電動力學(xué)——矢量和張量課件

1、矢量和張量vectors and tensors中山大學(xué)理工學(xué)院 黃迺本教授(2005級,2007年3月)如果不理解它的語言,沒有人能夠讀懂宇宙這本書,它的語言就是數(shù)學(xué).Galileo經(jīng)典電動力學(xué)的研究對象電磁相互作用的經(jīng)典場論狹義相對論電動力學(xué)的相對論協(xié)變性主要數(shù)學(xué)工具微積分、線性代數(shù)、矢量與張量分析、數(shù)學(xué)物理方程、級數(shù)等.教材和參考書教材：郭碩鴻電動力學(xué)（第二版）高等教育出版社，1997參考書：1黃迺本，方奕忠電動力學(xué)（第二版）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書，高等教育出版社，20042J.D.杰克孫經(jīng)典電動力學(xué)人民教育出版社，19783費(fèi)恩曼物理學(xué)講義，第2卷，上?？萍汲霭嫔纾?0054朗道等場論人民教育出版

2、社，19595蔡圣善等電動力學(xué)（第二版），高等教育出版社，20036尹真電動力學(xué)（第二版），科學(xué)出版社，20057Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和張量目錄(contens)1.矢量和張量代數(shù)(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和張量分析(the analysis of vectors and tensors)3.函數(shù)( function)4.球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系1 矢量和張量代數(shù)在三維歐幾里德空間中，按物理量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下的變換性質(zhì)，可分為標(biāo)量（零階張量）

3、，矢量（一階張量），二階張量，及高階張量.（見郭碩鴻，電動力學(xué)，P258）分為：0 階張量，即標(biāo)量(scalar)，在3維空間中，只有30 = 1個分量.標(biāo)量是空間轉(zhuǎn)動下的不變量.例如，空間中任意兩點(diǎn)之間的距離r，就是坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下的不變量.溫度、任一時刻質(zhì)點(diǎn)的能量、帶電粒子的電荷、電場中的電勢，等等,都是標(biāo)量.1階張量，即矢量(vector)，在3維空間中，由31 = 3個分量構(gòu)成有序集合.例如，空間中任意一點(diǎn)的位置矢量r，質(zhì)點(diǎn)的速度v和加速度a,作用力F和力矩M,質(zhì)點(diǎn)的動量p和角動量L、電流密度J,電偶極矩p,磁偶極矩m,電場強(qiáng)度E,磁感應(yīng)強(qiáng)度B,磁場矢勢A，等等都是矢量.2階張量(tow

4、order tensor)，在3維空間中，由32 = 9個分量構(gòu)成有序集合.例如，剛體的轉(zhuǎn)動慣量,電四極矩,等.3階張量，在3維空間中，由33 = 27個分量構(gòu)成有序集合.矢量表示印刷用黑體字母，如 r , A 書寫在字母上方加一箭頭，如 正交坐標(biāo)系的基矢量正交坐標(biāo)系(如直角坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系)基矢量的正交性可表示為 (1.1)一般矢量A有三個獨(dú)立分量A1，A2，A3，故可寫成 (1.2)矢量的乘積兩個矢量的標(biāo)積與矢積，三個矢量的混合積與矢積分別滿足 (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)并矢量與二階張量兩個矢量A和B并置構(gòu)成并矢量 (1.7)它有9個分量和9個基，一般地.三維

5、空間二階張量也有9個分量，它的并矢量形式與矩陣形式分別為 (1.8) (1.9)張量的跡是其主對角線全部元素(分量)之和： (1.10)單位張量的并矢量形式與矩陣形式分別是 (1.11) (1.12)因此(.1)式中的符號實(shí)際上是單位張量的分量.對稱張量與反對稱張量 若，稱之為對稱張量，它有6個獨(dú)立分量，若對稱張量的跡為零，則它只有5個獨(dú)立分量.單位張量是一個特殊的對稱張量. 若，稱之為反對稱張量，由于，反對稱張量只有3個獨(dú)立分量.任何張量均可寫成一個對稱張量與一個反對稱張量之和，即，只需使，.二階張量與矢量點(diǎn)乘，結(jié)果為矢量.由(.1)式，有 (1.13) (1.14)一般地 . 但單位張量與

