概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(4183)第02章課后習(xí)題解答

1、習(xí)題2.1a1. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k= ,k=1,2,N求常數(shù)a.N解:由分布律的性質(zhì) -.=1P(X=1)申(X=2) + P+X=N) =1 aN* =1,即 a=113 572. 設(shè)隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2這4個(gè)值,且取這4個(gè)值相應(yīng)的概率依次為，求常數(shù)C.2c 4c Sc 16c1 OF 183. 將一枚骰子連擲兩次，以X表示兩次所得的點(diǎn)數(shù)之和,以丫表示兩次出現(xiàn)的最小點(diǎn)數(shù)，分別求X,丫的分布律.注：可知X為從2到12的所有整數(shù)值.可以知道每次投完都會(huì)出現(xiàn)一種組合情況，其概率皆為(1/6)*(1/6)=1/36 ，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次

2、和第二次都是 1)P(X=3)=2*(1/36 )= 1/18(兩種組合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36 )= 1/12(三種組合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36 )= 1/9(四種組合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/36 = 5/36(五種組合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36) = 1/6(這里就不寫了，應(yīng)該明白吧)P(X=8)=5*(1/36) = 5/36P(X=9)=4*(1/36) = 1/9P(X=10)=3*(1/36) = 1/12P(X=11)=2*(1/3

3、6) = 1/18P(X=12)=1*(1/36) = 1/36以上是X的分布律 投兩次最小的點(diǎn)數(shù)可以是1到6里任意一個(gè)整數(shù)，即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一個(gè)要是1,另一個(gè)可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36 以上是Y的分布律了 .一個(gè)是2,另一個(gè)是大于等于2的5個(gè)值 一個(gè)是3,另一個(gè)是大于等于3的4個(gè)值 一個(gè)是4,另一個(gè)是大于等于4的3個(gè)值 一個(gè)是5,另一個(gè)是大于等于5

4、的2個(gè)值 一個(gè)是6,另一個(gè)只能是62 OF 18品的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解 :X=0,1,2C?Q 22X=0 時(shí),PX=1 時(shí),p一"L15X=2 時(shí),P"拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，每次出現(xiàn)正面的概率為，連續(xù)拋擲8次,以X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X3 的分布律.解:PX=k=_：；k=1,2, 3, 8X-123P1114246.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為x < PE < X < -b P2 < X < 3, P2 < X < 3 解:卩險(xiǎn)扌 p-<x<-13P2<X<3 = -

5、+ - = -2441P2<X<3=2 S31 一47.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率分別為0.3.當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào),求:(1) 進(jìn)行5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；(2) 進(jìn)行7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.解:設(shè)X為事件A發(fā)生的次數(shù)，(1)14.設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)是次品，從中任取3次，每次取一個(gè)，取后不放回.以X表示取出的次3 OF 18=0.1323+ 0.02835 + 0.00243 = 0.163# OF 18 : - - = 1-C； 0.3)°(0,7)7-C；謝6-$03)2(0.7=1-0.0824 - 0

6、.2471-0.3177 = 0.353&甲乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7.現(xiàn)各投3次,求兩人投中次數(shù)相等的概率.解:設(shè)X表示各自投中的次數(shù)P(X = 0 = C?(0.6)°(0.4)3 * CS(OL7)0(OJ)3 = 0.064 * 0.027 = 0.002PX = 1) = C 扛 6)1(04尸.偽丄 z = 0288* 0.189 = 0.054P(X = 2 = Cf(0.6)2(0.4)x* Cf 2i = 0.432 * 0441 = 0191PX = 3 = Ci(0.6)0.4)°* C|(Ol7)3(03)0 = 0216 *

7、 0.343 = 0.074 投中次數(shù)相等的概率=- _- .- -.- .：. - I9. 有一繁忙的汽車站，每天有大量的汽車經(jīng)過，設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001在某天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車經(jīng)過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？俐用泊松 分布定理計(jì)算)解:設(shè)X表示該段時(shí)間出事故的次數(shù)，則XB(1000,0.0001)用泊松定理近似計(jì)算 =1000*0.0001=0.1PX>2 = l-PX=0-PX=l=1-ch 0 畑臚-C 爲(wèi)(0.000班0.9999)期=1 八7 _ 01e'cl = 1-0.9048 一 0.0905 二 0.0047

