三角函數(shù)(20211130015852)

1、三角函數(shù)一? 三角函數(shù)的起源三角學(xué)的概念起源甚早， 在古文獻(xiàn)萊因德紙草書 出土后證據(jù)顯示古埃及人己有實用三角學(xué)的粗略概念， 來保持金字塔每邊都有相同的斜度，只是當(dāng)時并沒有使用余切這個名詞而已。 至公元前 150年至 100 年間，希臘人熱衷天文學(xué)， 開始研究三角學(xué)，于是三角學(xué)漸漸有了雛形。后來印度人吸收了希臘人在三角學(xué)方面的知識，再加以改進(jìn)，也把它當(dāng)成研究天文學(xué)的利器。長久以來，三角學(xué)就這樣依附著天文學(xué)發(fā)展，直到十三世紀(jì)，才自天文學(xué)中脫離成一門獨立的學(xué)問。 十六世紀(jì)的歐洲， 由于航海、歷法計算的需要，更增加三角學(xué)的重要性。 如今它不但應(yīng)用于天文、 地理，舉凡航海、 航空、建筑、工程、體育等的一

2、門基礎(chǔ)學(xué)問，甚至在我們?nèi)粘Ｉ钪?也成為不可欠缺的知識。二? 角希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在所著 幾何原本 這一書中說明一個平面角， 就是平面上兩條相交但不重迭的直線， 彼此間傾斜度。 實際上角的概念， 一方面代表兩條相交直線分割的性質(zhì)，另一方面也代表其分割程度，即角的度量衡。三? 角的度量與換算1.制我們都知道圓規(guī)繞一圈為360 度，但是好奇而且追根就底的人就會有疑問，為什么會將圓分割為 360 等分。從數(shù)學(xué)史的角度， 也許給一些答案， 古代巴比倫人計數(shù)的單位為 60 進(jìn)位，而且在 60 倍數(shù)中最接近一年的天數(shù)為360。可能符合上述的解答，即使在日常生活以10 進(jìn)位的時代，時鐘的刻度還保持60 進(jìn)位

3、，規(guī)定 1小時為 60 分鐘， 1 分鐘為 60 秒。2.弳度制 (弧度) 在上一節(jié)，我們找圓分割為360等分，每一等分記為1 度，1 圈總計為。數(shù)學(xué)上還有一種常用的度量單位，稱為弧度。在圓周上，截取與半徑等長之弧，則此弧所對的圓心角稱為一弧度 （或稱為一弳） ，以弧度為單位， 通常省略不寫，如：2 弧度簡記為 2（圖 1）又因為單位圓的周長為，所以=，由此可得 1 弳度，且（弧度），這里有一個有趣的結(jié)果，經(jīng)掌上型計算器可得知， 這與的差距不到十萬分之一。 所以當(dāng)弳度 x 為很小時，換句話說計算 sinx 可用 x 來估計，這可能是弳度被多人接受的原因之一且在微積分上有重要的應(yīng)用。四?有向角沒

4、有人知道為什么量角度要采逆時針方向，或許從觀察大自然的現(xiàn)象，可略知一二，例如，因受磁場的影響在北半球的水槽的水以逆時鐘方向流出，但在南半球的水槽則順時鐘方向流出，這種水流的方向是有差別。再舉一例：設(shè)為一角，如圖 2 所示：如果表東方，表東北方，我們可用表示從東方到東北方的方位差。如果站在 o 點，面向東然后轉(zhuǎn)到東北方位與先面對東北方位然后轉(zhuǎn)到東方，這兩起動作是有區(qū)別的。 為了能夠把這些差異之處也表現(xiàn)出來，我們只好對角的兩邊與給出先后次序， 把一個稱為始邊， 另一個稱為終邊。 例如，從轉(zhuǎn)至?xí)r，是始邊，就是終邊。從始邊轉(zhuǎn)向終邊就是旋轉(zhuǎn)方向，此時就可以把角看作是由始邊沿著旋轉(zhuǎn)方向到終邊的旋轉(zhuǎn)量。為了

