工程數(shù)學作業(yè)第六次方健(11.13)

1、姓名：方健 學號：652081701073 專業(yè)：化學工程問題：利用MATLAB對一組數(shù)據(jù)進行插值，對于不同的插值方法進行熟悉，以及改變插值點，以及插值范圍觀察結果變化。對于已知x=0:10，y=0 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 0.9894 0.4121 -0.5440;(ysinx)，比較一維線性、線性最近、立方和三次樣條插值所得xi0,0.15,0.30,0.45,10處的值yi。如果初始數(shù)據(jù)點為x0,2,4,10，ysinx，以上方法插值效果。對于一維插值方法作出比較。對于一維插值interp1函數(shù)的運用：調用格

2、式：yiinterp1(x,y,xi) 已知數(shù)據(jù)向量（x,y），計算并返回在插值向量xi處的函數(shù)值yi=interp1(x,y,xi,method)yi=interp1(x,y,xi,method,extrap)method用于指定插值算法，其值可以是：nearest最近插值linear線性插值（默認值）spline分段三次樣條插值pchip分段三次Hermite插值cubic與pchip相同首先看線性插值的情況，在matlab的command window中輸入如下命令x=0:1:10; %首先取函數(shù)值0到10，步長為1>> y =sin(x);>> plot(x,y

3、,'co'),hold on>> xi=0:0.05:10;>> yi=interp1(x,y,xi);>> plot(xi,yi,'r+'),text(0.7028,0.4649,'線性插值rightarrow') %在圖中作出標記>> plot(x,y,'*'),hold on>> fplot(sin,0 10)可得如下結果：下面改變插值的初始值，觀察插值情況的變化x=0:2:10;y =sin(x);plot(x,y,'co'),hold onxi=

4、0:0.1:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(xi,yi,'r+'),text(0.7028,0.4649,'線性插值rightarrow')plot(x,y,'*'),hold onfplot(sin,0 10)發(fā)現(xiàn)插值效果不如數(shù)據(jù)點多的好。下面使用臨近點插值算法插值，比較一下效果 x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,y,'co'),hold onxi=0:0.05:10;yi2=interp1(x,y,xi,'nearst');plot(xi,yi2,'c*'

5、),text(6.947,-0.258,'leftarrow最近插值')plot(x,y,'*'),hold onfplot(sin,0 10)結果如下：立方插值的情況：x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,y,'co'),hold onxi=0:0.05:10;yi3=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(xi,yi3,'md'),text(2.408,0.8333,'leftarrow立方插值')plot(x,y,'*'),hold onfplo

6、t(sin,0 10)三次樣條插值（spline）x=0:1:10;y =sin(x);plot(x,y,'co'),hold onxi=0:0.05:10;yi4=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi4,'kh'),text(4.62,0.8158,'三次樣條插值rightarrow')plot(x,y,'*'),hold onfplot(sin,0 10)改變三次樣條插值的點不同的情況變化，以及插值范圍的變化改變插值點的條件變化如下所示：x=0:1:10;y =sin(x);p

7、lot(x,y,'co'),hold onxi=0:1:10;yi4=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi4,'kh'),text(4.62,0.8158,'三次樣條插值rightarrow')plot(x,y,'*'),hold onfplot(sin,0 10)觀察初試數(shù)據(jù)的變化對于插值的影響：x=0:2:10;y=sin(x);plot(x,y,'go'),hold onezplot(sin,0 10)xi=0:0.15:10;yi=interp1(x,y,x

8、i);plot(xi,yi,'r+'),text(0.5876,0.2537,'leftarrow線性插值')yi2=interp1(x,y,xi,'nearst');plot(xi,yi2,'c*'),text(6.947,-0.258,'leftarrow最近插值')yi3=interp1(x,y,xi,'pchip');plot(xi,yi3,'md'),text(2.408,0.8333,'leftarrow立方插值')yi4=interp1(x,y,xi,&

9、#39;spline');plot(xi,yi4,'kh'),text(1.601,1.138,'leftarrow三次樣條插值')結論與分析：可以看出，分段線性插值的光滑性較差（特別是在附近彎曲處），建議選用三次樣條插值的結果。Spline插值效果較好。分段低次多項式插值通常有較好的收斂性和穩(wěn)定性，算法簡單，但插值函數(shù)光滑性變差。而且多項式插值是經(jīng)過數(shù)據(jù)點的曲線，樣條插值在端點的誤差與線性插值相比誤差較大，而線性插值的數(shù)據(jù)偏離不大。而線性插值一般是在對于數(shù)據(jù)點的變化比較小的時候使用。插值函數(shù)一般是已知函數(shù)的線性組合或者稱為加權平均。在已知數(shù)據(jù)點較少時，插值技術在工程實踐和科學實驗中有著廣泛而又十分重要的應用。例如在信息技術中的圖像重建、圖像放大過程中為避免圖像失真、扭曲而增加的插值補點，建筑工程的外觀設計，化學工程試驗數(shù)據(jù)與模型分析，天文觀測數(shù)據(jù)、地理信息數(shù)據(jù)的處理，社會經(jīng)濟現(xiàn)象的統(tǒng)計分析等方面，插值技術的應用是不可或缺的。分段線性插值函數(shù)（僅連續(xù)）與三次樣條插值函數(shù)（二階導數(shù)連續(xù)）雖然