典型題解-概率論部分

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1章 隨機事件及其概率隨機事件與概率是概率論的兩個最基本的概念.而計算各種事件概率的基本前提是：了解樣本空間的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運算.本章內(nèi)容均是概率論的基礎(chǔ)知識. 計算概率的基本方法有：運用事件之間的關(guān)系及其運算計算概率，古典型概率和幾何型概率的求法；運用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式以及事件的獨立性計算概率.本章的基本問題: (1) 隨機事件;；(2) 隨機事件概率的求法.1.1隨機事件這一部分的主要內(nèi)容是: 利用集合形式寫出事件, 討論隨機事件之間的關(guān)系與運算.一、 用集合形式寫出事件利用集合形式寫出事件的關(guān)鍵是對樣本空間、

2、事件的積、事件的和、事件的差、互斥事件及對立事件等定義能準確理解并切實掌握.1. 某燈泡廠取樣檢查出廠燈泡的壽命，設(shè) 表示“燈泡壽命大于1500小時”，表示“燈泡壽命在1000到2000小時之間”.請用集合形式寫出下列事件： 解. ，.2. 設(shè)一批零件，有正品也有次品，從這批零件中任意抽取7件.設(shè)表示事件“抽到的次品數(shù)不多于3”，表示事件“抽到的次品數(shù)為奇數(shù)”.試問：事件、各表示什么意思？解. 表示抽到的次品數(shù)為0，1，2，3，即，表示抽到的次品數(shù)為1，3，5，7，即，則，所以表示抽到的次品數(shù)為0，1，2，3，5，或7；表示抽到的次品數(shù)為1或3；表示抽到的次品數(shù)為0或2；表示抽到的次品數(shù)為0，

3、2，4或6.二、討論事件之間的關(guān)系及運算 通過事件間的關(guān)系與運算，可以將一個事件表示成與它等價的幾種不同形式，以便在今后計算概率時可以根據(jù)已知條件的不同而取其合適的一種表達式，在事件間的關(guān)系與運算中，最常用的有關(guān)結(jié)論是：（1）,與互不相容；（2）；（3）當與互不相容時，；，；（4）當時，；，.3. 以表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件為（ ）. “甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷” “甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷” “甲種產(chǎn)品滯銷” “甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷” 解. 設(shè)事件表示“甲種產(chǎn)品暢銷”，表示“乙種產(chǎn)品滯銷”.則，“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”，應(yīng)選擇.4. 甲、乙、丙三人各向靶

4、子射擊一次，設(shè)表示“第人擊中靶子”，.試用事件的運算關(guān)系表示下列事件：（1）僅有乙未擊中靶；（2）甲、乙至少一人擊中，而丙未擊中靶子；（3）至少兩人擊中靶；（4）靶上僅中一彈.解. （1）僅有乙未擊中靶：；（2）甲、乙至少一人擊中而丙未擊中靶子：；（3）至少兩人擊中靶：；（4）靶上僅中一彈：.5. 證明.證：先證.設(shè)是的一個基本事件，即，從而或，當時，必有且，從而必有；當時，必有且，從而必有且，所以有，綜上所述，成立.下證.設(shè)是的一個基本事件，即，則有且;當時，有或；當時有或，因此有下列幾種情形： （1），此時必有；（2）且，即，此時亦有；（3）且，即，此時有；（4）且，即，此時有，所以不論哪

5、種情形，均滿足，故，由事件相等的定義可知1.2 隨機事件概率的求法對于一個事件，除必然事件和不可能事件外，它在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.人們常常需要知道某些事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小，即通過求出事件的概率，揭示出這些事件內(nèi)在的統(tǒng)計規(guī)律性，以便能更好地認識客觀事物.這部分主要內(nèi)容是：討論在各種情況下，隨機事件概率的求法.一、古典型概率與幾何型概率的計算直接計算一個隨機事件的概率只有在特定的簡單試驗?zāi)Ｐ椭胁趴梢赃M行，古典型概率與幾何型概率都是在特定的古典試驗概型（有限等可能）與幾何試驗概型（無限等可能）中，應(yīng)用概率的古典定義與幾何定義直接計算事件的概率.應(yīng)該指出的是：（1）在古典型概