8、10. 一電話交換臺(tái)每分鐘收到的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為 4的泊松分別，求:(1) 每分鐘恰有8次呼喚的概率；(2) 每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率.解:一 一 -一.：一習(xí)題2.21. 求0-1分布的分布函數(shù).' 0<0解:F(xj = qf0 <x< 1U>12. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：X-123P0.250.50.25求x的分布函數(shù)，以及概率解:右當(dāng)一 15i<2F(x) = P0<x= PX = -1 = 025;當(dāng) 2<x<3 時(shí)找(力=PX <x- PX = -1+HX = 2 = 025 + 05=(L7Sj當(dāng) x

9、A 3 時(shí)芒由=PX <x = PX = -1 + PX = 2+ PX =3= 025 + 0.5 + 0.25 = 1； 則X的分布函數(shù)F(x)為：0, x < 一 10 巫-l<x<20.75,2<x < 31, x3P1.5 <X< 2.5 = F(25) F(1.5)二 0.75-0.25 = 05PX > 05 = 1 一 F(0.5) = 1 一 025 = 0J53.設(shè)Fi(x),F2(x)分別為隨機(jī)變量Xi和X2的分布函數(shù)，且F(x)=a F(x)-bR(x)也是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) 證明a-b=1.證： 二-:-I二二

10、 1 二丨4. 如下4個(gè)函數(shù)，哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)：(0, x <-2(i). 一£蘭丈吩(2,x>0:0, i<0(2) F2(x) = sinx7 Q<x<u 1, x>nx < 0f 0, x<0I ii l扌5. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) =a+iarctanx,-&；' U a V求(1)常數(shù)a,b;_ 解：(1)由分布函數(shù)的基本性質(zhì)<-/-:二-“；-1得：a +b * (-；) = 0a + b 詢=11 ' 1解之a(chǎn)= , b=2 TI=m；-IT TlJI(將x=1帶入F(x)

11、 =a+barctanx)注：arctan為反正切函數(shù)，值域( -)，arctan仁2 246. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0, x< 1F(x) = lnxT 1 < x< e，h x> e求一解：注：P0<I< 3 = F(3)-F(0 = 1-0 = 1;P2<Jf< 2.5= F(2.5)- F2)= Inl5-ln2 = ln = lnl.25習(xí)題2.31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:7 OF 18acosx,f(x) =wfl其他# OF 18# OF 18求：(1)常數(shù)a;(2)p Q<XCi；(3)X 的分布函數(shù) F(x).(1

12、)由概率密度的性質(zhì)n2 it /n uacosxdx = asinx| 心-as in asin 一一 = asin-+ asin- = a + a = 1x_匹2' 2丿222 2# OF 18# OF 18(2)卩條陀卜(訥11©-(加(。)=捋+訓(xùn)V2-一些常用特殊角的三角函數(shù)值8 OF 18n0-10不存在(3) X的概率分布為：f710,x <2F(x) = -(1 + sinx),K2. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=昶T叫一8 <x< +oo,求：(1)常數(shù)a; (2)也監(jiān)X < ：l;(3)X的分布函數(shù).解：:f(x)dx二 J：迥

13、dx+ae_xdx = a+a = l,即 a=璋:號(hào)訂冷址陋加扔飛*(3) X的分布函數(shù)吐 x<011 -予 ej x> 03. 求下列分布函數(shù)所對(duì)應(yīng)的概率密度：解匚二-.(柯西分布)1t(l+KZ9 OF 18# OF 18x> 0 x< 0解：fa(x) = Xe(ax>°(指數(shù)分布)x< 010 OF 18TEcosx?解：詢=0-x-'（均勻分布）11 OF 18# OF 184. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x) = < 2 - x,0,（x, 0< x< 11< x<2其也.工 0<x<

