x)f(x)g '(x)<0，則當(dāng) a<x(A)f(x)g(x)>f(b)g(b)(B) f(x)g(a)> f(a)g(x)(C) f(x)g(b)>f(b)g(x)6設(shè)曲線 yax 在點(diǎn) (1，a)處的切線與直線(D) f(x)g(x)>f(a)g(a)2x y 6 0 平行，則 a7如圖，函數(shù) f(x)的圖象是折線段 ABC，其中 A，B，C 的坐標(biāo)分別為 (0，4)，(2，0

50、)，(6，4)，則函數(shù) f(x)在 x 1處的導(dǎo)數(shù) f'(1)8函數(shù) y2x33x2 12x 5 在0， 3上的最大值是 ；最小值是 9設(shè) a R，函數(shù) f(x)x3ax2(a 3)x 的導(dǎo)函數(shù)是 f '(x)，若 f '(x)是偶函數(shù)， 則曲線 y f(x) 在原點(diǎn)處的切線方程為 10拋物線 yx2x與 x軸所圍成封閉圖形的面積是 三、解答題： kx11設(shè)函數(shù) f(x) xekx(k 0)(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 (1，1)內(nèi)單調(diào)遞增，求 k 的取值范圍12設(shè)函數(shù) f(x)2x33ax23bx8c在 x1及 x 2時取得極值 (

51、1)求 a， b 的值；2(2)若對于任意的 x0，3，都有 f(x)<c2成立，求 c 的取值范圍2 1 ax13設(shè) a>0，函數(shù) f (x) (x2 x)eax a(1)當(dāng) a2 時，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式 f (x) 3 0對任意實數(shù) x恒成立，求 a 的取值范圍 a214已知函數(shù) f(x)ln(x a) x2(1)若當(dāng) x1時，f(x)取得極值，求 a 的值，并討論 f(x)的單調(diào)性；(2)若 f(x)存在極值，求 a 的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln e 2專題四 導(dǎo)數(shù)參考答案練習(xí) 4 1一、選擇題：1C2B3 B4D二、填空題：536 47(1，e)；e8yx三、解答題：9(1)y'1ex；(2)y'3x2sinx；(3)y'3x212x11；(4) y 1 l2n x x2 10略解：因為拋物線 yax2bxc經(jīng)過點(diǎn) A(1，1)，B(2， 1)兩點(diǎn)，所以 abc14a 2b c 1因為 y' 2ax