6、率的計算中，正確計算出所求概率的事件中所含的樣本點數(shù)目（或中所包含的基本事件個數(shù)）是解此類題的關(guān)鍵，也是解題難點所在.如果能夠從分析事件發(fā)生的結(jié)構(gòu)出發(fā)，弄清導(dǎo)致發(fā)生的每個環(huán)節(jié)，將有助于正確計算中所含樣本點數(shù)，避免漏算或重復(fù)計算的錯誤.在計算過程中經(jīng)常會用到排列組合的有關(guān)知識，有時也需要列舉法逐一分析有利用的樣本點數(shù).（2）在幾何型概率的計算中，關(guān)鍵的問題是如何計算出有利于事件的度量（長度、面積、體積等），關(guān)于這一點，根據(jù)題設(shè)條件畫出正確圖形，并熟悉一些簡單幾何圖形容積（面積、體積等）的計算將有助于解題.1. 在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任選3人記錄其紀念章的號碼.（1）

7、求最小號碼為5的概率；（2）求最大號碼為5的概率. 解. 設(shè)表示事件“最小號碼為5”，表示事件“最大號碼為5”，而10人中任選3人共有種選法，此即為樣本點的總數(shù).（1）因選到的最小號碼為5，則其中一個號碼為5且其余兩個號碼都大于5. 它們可從610這5個數(shù)中選取.故.（2）同理可得.2. 將10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書靠在一起的概率. 解. 將10本書的每一種排列看作基本事件，則基本事件的總數(shù)為. 設(shè)表示指定的3本書靠在一起的事件，如果將3本書看作一本書與剩余的7本書進行排列，則有種，而3本書靠在一起的排法有種，故事件中所包含的基本事件個數(shù)為.所以 .3. 在區(qū)間內(nèi)任取兩個隨機數(shù)

8、，求兩數(shù)之積小于的概率. 解. 顯然為一個樣本點，從而樣本空間 . 又設(shè)為所求事件，則易知 如圖所示陰影部分所示，所求概率為陰影部分的面積與的面積之比，故 4. 將一根長為的棍子任意地折成3段，求此3段能構(gòu)成一個三角形的概率.解. 設(shè)三段分別長為，由題意，只要確定了和，即可確定，故只須考慮和，顯然要將棍子能分成三段，必有，其中，這就是的取值范圍，所以此外，要構(gòu)成一個三角形，必滿足及，整理得因此所以構(gòu)成三角形的概率二、利用概率與條件概率的性質(zhì)和基本公式計算事件的概率古典概率要求試驗的所有可能的結(jié)果必須滿足有限性與等可能性這兩個特殊的條件，而幾何概率則保留了等可能性，把有限性擴展為無限。然而這些方

9、法都只能在某種范圍中使用，并各自都存在一定的缺陷與局限性，因此有必要建立概率的一般定義并由此得出概率的一些重要的性質(zhì)及基本公式. 在概率的基本公式中，加法公式、乘法公式與減法公式常常與事件間關(guān)系與運算結(jié)合應(yīng)用，特別要注意兩點：一個是在事件具備某種特定關(guān)系時，各公式的應(yīng)用模式，比如當時，等；另一點應(yīng)注意各個公式的靈活應(yīng)用，比如從加法公式可以得到： ，等.5. 已知，試在下列兩種情形下分別求出與.（1）事件、互不相容； （2）事件、有包含關(guān)系.解. （1）由于，因此.于是 （2）由已知及性質(zhì)推得必定是. 事實上，若，由性質(zhì)可得,因此與已知矛盾.故有，于是 6. 計算下列各題：（1）設(shè),求；（2）設(shè)

10、,求；（3）設(shè)，求. 解. （1）， （2）, （3） 7. 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解. 設(shè)事件表示“從10件產(chǎn)品中任取兩件，有件不合格品”，. ，依題意所求概率為, 而 ， . .易見事件，因此,應(yīng)用條件概率公式 8. 已知，且，求.解. 由知，從而.于是 其中 , 代入上式得 . 9. 為了防止意外，在礦內(nèi)同時設(shè)有兩種報警系統(tǒng)和，每種系統(tǒng)單獨使用時，其有效的概率系統(tǒng)為0.92，系統(tǒng)為0.93，在失靈的條件下，有效的概率為0.85，求：（1）發(fā)生意外時，這兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；（2）失靈的條件下

11、，有效的概率.解. 依題意知，而 從而 .又 故 .又 得 .（1） .（2） .10. 設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球，毎次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解. 設(shè)Ai (i=1, 2, 3, 4)表示事件“第i次取到紅球”，則分別表示事件第三、四次取到白球，所求概率為 三、全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用往往較前面幾個公式（如加法公式、乘法公式等）復(fù)雜. 它們一般會在計算比較復(fù)雜事件的概率時經(jīng)常使用，解這類題的關(guān)鍵是在明確所求事件的同時，找到一個合適的完