14、; 12-x, <x<2a jvt求 F(xkF(x)=£/(/>*山卄旬覽分段表達(dá)麻求Ffv）時(shí)注總分段求.# OF 18# OF 180嚴(yán).JfE +(2t )(it工* 0<x< 1XO)=«2不 I <x<2 .a 其它 刊 *)=一on-x<00<A<l1<a<2x>2# OF 18Qx<()x20<x<lF(x)=2a2x 1,l<x<22L,x>212 OF 18# OF 18i2(1) P(X>4= l-Ff-= 1-L = l- = -

15、L 2)2728 S(2)P*<X<? = fC)-fC) =222z/5. 設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求方程4- - 4?： -K - J二7二還丁 :(利用二次式的判別式) 解：KU(0,5)珂、0<x<5f(K)*5(6苴他方程式有實(shí)數(shù)根，則二'：I -'： 1' ：'' f'i :"卜：:：'2<K<-1故方程有實(shí)根的概率為：fsiPK<-1*PK>2 = 1護(hù)譏6. 設(shè)X U(2,5)現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.解:PK>3 =

16、l-F(3) = l- = -5-23至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率為:7. 設(shè)修理某機(jī)器所用的時(shí)間X服從參數(shù)為入=0.5(小時(shí))指數(shù)分布,求在機(jī)器出現(xiàn)故障時(shí)，在一小時(shí)內(nèi)可 以修好的概率解:頊審能 &設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間 x(以分計(jì))服從參數(shù)為入=的指數(shù)分布，某顧客在窗口等待13 OF 18服務(wù),若超過10分鐘，他就離開他一個(gè)月要到銀行5次，以丫表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù). 寫出丫的分布律,并求口丫3!|解：未等到服務(wù)而離開的概率”為卩軟遜詢PY = M= CKe-3)k(l- /尸,(k =(MA3A5)丫012345P0.4840.3780.1180.0180.0

17、010.00004丫的分布律:PY > 1 = 1 - PY - 0 = 1 - 0.484 = 0.5169.設(shè) X N(3J)，求: . ； - ' I .-",-.-.解：(1) p(2<<y<5 = * 仔卜 *(Y)= d(l 卜 17 £)= 0.8413-(1-0.6915) = 0532810-3=©(3.5) 1 -(亦)=0.9998 - 0.0002 = 0.9996= 1-(0.3085-0.0062) = 0.6977P(X>3= P"3二學(xué))二 17(0二 1-仙二 0.5_ PX>

18、4 = l-PX>cPX>c + PX>c=l1c-3經(jīng)查表一，即C=32 亠10.設(shè) X N(O,1)設(shè) x滿足日鷹 】1±解：P|X>x«)42jl-<t>(x)<0.115 OF 1816 OF 18-<i> (x)< v ' 2019Q 20«(x)>0.95經(jīng)查表當(dāng)J.65時(shí)發(fā)® 強(qiáng).即.J.65 時(shí). ：.：.11. X N(1O,Y),求: -一=4>(25) - 1 - 4>(1.5)二 0.9938 - 0.0668 = 0.927 'flOl

19、d- 1O/1O - d -10=* () - 4> (j < 0.9=*0.95d經(jīng)查表'-,即d=3.3212. 某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度X（單位:cm）服從正態(tài)分布N（10.05,叮営）,規(guī)定長度在范圍10.05二0.12內(nèi)為 合格，求一螺栓不合格的概率.解：螺栓合格的概率為：P10t05 - 042 <X <10.05+012 = P953<J?<10A7/10.17-10.05/9.93 -10.05=4> -* k 0.06 丿 0.06=0（2）-1-。（2= 0.9772*2-1 二 0.9544螺栓不合格的概率為1-0.9544=