6、任何矢量點(diǎn)乘，均給出原矢量： (1.15)并矢量與并矢量、或二階張量與二階張量雙點(diǎn)乘，結(jié)果為標(biāo)量.運(yùn)算規(guī)則是先將靠近的兩個矢量點(diǎn)乘，再將另兩個矢量點(diǎn)乘： (1.16)2 矢量和張量分析（1）算符和物理量在空間中的分布構(gòu)成“場”(field).表示“場”的物理量一般地是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，也可能有間斷點(diǎn)，甚至?xí)衅纥c(diǎn).例如:溫度T、靜電勢的分布都構(gòu)成標(biāo)量場；電流密度J、電場強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、磁場矢勢A的分布都構(gòu)成矢量場.是對場量作空間一階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的矢量算符，是二階齊次偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的標(biāo)量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐標(biāo)系中 ， (2.1)三個基矢量均是常矢量.（2）標(biāo)量場的梯度(gradien

7、t of a scalar field)標(biāo)量場在某點(diǎn)的梯度 (2.2)是一個矢量，它在數(shù)值上等于沿其等值面的法向?qū)?shù)，方向沿增加的方向，即 (2.3)例如靜電勢的分布是一個標(biāo)量場,即變成矢量場靜電場.（3）矢量場的散度(divergence of a vector field)矢量場通過某曲面通量(flux)定義為 (2.4)其中是曲面某點(diǎn)附近的面積元矢量，方向沿曲面的法向.對于閉合曲面(closed surface)，規(guī)定的方向沿曲面的外法向.對于矢量場中包含任一點(diǎn)的小體積，其閉合曲面為，定義極限 (2.5)為矢量場A在該點(diǎn)的散度，它是標(biāo)量.在直角坐標(biāo)系中 (2.6)若, 則該點(diǎn)散度，該點(diǎn)就

8、是矢量場A的一個源點(diǎn)；若，則該點(diǎn)散度，該點(diǎn)不是矢量場A的源點(diǎn).若處處均有，就稱為無散場(或無源場)，它的場線必定是連續(xù)而閉合的曲線.磁場就是無散場(solenoidal field).高斯定理(Gaussl theorem) 對任意閉合曲面及其包圍的體積，下述積分變換定理成立 (2.7)由此推知，若是無散場，即處處有，則場通過任何閉合曲面的凈通量均為零.（4）矢量場的旋度(curl of a vector field)矢量場沿閉合路徑(closed contour)的積分稱為沿的環(huán)量(circulateon)，其中是路徑的線元矢量.若對任意閉合路徑，均有 (2.8)則稱為保守場（conserv

9、ative field）.當(dāng)閉合路徑所圍成的面積元是某點(diǎn)的無限小鄰域，我們約定：路徑積分的繞行方向即dl的方向，與其所圍成的面積元的法向成右手螺旋關(guān)系，并定義極限 (2.9)為矢量場在該點(diǎn)的旋度在方向的分量.在直角坐標(biāo)系中 (2.10)它是矢量.按上述約定若，則線在該點(diǎn)周圍形成右手渦旋；若，則線在該點(diǎn)周圍形成左手渦旋；若，線在該點(diǎn)不形成渦旋.如果所有點(diǎn)上均有,A就稱為無旋場.例如靜電場就是無旋場(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 對任意的閉合路徑所圍的曲面，下述積分變換成立 (2.11)（5） 矢量場的幾個定理標(biāo)量場的梯度必為無旋場： (2.