12、備事件組.11. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和0.1. 一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率.解. 設(shè)事件表示“顧客買下該箱玻璃杯”，表示“任取一箱中恰有件殘次品”，.依題意有，；，.（1）應(yīng)用全概率公式.（2）應(yīng)用貝葉斯公式 . 12. 在數(shù)字通訊中，由于存在隨機干擾，接收到的信號可能與發(fā)出的信號不同。若發(fā)報機以0.8和0.2的概率發(fā)出信號0和1，當發(fā)出信號0時，接收機以0.9的概

13、率收到0信號，以0.1的概率收到1信號；當發(fā)出信號1時，接收機以0.8的概率收到1信號，以0.2的概率收到0信號今接收機收到一個0信號，問發(fā)報機發(fā)出的是何種信號.解. 令發(fā)出信號“0”，發(fā)出信號“1”，收到信號“0”，收到信號“1”，依題意有：，由貝葉斯公式，有 故當接到0信號時，發(fā)出的信號也是0的可能性遠遠超過發(fā)出的信號是1的可能性13. 袋中裝有只正品硬幣，只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽），在袋中任取一只，將它投擲次，已知每次都得到國徽，問這只硬幣是正品的概率為多少？解. 令這只硬幣是正品，這只硬幣是次品，每次都得到國徽，則所以 14設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報

14、名表，其中女生的報名表分別為3 份、7份和5份. 隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率P；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解. 設(shè)表示報名表是第i個地區(qū)考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的報名表是男生表(j=1, 2)，則P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(A|)=； P(A|H)=； P(A1|H3)=(1) =P()=(2) 由全概率公式得 P(A2|H1)=，P(A2|H2)=，P(A2|H3)= P(A2|H1)=，P(A|H2)=，P(A2|H3)= P(A2)= P(A2)=因此，關(guān)于全概

15、率公式與貝葉斯公式的解題步驟可以概括如下：（1）應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式時，首先要明確導(dǎo)致所討論事件發(fā)生的完備事件組；其次要根據(jù)題設(shè)條件計算出與；最后應(yīng)用全概率公式解出所要計算的概率或應(yīng)用貝葉斯公式求出條件概率.（2）全概率公式中的完備事件組，可以是有限個事件（最少為兩個：與），也可以是可列個事件.（3）全概率公式中的事件可以是一個單一的事件，也可以是一些事件運算后的一個事件.四、事件的獨立性若事件與相互獨立，則,又若事件相互獨立，則 由此可見，事件的獨立性會給一些概率的計算帶來方便.14. 設(shè)是任意二事件，其中的概率不等于0和1，證明：是事件與獨立的充分必要條件. 證： 由于的概率不等于0

16、和1，知題中兩個條件概率都存在. 與獨立.15某工人看管甲、乙、丙3臺機器，在1小時內(nèi)，這3臺機器不需照管的概率分別為0.8，0.9，0.6，設(shè)這三臺機器是否需照管是相互獨立的，求在1小時內(nèi) （1）有機床需要工人照管的概率；（2） 機床因無人照管而停工的概率.解：（1）設(shè)Ai表示“甲、乙、丙三臺機床無需照管”i=1, 2, 3，則有機床需要工人照管的事件為，因而=0.568（2）以B表示“機床因無人照看而停工” =0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.

17、12416已知與獨立，與獨立，求證：與獨立當且僅當與獨立.證： P(AB)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)又A與C獨立，B與C獨立 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(ABC)若AB與C獨立時，則P(ABC)=P(AB)P(C)此時 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C) 故 AB與C獨立.若AB與C獨立則 P(AB)C)=P(AB)P(C)，由前面的式子得P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C)

18、 =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C)故AB與C獨立第2章 隨機變量及其分布隨機變量的引入使隨機事件有了數(shù)量標識，進而能夠用函數(shù)來刻畫與研究隨機事件，同時能夠?qū)⑽⒎e分中關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等方面的知識用于一些概率與分布的數(shù)字特征的計算. 隨機變量在近代概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有基礎(chǔ)地位.隨機變量通常分為兩類：離散型隨機變量和非離散型隨機變量，而非離散型隨機變量范圍很廣，其中最重要，實際工作中也常遇到的是連續(xù)性隨機變量. 掌握隨機變量及其概率分布的基礎(chǔ)是：理解隨機變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)、離散型隨機變量及其概率分布的概念與性質(zhì)、連續(xù)性隨機變量及其概率密度的概念和性質(zhì)；會