20、0.045613. 測(cè)量距離時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差 X（單位:m）服從正態(tài)分布N（20,二）進(jìn)行3次獨(dú)立測(cè)量.求:（1）至少有一次誤差絕對(duì)值不超過 30m的概率；（2）只有一次誤差絕對(duì)值不超過30m的概率.解：-30 一 20(1)絕對(duì)值不超過30m的概率為：P-30<X40=0(025-1 - *(1.25) = 0.493130 一 2040至少有一次誤差絕對(duì)值不超過30m的概率為：1-以灣命尸( 1 陽W L加務(wù)(2)只有一次誤差絕對(duì)值不超過 30m的概率為：0(04931)1(1 0.4931)2 = 03801習(xí)題2.41.設(shè)X的分布律為-20230.20.20.30.3求二旳幣往

21、i ,二的分布律. 解：的可能取值為5,1,-3,-5.由于PYi =5= P-2X +1 = 5 = PX = -2 = 02 啦=1= P-2X +1 = 1 = PX = -2 = 02 Ph = -3 = P-2X + 1 = -3= PX = 2 = 03 血=-5 = P-2X + 1 = -5= PX = 3= 03 從而L的分布律為：-5-315Y-L 0.30.30.20.2一 的可能取值為0,2,3.由于PY2 =O = PX = 0= PX =0= 0.2血=2 = PX| = 0=PX= -2 + PX = 2 = 02 + 0.3 = 0.5PY2 = 3 = P|X

22、 = 3 = PX =3= 0.3從而乜的分布律為：0.20.50.32. 設(shè)X的分布律為-10 120.20.30.10.4求.- 解:Y的可能取值為0,1,4.由于PY = 0 = P(X -1)2 = 0= PX = 1 = 01PY = 1 = P(X-l)2 = 1= PX 二 0 + PX = 2 = 0JPY = 4 = P(X-l)z=4= PX = -1 = 02從而"的分布律為：0140.1 0.70.2X"y3. XU(O,1)求以下Y的概率密度： Y二-21nX;Y = 3X+1;Y =吐1 _Y 1 Y -e_2 = - 6 2.2 2解:,曲；

23、= 鳥三三三門m 二匚 匚r. 1：二二fv(y) = f«(h(y)l h'(y)l = i*即 fy(y)= _Y 嚴(yán) y>o,h&)=3(2)' =xi 二 m 亜僉一f 二 h二1 ifY(y) = fx(h(y)l hr(y)| = i*- = -1 < y < 4,o,其他7 yo即冷- v»冇 a注：由 XU(O,1)了二戈 亠，當(dāng) X=0時(shí)，丫=3*0+1=1;，當(dāng) X=1 時(shí)，丫=3*1+1=4 V 二y1 1fyCy) = fx(h(y)l H(y)| = t = °p 0<y<e,0,其他

24、注:，當(dāng) X=O時(shí)，二二二;；，當(dāng) X=1 時(shí)，二 丁 二4. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(3 2fx(x)F- -1<I<0 I 0,其他.求以下Y的概率密度：(1)Y=3X;(2) Y=3-X; (3):解:(1) Y=g(x)=3X, X = h(y)=-, F(y)WWM119 OF 18注意是絕對(duì)值(3) J戰(zhàn)* 一，X=h(y)即即血'>1fY(y) = fx(h(y)lfh(y)l h©)|押Y elnY Y Y Y Y2h永遠(yuǎn)大于0 當(dāng)x>0是,.P2 匝 2V?5.設(shè)X服從參數(shù)為入=1的指數(shù)分布，求以下丫的概率密度丫二小 丫二茫(1)Y

25、=2X+1;解:(1) Y=g(x)=2X+1, j ；壬X的概率密度為：xU I 0, xOfy(y)= fK(h(y)l 畑=沁弓(2) Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-丫，-1fY(y)=fx(h(y)l h©)| 斗(3-Y)2+匕鱉 即(0,其地-即一 一22Y4（其他1-e y >06 其他(2) 貳am辻色;二Y2 1 Y2 h (y) = *-= s' 6 318-3 < y < 0,is*J匕 其他1 1 _Xzl=e 22 2fY(y) = fx(h(y)l h©)i (二 y>l即-(0,其他20 OF 1

