函數(shù)值域及求法

1、1 / 6 難點(diǎn) 6 函數(shù)值域與求法函數(shù)的值域與其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題. 難點(diǎn)磁場(chǎng)( )設(shè)m是實(shí)數(shù)，記m=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+11m). (1)證明：當(dāng)mm時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mm. (2)當(dāng)mm時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 . (3)求證：對(duì)每個(gè)mm,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1. 案例探究例 1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840 cm2,畫(huà)面的寬與高的比為(1), 畫(huà)面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 c

2、m 空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫(huà)所用紙x 面積最小？如果要求43,32 ，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙x面積最小？命題意圖： 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí). 錯(cuò)解分析：證明s()在區(qū)間43,32上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決. 技巧與方法： 本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決 . 解：設(shè)畫(huà)面高為xcm, 寬為 xcm, 則 x2=4840, 設(shè)紙 x 面積為scm2,則s=(x+16)

3、(x+10)= x2+(16+10)x+160, 將x=1022代入上式得：s=5000+4410(8+5),當(dāng) 8=5,即=85(851) 時(shí)s取得最小值 .此時(shí)高：x=4840=88 cm, 寬： x=8588=55 cm. 如果43,32可設(shè)3210, 2 / 6 s(1)s(2)0 恒成立，試xx 數(shù)a的取值 x 圍. 命題意圖： 本題主要考查函數(shù)的最小值以與單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以與運(yùn)算能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托： 本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值 x 圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類(lèi)討論的思想 . 錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求a的取值 x 圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

4、問(wèn)題來(lái)解決. 技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0 轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類(lèi)討論思想解得. (1)解：當(dāng)a=21時(shí)，f(x)=x+x21+2 f(x)在區(qū)間 1，+)上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間 1，+)上的最小值為f(1)=27. (2)解法一：在區(qū)間1，+)上，f(x)=xaxx220 恒成立x2+2x+a0 恒成立 . 設(shè)y=x2+2x+a,x 1,+ )y=x2+2x+a=(x+1)2+a1 遞增，當(dāng)x=1 時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0 時(shí)，函數(shù)f(x)0 恒成立，故a3.解法二：f(x)=x+xa+2,x 1,+ )當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)f(x)的值

5、恒為正；當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)f(x)0 恒成立，故a3. 錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉與的問(wèn)題與解決的方法主要有：(1)求函數(shù)的值域此類(lèi)問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域. (2)函數(shù)的綜合性題目3 / 6 此類(lèi)問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目. 此類(lèi)問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以與較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng). (3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所

6、學(xué)知識(shí)去解決.此類(lèi)題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )函數(shù)y=x2+x1(x21)的值域是 ( ) a.( ,47b.47,+)c. 2233,+)d.( ,32232.( )函數(shù)y=x+x21的值域是 ( ) a.( ,1b.( , 1c. rd. 1,+ )二、填空題3.( )一批貨物隨17 列貨車(chē)從a市以 v 千米 / 小時(shí)勻速直達(dá)b市，已知兩地鐵路線長(zhǎng) 400 千米，為了安全，兩列貨車(chē)間距離不得小于(20v)2千米 ，那么這批物資全部運(yùn)到b市，最快需要 _小時(shí) (不計(jì)貨車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)). 4.( )設(shè)x1、x2為方程 4x2 4mx+m+2=0 的

7、兩個(gè)實(shí)根， 當(dāng)m=_時(shí)，x12+x22有最小值 _. 三、解答題5.( )某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100 臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷(xiāo)售的收入函數(shù)為r(x)=5x21x2(萬(wàn)元 )(0 x5), 其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái) ) (1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？(3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？6.( )已知函數(shù)f(x)=lg (a21)x2+(a+1)x+1 (1)若f(x)的定義域?yàn)?( ,+ )，xx 數(shù)a的取值 x 圍；(2)若f(x)的值域?yàn)?( ,+ ),xx 數(shù)a

8、的取值 x 圍 . 7.( )某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周(按 120 個(gè)工時(shí)計(jì)算 )生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360 臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60 臺(tái).已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：家電名稱(chēng)空調(diào)器彩電冰箱工時(shí)2131414 / 6 產(chǎn)值 (千元 ) 4 3 2 問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千元為單位 ) 8.( )在 rt abc中，c=90 ，以斜邊ab所在直線為軸將abc旋轉(zhuǎn)一周生成兩個(gè)圓錐，設(shè)這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之積為s1，abc的內(nèi)切圓面積為s2，記abcabc=x. (1)求函數(shù)f(x)=21s