19、計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率.此外，還應(yīng)會根據(jù)自變量的概率分布求其較簡單函數(shù)的概率分布.本章的基本問題: (1)離散型隨機變量; (2)連續(xù)性隨機變量; (3)常見隨機變量的概率分布及其應(yīng)用; (4) 求隨機變量函數(shù)的分布.2.1 離散型隨機變量這一部分的主要內(nèi)容是: 求離散型隨機變量的概率分布及分布函數(shù). 要求掌握概率分布及分布函數(shù)的定義和性質(zhì). 在解題中時常常會用到的結(jié)論： 的定義域是，值域；一、 求離散型隨機變量的概率分布求離散型隨機變量的概率分布，首先要明確其全部可能取值其次要計算隨機變量取各相應(yīng)值的概率. 前者很容易，后者的計算應(yīng)結(jié)合求隨機事件概率的各種方法與概率的基本公式完成.

20、1. 某人投籃，命中率為0.7，規(guī)則是：投中后或投了四次后就停止投籃，設(shè)表示“此人投籃的次數(shù)”，求的分布律. 解. 設(shè)表示“第次投中籃框”，.由題意，可以認為各相互獨立.于是 ； ； ； 或者 從而得的分布律為 2. 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 求（1）的概率分布；（2）.解. （1）在的連續(xù)點，只有在的間斷點處取值的概率才大于零，且 則，因此，的概率分布為 （2） 二、求離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù)在取值為正概率的點處間斷，其圖形有一個跳躍，跳躍高度恰好等于取值的概率.3. 設(shè)隨機變量的所有可能取值為1,2,3,4. 且已知概率與成正比，即，試求（1）常數(shù)；（2）的分布函數(shù).

21、 解. （1）由概率分布的性質(zhì)可得： 故 . (2) 由（1）可得：的分布律為： 當時，； 當時，； 當時，； 當時，；當時，.故的分布函數(shù)為 2.2 連續(xù)型隨機變量這一部分的內(nèi)容主要是: 求連續(xù)型隨機變量的概率密度及分布函數(shù).要求掌握概率密度及分布函數(shù)的定義和性質(zhì). 在解題中常用結(jié)論：；在連續(xù)性隨機變量的概率密度的連續(xù)點處，.一、 求連續(xù)型隨機變量的概率密度與離散型隨機變量的概率函數(shù)不同的是：連續(xù)型隨機變量的概率密度雖然是非負的，但是不一定不超過1，即的取值有時可能大于1.1. 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 求（1）概率;（2）的概率密度. 解. （1）由性質(zhì)可得： （2）的概率密度為 二、 求連

22、續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，對任意實數(shù)，.因此連續(xù)型隨機變量取任何一個給的數(shù)值的概率都是0.2設(shè)隨機變量X的分布密度為，求(1) 常數(shù)A； (2) X的分布函數(shù)； (3) . 解：(1) 由性質(zhì) 即： A=(2) 由(1)知f(x)= F(x)= (<x<+)(3) P(1X<1)=F(1)F(1)= 3一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量的分布函數(shù).解：設(shè)表示彈著點到圓心的距離的取值，由已知由于射擊都能中靶，故，從而得的分布函數(shù)當時，是不

23、可能事件，故；當時，此時概率與該圓盤面積成正比，得當時，是必然事件，故所以. 2.3 常見隨機變量的概率分布及其應(yīng)用 0-1分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、指數(shù)分布及正態(tài)分布等常見分布及其應(yīng)用在各類考題中出現(xiàn)較多，特別是二項分布與正態(tài)分布更為多見. 要牢固掌握這些分布及其應(yīng)用，還需要理解各分布中參數(shù)的概率意義，它們與分布數(shù)字特征間的關(guān)系.比如用二項分布描述獨立重復(fù)試驗時，參數(shù)是獨立重復(fù)試驗的次數(shù)；參數(shù)是每次試驗的成功率. 在計算與各分布有關(guān)事件的概率時一般需已知分布參數(shù)，如果參數(shù)未知，通常要根據(jù)題設(shè)條件先求出分布參數(shù)（個別情況例外）.1假定一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.