26、86. XN(0,1)求以下Y的概率密度：二'；工二 V 7解:(1) '.'_-1' - y :1 衛(wèi)訶&(X)=2ff3 - 00 < X < +00v2u(j當(dāng) X二+Y時(shí):-.；-當(dāng) X=-丫時(shí):-:-呂冊(cè)F f、1 -疋丄1 -疋 2 -疋百疋故fy(y)召'y>0lo, y<o Y = g(x)= 2X + 1,X= h(y)=捋,h'(y) =1 淨(jìng) t i fg(則呦儲(chǔ)F自測(cè)題Y-1 2Jir(y -1)f 上 即；!-0,y <1一,選擇題1,設(shè)一批產(chǎn)品共有1000件,其中有50件次品，從中

27、隨機(jī)地，有放回地抽取500件產(chǎn)品,X表示抽到次品的 件數(shù)，則 PX=3= C .尸3尸,07<3<497TIA. ：B.、C.爍泱說曲嚴(yán)D. ciaooAioao5002設(shè)隨機(jī)變量 XB(4,0.2)則 PX>3jA22 OF 18A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192 解:PX>3= PX=4= J Ll?門（二項(xiàng)分布）3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),下列結(jié)論中不一定成立的是D .A. ?'： - < i - 1 B.N v：j-0 C. UD. F(x)為連續(xù)函數(shù)4.下列各函數(shù)中是隨機(jī)變量分布函數(shù)的為a. m

28、i： -miB.fo,F2（X）=z< 0jc > 0C. F.；b：二 Q1 啟 < I 心D.3Fx）二+可 arctanx 廠 co < Jt <+oo5設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為黃£ -1A. -10 B.5的C. D. 10500火-則常數(shù)a=_ A二<10r+ a - ad解:F（x） =|J_QO QX不曉得為何課后答案為D23 OF 18# OF 18A. 2-1 < T < 1-1< r < 1其他苴他&設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度為f(x)二r0< r<2貝門匚6如果函數(shù)f(力二'

29、;o 其他是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，則區(qū)間a,b可以是 CA. 0, 1 B. 0, 2 C.卜| D. 1,2 7設(shè)隨機(jī)變量X的取值范圍是-1,1,以下函數(shù)可以作為X的概率密度的是-1 < %< 1其他-1 < x < 1其他A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解沖雖匕=化泊茁#9設(shè)隨機(jī)變量XU（2,4）則"禍環(huán)弱老御=A .（需在區(qū)間2,4 內(nèi)）a. P2.25 < x<325jb. P!5 <x< 25c. P15 < z< 45d. P4.5 < z< 5510設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為-

30、_則八 '* 2v2n# OF 18A. N (-1,2) B. N (-1,4) C. N (-1,8) D. N (-1,16)11.已知隨機(jī)變量X的概率密度為fx(x),令Y=-2X則丫的概率密度fy(y)為D自己算的結(jié)果是A. - B.二,填空題1已知隨機(jī)變量X的分布律為XP123452a0.10.3a0.3則常數(shù)a= 0.1.解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X123P123666記X的分布函數(shù)為1 1 . 2F(x)則 F(2)= _解：3拋硬幣5次記其中正面向上的次數(shù)為 X則鳳懇蘭細(xì)二"325 QPX<4=1-PJT = 5

31、 = 1-C5(5)©4.設(shè)X服從參數(shù)為入(入>0)的泊松分布，且二士二二J,則入=22觸解:分別將I、已f _二二X的分布函數(shù)為x<aa<z <i>x>bT)，/a+S5.設(shè)隨機(jī)變量0,F(x) = 0.41,其中0<a<b,則卩汐<區(qū)一解:P(-<7<1 = F= 0.4-0 = 046設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,c是一個(gè)常數(shù),則買，-二0.7.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為嚴(yán)+邛F(x)=0<X<216 OF 18x> 21 V則X的概率密度為f(x),則當(dāng)x<0是f(x)=-.2Y > D一其中概率密度為f(x),&設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為4-嚴(yán)則 f(1)=??；.9.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為in.'/.'；-a< x<a其中a>0.要使，則常數(shù)a=# OF 18# OF 185<解:px>i=i-pU<i=?pU<i=-10設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),號(hào)審為其分