9、s的解析式并求f(x)的定義域 . (2)求函數(shù)f(x)的最小值 . 參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+11m, 當(dāng)mm時(shí)，m1, (xm)2+m+11m0 恒成立，故f(x)的定義域?yàn)閞. 反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+11m0, 令0, 即16m24(4m2+m+11m)0, 解得m1, 故mm. (2)解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+11m,y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小 .而u=(x 2m)2+m+11m,顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+11m,此時(shí)f(2m)=log3(m+1

10、1m)為最小值 . (3)證明：當(dāng)mm時(shí)，m+11m=(m1)+11m+13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2 時(shí)等號(hào)成立 . log3(m+11m)log33=1. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析：m1=x2在( ,21）上是減函數(shù)，m2=x1在( ,21）上是減函數(shù)，y=x2+x1在x( ,21)上為減函數(shù) , y=x2+x1(x21)的值域?yàn)?7，+). 答案： b 2. 解析：令x21=t(t0), 則x=212t. y=212t+t=21(t1)2+1 1 5 / 6 值域?yàn)?( ,1. 答案： a 二、 3.解析：t=v400+16 (20v)2/v=v400+40016v216=8. 答案： 8 4.

11、 解析：由韋達(dá)定理知：x1+x2=m,x1x2=42m,x12+x22=(x1+x2)2 2x1x2=m222m=(m41)21617,又x1,x2為實(shí)根，0. m 1 或m2，y=(m41)21617在區(qū)間 ( ,1 ）上是減函數(shù)，在2， +)上是增函數(shù)又拋物線y開(kāi)口向上且以m=41為對(duì)稱(chēng)軸 .故m=1 時(shí)，ymin=21. 答案： 1 21三、 5.解： (1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入r(x)與其總成本c(x)之差，由題意，當(dāng)x 5 時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x5 時(shí)，只能銷(xiāo)售500 臺(tái)，所以y=)1(25.012)50(5.02175. 4)5)(25. 05.0()5215

12、5()50)(25.05.0(215222xxxxxxxxxxx(2 ） 在0 x 5時(shí) ，y= 21x2+4.75x 0.5, 當(dāng)x= ab2=4.75(百 臺(tái) ） 時(shí) ，ymax=10.78125(萬(wàn)元） ，當(dāng)x5( 百臺(tái)）時(shí)，y12 0.25 5=10.75(萬(wàn)元） ，所以當(dāng)生產(chǎn)475 臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大.(3）要使企業(yè)不虧本，即要求025.012505.075. 421502xxxxx或解得 5x4.75 5625.210.1( 百臺(tái)）或5x48( 百臺(tái)）時(shí)，即企業(yè)年產(chǎn)量在10 臺(tái)到 4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本. 6. 解： (1）依題意 (a21）x2+(a+1)x+10 對(duì)一切xr

13、恒成立，當(dāng)a210 時(shí)，其充要條件是13511,0)1(4) 1(01222aaaaaaa或或即，a 1 或a35.又a=1 時(shí)，f(x)=0 滿足題意，a=1 時(shí)不合題意 .故a 1 或a為35所求 . (2）依題意只要t=(a2 1)x2+(a+1)x+1 能取到 (0，+）上的任何值，則f(x)的值域?yàn)? / 6 r，故有0012a,解得 1a35,又當(dāng)a21=0 即a=1 時(shí)，t=2x+1 符合題意而a=1時(shí)不合題意，1a35為所求 . 7. 解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，由題意得：x+y+z=360120413121zyxx0,y0,z60. 假定每周總產(chǎn)值

14、為s千元，則s=4x+3y+2z,在限制條件之下，為求目標(biāo)函數(shù)s的最大值，由消去z,得y=360 3x. 將代入得：x+(360 3x)+z=360, z=2xz60, x30. 再將代入s中， 得s=4x+3(360 3x)+2 2x,即s=x+1080. 由條件與上式知，當(dāng)x=30 時(shí)，產(chǎn)值s最大，最大值為s= 30+1080=1050(千元） .得x=30 分別代入和得y=360 90=270,z=230=60. 每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30 臺(tái)，彩電 270 臺(tái)，冰箱 60 臺(tái)，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050千元 . 8. 解： (1）如圖所示：設(shè)bc=a,ca=b,ab=c,則斜邊ab上的高h(yuǎn)=cab, s1= ah+ bh=,)2(),(22cbasbacab, f(x)=221