24、7可以直接出廠，以概率0.3需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠. 現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了10臺儀器，假設(shè)毎臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立，求（1）全部能出廠的概率；（2） 恰好有兩臺不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率. 解：設(shè)為一臺儀器能出廠的概率，則=0.7+0.8×0.3=0.94，將檢查一臺儀器是否能出廠看成一次試驗，可以認為n=10，=0.94，設(shè)X為10臺儀器中能出廠的個數(shù)，則（1）PX=10=（2）PX=8=（3）PX2=1PX<2=2某種型號的電子管的壽命X（以小時計）具有以下概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（各電子管損壞與

25、否相互獨立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：任取一只電子管，其壽命大于1500小時的概率為： PX>1500=以Y記所取5只中壽命大于1500小時的電子管的數(shù)目則YB，故所求概率為 PY2=PY=0PY=1=13設(shè)隨機變量在上服從均勻分布.求方程 有實根的概率.解：的密度函數(shù)為 方程有實根的條件是即或（舍去）而所以方程有實根的概率為4. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間（以分鐘計）服從指數(shù)分布，其概率密度為 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開.他一個月要到銀行5次.以表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù).寫出的分布律，并求. 解：該顧客

26、未等到服務(wù)而離開的意味著，因此未等到服務(wù)而離開的概率變量的取值為0，1，2，3，4，或5，且服從二項分布，則的分布律為 從而 2.4 求隨機變量函數(shù)的分布已知一個隨機變量的分布，又知另一個隨機變量與的函數(shù)關(guān)系，求隨機變量的分布屬于求隨機變量函數(shù)的分布問題。一、 求連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布如果是連續(xù)型隨機變量，而也是連續(xù)型隨機變量，通常有兩種方法：（1）先通過的概率密度或分布函數(shù)求出的分布函數(shù)，再求概率密度. .（2）單調(diào)函數(shù)公式法：即如果是嚴格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且不恒等于0，反函數(shù)的定義域為，則 的概率密度為1 .設(shè)隨機變量X服從標準正態(tài)分布，求隨機變量的概率密度. 解： 由已知XN(0, 1)

27、X的分布密度為f(x)=設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y)，分布密度為(y)當y1時 =P(|X|)=2P(X)= (y), (y1) 歸納得 Y=12|X|的分布密度為 (y)2. 設(shè)隨機變量的概率密度為 求的概率密度.解： 在取值時，在上取值，故當或時,.當時，的分布函數(shù)為 .所以當時， .因此，所求的概率密度為 3. 設(shè)隨機變量的概率密度為 是的分布函數(shù). 求隨機變量的分布函數(shù).解：易見 ，當時，；當時，.對于，有 .設(shè)是隨機變量的分布函數(shù).顯然，當時，；當時，.對于，有 .于是，的分布函數(shù)為 二、 討論其他情況隨機變量函數(shù)的分布如果是連續(xù)型隨機變量而是離散型隨機變量，則解題思路與都是離散型隨機變

28、量相同，即先明確的可能取值，再一一計算出取相應(yīng)值的概率.例如：設(shè)服從區(qū)間上的均勻分布，隨機變量是的函數(shù) 求的概率分布.易見是離散型隨機變量，由于,因此的可能取值為.于是 ， .第3章 多維隨機變量及其分布隨機變量的的聯(lián)合分布函數(shù)能夠完整地描述它們的取值規(guī)律.聯(lián)合概率函數(shù)，與聯(lián)合概率密度是分別用于描述離散型與連續(xù)型兩種不同類型隨機變量的更常用的表達形式. 已知它們（聯(lián)合分布）可以直接求出邊緣分布（邊緣分布律或邊緣分布密度）與條件分布（條件分布律或條件分布密度）. 隨機變量的獨立性是個重要的概念，必須要掌握它的判定方法. 根據(jù)隨機變量的的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布，特別是求兩個隨機變量函數(shù)的分布也是在

29、各類考試中時有出現(xiàn)的題型.本章的基本問題: （1）隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布及隨機變量的獨立性;（2）求兩個隨機變量函數(shù)的分布.3.1 隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布及隨機變量的獨立性這一部分的主要內(nèi)容是: 求隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布，判定隨機變量和是否獨立. 一、 求離散型隨機變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律及條件分布律并判定離散型隨機變量的獨立性對于二維離散型隨機變量，若要判定它們不相互獨立，只需找到一個，使即可，若要判定相互獨立，則需檢驗所有的均滿足才行.對于二維離散型隨機變量，如果已知聯(lián)合概率函數(shù)，可以根據(jù)定義直接求出邊緣分布律和條件分布律.1將兩封信隨機