10、12)【證】對任意標(biāo)量場的梯度取旋度，可得， ，逆定理：無旋場必可表示成某一標(biāo)量場的梯度，即若,必可令例如對于靜電場強(qiáng)度，就可用標(biāo)勢的負(fù)梯度描寫: .矢量場的旋度必為無散場： (2.13)【證】逆定理：無散場必可表成另一矢量場的旋度，即若 , 必可令例如對于磁感應(yīng)強(qiáng)度，就可用矢勢的旋度描寫.（6）算符運(yùn)算標(biāo)量函數(shù)的梯度是矢量，矢量函數(shù)f的散度是標(biāo)量，旋度是矢量，而是二階張量： (2.14)若和是標(biāo)量函數(shù)，f和g是矢量函數(shù)，有 (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22)上述運(yùn)算不必采用化成分量的方法進(jìn)行，只要抓住算符的微分作用及

11、其矢量性質(zhì)，便可快捷準(zhǔn)確地寫出結(jié)果.當(dāng)作用于兩個函數(shù)的乘積（或兩個函數(shù)之和）時，表示它對每一個函數(shù)都要作微分運(yùn)算，可以先考慮對第一個量的作用，并將這個量記為的下標(biāo)，以示算符只對此量執(zhí)行微分運(yùn)算，第二個量則視為常數(shù)，再考慮對第二個量的作用，此時亦將第二個量記為的下標(biāo)，第一個量則視為常數(shù)；必須注意的是，算符不能與其微分運(yùn)算對象掉換次序.例如(2.16)式，是對矢量求散度，故運(yùn)算結(jié)果的每一項(xiàng)都必須是標(biāo)量，我們有又如(2.20)式，是對標(biāo)量求梯度，結(jié)果的每一項(xiàng)都必須是矢量，先把它寫成再根據(jù)三矢量的矢積公式(1.6)式，但結(jié)果中必須體現(xiàn)對的微分作用，以及對的微分作用，故有右方所得結(jié)果中第二項(xiàng)實(shí)際上是，第

12、四項(xiàng)是.（7）積分變換 （高斯定理） (2.23.) (2.24) （斯托克斯定理） (2.25)（格林公式） (2.26)（格林公式） (2.27)3 函數(shù)一維函數(shù)定義為 (3.1) ，當(dāng) (3.2)主要性質(zhì)為：為偶函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)；又若函數(shù)在附近連續(xù)，有，當(dāng) (3.3)這一性質(zhì)由中值定理可以證明.三維函數(shù)定義為 (3.4)，當(dāng)在V內(nèi) (3.5)因此，位于的單位點(diǎn)電荷的密度可表示為. (4.3)式可推廣到三維情形，若函數(shù)在附近連續(xù)，便有，當(dāng)在V內(nèi) (3.6)4.球坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系當(dāng)坐標(biāo)變化時，三個基矢的方向保持不變.常用的微分運(yùn)算表達(dá)式為 (4.1) (4.2) (4.3)

13、(4.4)曲線正交坐標(biāo)系任一點(diǎn)的坐標(biāo)也可用曲線正交坐標(biāo)系描述，沿三個坐標(biāo)增加方向的基矢量互相正交，隨著坐標(biāo)變化，一般地三個基矢量的取向?qū)淖?無限小線元矢量、坐標(biāo)的標(biāo)度系數(shù)，以及微分算符分別為 (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)球坐標(biāo)系，；，.三個基矢，的方向均與坐標(biāo)和有關(guān)，而與無關(guān).與直角坐標(biāo)系基矢的變換為 (4.9) (4.10)坐標(biāo)變換為， (4.11)常用的微分運(yùn)算表達(dá)式為 (4.12) (4.13) (4.14) (4.15)立體角元、球面積元與體積元分別為 (4.16) (4.17) (4.18)柱坐標(biāo)系，； ，.三個基矢量， ，中，和的方向均與坐標(biāo)有關(guān)，則為常矢量.與直角坐標(biāo)系基矢的變換為 (4.19) (4.20)坐標(biāo)變換為， (4.21)常用的微分運(yùn)算表達(dá)式為 (4.22) (4.23) (4.24) (4.25)體積元為 (4.26)例1設(shè)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，證明： (1) (2) (3)【證】對于，注意到，有在直角坐標(biāo)系中將矢量A寫成分量形式，便可證明(2)式和(3)式.例2從源點(diǎn)（即電荷電流分布點(diǎn)）到場