5、方便，通常規(guī)定逆時鐘方向為正，順時鐘方向負(fù)，則把旋轉(zhuǎn)方向是正的角稱為正向角，簡稱正角；旋轉(zhuǎn)方向是負(fù)的角稱為負(fù)向角，簡稱為負(fù)角。 正向角與負(fù)向角合稱為有向角。例如，從東轉(zhuǎn)至東北方位的有向角是，從東轉(zhuǎn)至東南方位的有向角是，如下圖 3 所示：在有向角中， 有相同始邊及終邊的角， 互稱為同界角。 兩個同界角之間一定相差的倍數(shù)，如下圖 4 中的角與角，角與角都是一對同界角。五? 銳角的三角函數(shù)在國中的時候，我們曾利用相似三角形的性質(zhì)引進(jìn)了銳角三角函數(shù)來解決實際的測量問題?，F(xiàn)在我們先把這些函數(shù)定義復(fù)習(xí)之后，再將其推廣到廣義角的三角函數(shù)。設(shè)為一直角三角形，如圖5 所示：其中為直角，為斜邊，兩股與分別是的鄰邊

6、與對邊。設(shè)，則我們定義的六個三角函數(shù)如下：從上述的定義，若令，我們可得下列關(guān)系式：一? 倒數(shù)關(guān)系式，二? 商數(shù)關(guān)系式，三? 平方關(guān)系式利用勾股定理，可得四? 余角關(guān)系式如圖 5 所示，為一直角三角形，為直角，因為三角形的內(nèi)角和為，所以和互為余角，即，的對邊 b 恰為的鄰邊，由正弦和余弦的定義可知同理可得，故可得下列關(guān)系：六? 廣義角的三角函數(shù)我們在前面中引進(jìn)了有向角的概念后，在本節(jié)中準(zhǔn)備定義廣義角的三角函數(shù)。設(shè)為有向角，把它的頂點放在原點，始邊放在x 軸的正向上，然后看它的終邊落在何處，終邊可能落在第一象限， 也可能落在第二象限、 第三象限或第四象限，如圖 6 所示，圖上的均為正向角且小于當(dāng)然

7、，終邊也可能落在x 軸或 y 軸上。無論如何，在終邊上任取異于0 的一點 p，設(shè)其坐標(biāo)為 (x,y)，并令，雖然 x 和 y 可正、可負(fù)或為零，但是 r 恒為正?，F(xiàn)在用x，y 和 r 這三個數(shù)來定義廣義角的三角函數(shù)如下：值得注意的是， 我們要在它的比值有意義的情況下才能定義廣義三角函數(shù)，否則視為沒有意義。例如，當(dāng)p 點在 x 軸上時，則 p點的 y 坐標(biāo)為 0，此時，和的分母都是 0，這種比值是沒有意義的。又當(dāng)p點在 y 軸上時，則 p 點的 x坐標(biāo)為 0，此時，和的分母都是 0，也是沒有意義的。事實上，只有p點在 x 軸或 y 軸上的時候才會有比值沒有意義的情形發(fā)生。當(dāng)為銳角時，相應(yīng)于直角三

8、角形的各量 x 和 y 都是正的，所以上面的定義和銳角三角函數(shù)定義完全相同。根據(jù)上述廣義角三角函數(shù)的定義，我們可繪制六個三角函數(shù)的圖形，他們都是周期函數(shù)，圖形如下列的java applet 所示:例：試求，解：設(shè)角的頂點在原點，始邊在x 軸的正向，如圖 7 所示：在終邊上任取一點p，令，并作，顯而易見，所以 p的坐標(biāo)為，故試求(1) ，(2) ，從廣義角的三角函數(shù)的定義可知，凡是同界角均有相同的三角函數(shù)值。所以下列公式成立：若 n 為一整數(shù)，則我們利用這些性質(zhì)可以把任意角的三角函數(shù)化成到之間的三角函數(shù)。例如，例題：化下列諸角的三角函數(shù)為到之間的三角函數(shù)：，我們把以原點為圓心而半徑為1 的圓稱為單位圓。設(shè)與兩個角的終邊與單位圓的交點分別為與，如圖 8 所示：因為與對稱于 x 軸，所以，故我們利用這些性質(zhì)