30、地往編號為，的四個郵筒內(nèi)投，設(shè)表示第k個郵筒內(nèi)信的數(shù)目（k = 1, 2）.求（1）的聯(lián)合分布律；（2）中關(guān)于的邊緣分布.解：（1） 依題意知：(X1, X2)的可能取值為(0, 0)，(0, 1)，(0, 2)，(1, 0)，(1, 1)，(2, 0) P(X1=0, X2=0)=PX1=0 · pX2=0|X1=0= P(X1=0, X2=1)= P(X1=0, X2=2)= P(X1=1, X2=0)= P(X1=1, X2=1)= P(X1=2, X2=0)= P(X1=1, X2=2)=P(X1=2, X2=1)=P(X1=2, X2=2)=0 (X1, X2)的聯(lián)合分布律

31、：X2X1012010200（2） 關(guān)于X1的分布律為：X1012P關(guān)于X2的分布律為：X2012P2 .已知隨機變量X與Y的分布律為：X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2且已知.（1）求（X，Y）的聯(lián)合分布律；（2）X與Y是否相互獨立，為什么？解：(1) 由P(XY=0)=1，可見 PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0易見 =0于是，得X和Y的聯(lián)合分布：XY-10100100(2) P(X=0, Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)= P(X=0) P(Y=0)P(X=0, Y0) X, Y不獨立3. 將一枚硬幣拋擲三次，以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)

32、正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試（1）寫出，的聯(lián)合分布律. （2）求隨機變量的邊緣分布律.解：可能取值為0，1，2，3。Y可能取值為3，1，的聯(lián)合分布律為Y X0123100300（1） 由（1）可得： ，即的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為Y X01231003001二、 求連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度、邊緣分布密度及條件分布密度并判定連續(xù)型隨機變量的獨立性對于二維連續(xù)型隨機變量，在從聯(lián)合概率密度求時，當對或?qū)Φ姆e分區(qū)間從換為的積分區(qū)間時，畫出的平面圖形將有助于正確確定積分區(qū)間.根據(jù)求條件概率密度、時，不僅在求邊緣密度時要注意使的積分區(qū)間，而且還要注意兩點：一是只有當相應(yīng)的邊緣分布密度不為零時

33、，條件概率密度才存在；另一個是在一個隨機變量，比如取值時，另一隨機變量的條件概率密度的取值范圍.二維均勻分布與二維正態(tài)分布是二維連續(xù)型隨機變量中兩個最常見的分布，它們有很多一般二維隨機變量所不具備的特殊性質(zhì)，一定要理解其中參數(shù)的的概率意義.若是連續(xù)型隨機變量，則相互獨立.4. 設(shè)的概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）分布函數(shù)；（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（4）.解：（1）由概率密度的性質(zhì)得 故 （2） 故 （2） 由邊緣分布函數(shù)的定義得于是，得到 （4） =.5設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布密度為（1） 求；（2） X，Y是否相互獨立？（3）求.解：（1） fX|Y(x|y)=fY|

34、X(y|x)= 而 fX(x)= fY(y)= ，（2） 由（1）知= f (x, y) X，Y相互獨立（3） 6設(shè)二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布.求（1）（X，Y）的聯(lián)合分布密度；（2） X與Y的邊緣分布密度，并問它們是否相互獨立？（3）.解：（1） 區(qū)域0x1，y2x的面積A由圖如示： 則：依題意有： （2） 又 X, Y不相互獨立.（3） .7. 設(shè)隨機變量的概率密度為 （1）求條件概率密度，；（2）問與是否相互獨立？解：（1）因為 所以當時 當時 （2）顯然 不相互獨立3.2 求兩個隨機變量函數(shù)的分布 求兩個隨機變量函數(shù)的分布問題，對于離散型隨機變量仍是確定其作為函數(shù)的隨機

35、變量的取值及取各相應(yīng)值的概率，對于連續(xù)型隨機變量最基本的方法仍是先求出其分布函數(shù)，再根據(jù)分布函數(shù)求概率密度。 一、 求二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律 設(shè)是二維離散型隨機變量，其分布律為則隨機變量的分布律為 注意：若對于不同的有相同的值，則取這些相同值的概率應(yīng)當合并.1. 已知離散型隨機變量的分布律為Y X01200.100.250.1510.150.200.15 求（1）； （2）； （3）的分布律.解：由的分布律可列表如下 在上表中將取相同值所對應(yīng)的概率合并，分別得到（1）的分布律為 （2）的分布律為 （2）的分布律為 2. 設(shè)，是否相互獨立的隨機變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從

36、參數(shù)為的泊松分布.證：的可能取值為0，1，2，的分布律為 ， 所以服從參數(shù)為的泊松分布二、 求二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的聯(lián)合概率密度及隨機變量函數(shù)分布的綜合題型 已知的聯(lián)合概率密度，而隨機變量是與的函數(shù)，為已知，則隨機變量的分布函數(shù)為 .而的概率密度. 若與獨立且概率密度分別為與,則的概率密度可以直接利用卷積公式計算，即 或 值得注意的是：在卷積公式中，使被積函數(shù)不為零的區(qū)間往往不是，因此將被積函數(shù)換為具體表達式時，一定要注意積分區(qū)間的正確選取.3.設(shè)X、Y為隨機變量，且,，求.解：Pmax(XY)0=P(X0)(Y0)=4. 設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機變量的概率密度.

37、解：由題設(shè)可知隨機點分布在正方形內(nèi)， 由分布函數(shù)的定義知 當時，區(qū)域與三角形區(qū)域無交集，故；當時，區(qū)域與三角形區(qū)域的交集為一梯形，從而；當時，區(qū)域與三角形區(qū)域的交集為整個三角形區(qū)域，此時，于是求得分布函數(shù)為 5. 設(shè)隨機變量的概率密度為 令為二維隨機變量的分布函數(shù). 求（1）的分布密度；（2）.解：（1）的分布函數(shù)為 .當時，；當時， 當時， 當時，；故的概率密度為 （2） 6. 設(shè)隨機變量與相互獨立，的概率分布為的概率密度為 記. 求（1）； （2）的概率密度. 解：（1）. （2） 故 第4章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征是概率分布的某種表征，是描述隨機變量特征的有效工具.特別是最

38、重要的幾個數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，相關(guān)系數(shù)等都有明確的概率意義，同時又具有良好的性質(zhì).因此數(shù)字特征的概念在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位.求隨機變量的數(shù)字特征，實際上可歸結(jié)為求隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題.比如一個隨機變量的方差，各階原點矩與各階中心矩，兩個隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是求一個或多個隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.本章的基本問題: (1) 數(shù)學(xué)期望和方差； (2)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、矩.4.1 數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量的平均值，而描述隨機變量取值分散程度的數(shù)值特征就是方差，期望和方差是刻畫隨機變量性質(zhì)的兩個最重要的數(shù)字特征.這部分主要內(nèi)容是：（1）求隨機變量及其函數(shù)的

39、期望；（2）求隨機變量的方差.一、 求隨機變量及其函數(shù)的期望求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望有三種方法：（1）先求出隨機變量函數(shù)的分布，利用期望定義直接計算。（2）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)從的期望求出其函數(shù)的期望.（3）利用隨機變量函數(shù)的期望公式，從的分布和的函數(shù)關(guān)系求出的數(shù)學(xué)期望.在解題中，常會考查到隨機變量數(shù)學(xué)期望的兩條性質(zhì)：（1）;（2）若與獨立，則.與前面類似，隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望也分離散型和連續(xù)型兩種情形.1對一臺儀器進行重復(fù)測試，直到發(fā)生故障為止，假定測試是獨立進行的，每次測試發(fā)生故障的概率為0.1，求試驗次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.解：由題意：PX=k=(0.1)·(0.9)k1 (k=

40、1, 2, ) E(X)=，又 故 E(X)=(0.1)=10.2設(shè)X，Y是任意兩個同分布的正值隨機變量，且相互獨立，證明：.證： 隨機變量X與Y獨立同分布，則E(X)=E(Y)，且 ，從而有，故 3. 甲乙二人進行乒乓球比賽，毎局比賽甲勝的概率為,乙勝的概率為，比賽進行到有一人連勝兩局時結(jié)束，求需要進行的比賽局數(shù)的數(shù)學(xué)期望（本題考察求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望基本方法是首先寫出X的可能取值，并求出X的分布律，再用定義求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望） 解: X的可能取值為: 2,3,4,5,6,7, X的分布律為:, 則有4. 在半徑為R的半圓周上任取兩點，求以這兩點及圓心為頂點的三角形面積S的數(shù)學(xué)

41、期望 解: 設(shè)在半徑為R的半圓周上任取兩點，對應(yīng)的圓心角為，可知，其概率密度函數(shù)為，因為 所以 5設(shè)二維隨機變量的概率密度,求X與Y的最大值的數(shù)學(xué)期望E 解: 由題設(shè)知相互獨立且同服從， 則有 （應(yīng)用概率積分: ）6設(shè)隨機變量，相互獨立，都在上服從均勻分布，求它們的最大值與最小值的數(shù)學(xué)期望 解：設(shè)，因為相互獨立且同服從上的均勻分布，則的分布函數(shù)為 可得的分布函數(shù)為 進一步可得的概率密度函數(shù)為所以, 的數(shù)學(xué)期望為 7設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求.解： X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布， E(X)=1而 E(e2X)= ， E(X+e2X)=E(X)+E(e2X)=1+8. 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備

42、的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為,為確保消費者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在(一年內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元.求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望. 解：法一：PX1=，設(shè)Y表示廠方出售一臺設(shè)備的贏利數(shù)，則Y的分布律為 Y 100 200 P E(Y)=33.64 法二：E(Y)= =33.649袋中有N張卡片，分別寫有號碼1、2、，N。從袋中任取一張卡片，記錄其號碼后仍放回袋中，如此共取n次，求取出的n張卡片上號碼的總和X的數(shù)學(xué)期望 解：設(shè)表示第次取出的號碼()，相互獨立，每一個可能的取值為，且，則由，可得10袋中有N個不同顏色的球，每次

43、從袋中任取1個球，記錄其顏色后仍放回袋中為了取出種不同顏色的球，平均需取多少次？例如，設(shè)N=10，分別計算n=2，3，10時平均需要取的次數(shù) 解：設(shè)隨機變量表示取出第種不同顏色的球后，直至取出第種不同顏色的球時需要取球的次數(shù)，則當取出種不同顏色的球時所需取球的總次數(shù). 顯然，當取出第種不同顏色的球后，每次取得新顏色（即第種顏色）的球的概率，隨機變量服從幾何分布，我們有由此得， 如果，則對應(yīng)于的不同的值，的值如下：n23456789102.113.364.796.468.4610.9614.2919.2929.2911. 設(shè)隨機變量與相互獨立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記，求（1）的概率密度；（

44、2）.解：（1）設(shè)的分布函數(shù)為，則當時，；當時，故 的概率密度（2）法一： 則 法二：同理，的概率密度 二、 求隨機變量的方差求隨機變量函數(shù)的方差有兩種方法：（1）利用方差的定義直接計算，若是離散型隨機變量，其分布律為，則.若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，則.（2）利用方差的計算公式：. 另外在利用方差的性質(zhì)做題時，要特別注意獨立性這個條件.12設(shè)隨機變量X服從幾何分布，其分布律為，其中是常數(shù)，求與.解：E(X)=； 13. X為連續(xù)型隨機變量，概率密度滿足：當時，=0，證明：證： axb， a=a容易證明 D(X)E(xc)2，取c= D(X)=14. 靶的直徑為1m，以靶的中心為圓心畫1

45、0個同心圓，半徑分別為5，10，15，50cm射擊時，擊中點落在靶心最小的圓域內(nèi)得10環(huán)；落在其它各環(huán)形域內(nèi)依次得9，8，7，1環(huán)；脫靶得0環(huán)設(shè)二維隨機變量表示擊中點的坐標，（靶心為坐標原點），已知其概率密度 求一次射擊得到的環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望與標準差（本題考察求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與標準差基本方法是首先寫出X的可能取值，并求出X的分布律，再用定義求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，最后利用方差與均值的關(guān)系求方差、標準差）解：隨機變量的可能取值為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.|時，我們用 （）表示相應(yīng)擊中點的坐標所在的環(huán)形域則可得，= ， （） 從而有： =7.993415. 設(shè)兩個隨機

46、變量相互獨立，且都服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，求隨機變量的方差. 解：令，則,.因獨立正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，故.為求，需要先計算： ， .4.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、矩求兩個隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)實際上都是求一個或多個隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.相關(guān)系數(shù)是描述兩個隨機變量間關(guān)系的數(shù)字特征.當是的線性函數(shù)時，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對值是1.一般地，任何兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)滿足：.這部分主要內(nèi)容是：（1）求兩個隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；（2）求各階原點矩與各階中心矩.一、 求兩個隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)兩個隨機變量與獨立是相關(guān)系數(shù)為零的充分而非必要條件.因此下面五個命題的關(guān)系是：與相互獨立與的相關(guān)系數(shù)兩個隨機變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)常用的結(jié)論有：（1）.（2）是常數(shù).（3） 當與相互獨立時，.1. 設(shè)隨機變量（X，Y）服從正態(tài)分布，且X和Y分別服從正態(tài)分布，X與Y的相關(guān)系數(shù).（1）求Z的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù).解：(1) E(Z)=； D(Z)= (2) 而D(X+Z)= = 2設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為：求數(shù)