概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試習(xí)題

1、習(xí)題2設(shè)A, B, C為三個(gè)事件，試用 A, B, C旳運(yùn)畀關(guān)花止諼示卜列寸(1) A發(fā)生，B, C都不發(fā)生；(2) A與B發(fā)生，C不(3) A, B, C都發(fā)生；(4) A, B, CI:(5) A, B, C都不發(fā)生；(6) A, B, C W我牛；(7) A, B, C至多有2個(gè)發(fā)生；(8) A, B, C至少有2個(gè)發(fā)生【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC(4) A U BU C= ABC U ABC U A BC U ABC U AB CU ABC U ABC= ABC ABC = A B C (6) ABC(7) ABCU AB CU ABC U AB CU A BC

2、 U ABC U ABC = ABC = A U B U C(8) AB U BCU CA=AB C U A B CU ABCU ABC4設(shè) A, B 為隨機(jī)事件，且 P ( A) =0.7,P(A-B)=0.3，求 P ( AB )【解】P ( AB ) =1 -P (AB) =1 -P(A)P(A-B)=1 -0.7 -0.3=0.66設(shè) A, B, C 為三事件，且 P (A) =P ( B) =1/4 , P ( C) =1/3 且 P ( AB) =P (BC) =0 ,P (AC) =1/12，求A, B, C至少有一事件發(fā)生的概率【解】 P (A U BU C) =P(A)+P(

3、B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1 1 丄_3= + + =443 12 414. 心T *乙兩北干，加牙冷;分別/j 0.8和0.7,在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求:(1) 兩粒都發(fā)芽的概率；(2) 至少有一粒發(fā)芽的概率；(3) 恰有一粒發(fā)芽的概率【解】設(shè)Ai=第i批種子中的一粒發(fā)芽, (i=1,2)(1) P(AA2)=P(A)P(A2)=0.7 0.8=0.56(2) P(AUA2)=0.7 0.8-0.7 0.8=0.94(3) P(AA2UAA2)=0.8 0.3 0.2 0.7 =0.3818.丿二U丿i"： 7 T旳框評(píng)刃0.3，下雨的概率

4、為 0.5，既下雪又下雨的概率為 0.1,求:(1)在下雨條件下下雪的概率；(2) 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A=下雨 , B=下雪.(1)P(B A)P(AB)P(A)0.10.5= 0.27(2) p(AjB)二 P(A) P(B) _P(AB) =0.3 0.5 0.1 =0.723. 役 P ( A ) =0.3,P(B)=0.4, P(A B )=0.5，求 P ( B | A U B )【解】P(BAUB)=PA器P A )P AB )P(A) P(B) -P(AB)0.7 -0.52/3 0.982/3 0.98 1/3 0.010.7 0.6 -0.5 一 426.將兩信

5、息分別編碼為A和B傳遞出來(lái)，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B(niǎo)被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2 : 1.若接收站收到的信息是A,試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A=原發(fā)信息是A，則=原發(fā)信息是BC=收到信息是A，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得P(A)P(C|A)P(A C)=P(A)P(C A) + P(A)P(C A)=0.9949229.某玄險(xiǎn)分hL駛用險(xiǎn)M戸廠一奘:“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，上 述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30;如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%, “一般的”占50%, “冒

6、失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故， 則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的” , B=該客戶是“一般的” ,C=該客戶是“冒失的” , D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得p(A|D)二二P(A)P(D|A)P(D) P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D | C)= 0.0570.2 9050.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.332. 心：i f P (A | B) =P(A | B)，則 A, B 相互獨(dú)立.聞P(A0P(A同韻=器亦即P(AB)P(B)二 P(AB)P(B)P(AB)1 _ P(B)

7、 = P(A) _P(AB)P(B)因此P(AB)二 P(A)P(B)故A與B相互獨(dú)立.習(xí)題二1一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1 , 2, 3, 4, 5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只 球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律【解】X =3,4,5P(X =3)P(X =4)C；3= 0.1-0.3C5c23 二 06故所求分布律為X345P0.10.30.6P(X =5)C52設(shè)在15只同類型零件中有 2只為次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽樣, 以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的分布律；2） X的分布函數(shù)并作圖；1 33PX , P1：X , P1X , P12 22【解

8、】X =0,1,2.P(X =0)普C152235P(X=1)=c2c21312P(X=2)C5U3C1535135故X的分布律為X012P22121353535(2)當(dāng) x<0 時(shí),F (x) =P(X w x) =0當(dāng) 0 w x<1時(shí),F (x)當(dāng) 1 w x<2時(shí),F (x)22=P (Xw x) =P(X=0)=-3534=P (Xwx) =P(X=0)+P(X=1)=-35當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn) 故X的分布函數(shù)(x)=P (X w x) =10,x c022,35,0 蘭 x c1341Exc235,1,xK 2F(x)=1 221 .P(X )=F(),2 235

9、34 34 門(mén)035 353、3 3P(：X 込)二 F(?)-F(1)3 312P(1X ) = P(X =1) P(1 ：X 廠2，'，'23534 1P(1 ： X ：2) = F (2) F(1) P(X =2) =10.35 353射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為 0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中 2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.P(X =0) = (0.2)3 = 0.008P(X =1) = C；0.8(0.2)2 =0.096P(X =2) =C3(0.8)20.2 = 0.

10、384P(X =3) =(0.8)3 =0.512故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)0,xcO0.008,0 蘭 xc1F(x)二 0.104,1 ex ：20.488,2 蘭 x<31, x_3P(X _2) = P(X =2) P(X =3) =0.89615. 已知隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為xf(x)=Ae ,<x<+ ,求：(1) A 值；(2) P0<X<1;(3)F(x).【解】(1)由：f(x)dx=1 得32758:Aedx-JAeA1 A=.2_X11e dx (1 - e )2x 111 1p(0 ：X &

11、lt;1-.0當(dāng) x<0 時(shí)，F(xiàn)(x)exdxex22x 101F (x)e 4x|dxexdx'i.221 -x =1 e2當(dāng)x>0時(shí),Tdx0 2F(x) =1 xce , x ： 021 -x1 e2x _018設(shè)隨機(jī)變量X在2，值大于3的概率.【解】XU2,5，即5上服從均勻分布現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)1,2空x豈5 f(x) = 3'0,其他512P(X 3) dx -3 33故所求概率為2)23 2 3叫)2019設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X (以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布E(-).某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi)他一個(gè)月

12、要到銀行 5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等 到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的分布律，并求 PY> 1.1【解】依題意知X E()，即其密度函數(shù)為“-l-e 5f(x)才50,該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為P(X 10)=:11o5e26Yb(5,e2),即其分布律為k 2 k2 5kP(Y =k)=C5(e ) (1-e ) ,k =0,123,4,5P(Y _1) =1 P(Y 二 0) =1-(1 -e')5 =0.516720某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N (40, 102);第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N (5

13、0, 42).(1) 若動(dòng)身時(shí)離火車開(kāi)車只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？(2) 又若離火車開(kāi)車時(shí)間只有 45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】(1)若走第一條路，XN (40, 102),則fx406040 )玉P(Xc60)=P <(2) =0.97727V 1010 丿若走第二條路，XN ( 50, 42),則P(X ：60) = pi X 一50 :： 60 一 50(2.5) =0.9938+V 44丿故走第二條路乘上火車的把握大些(2)若 XN (40, 102),則I X 4045 40 jP(X ：45) = P(0.5) =0.6915I 1010

14、丿若 XN (50 , 42),貝yP(X ：45) = PX -5045-504=：(-1.25)=1 -門(mén)(1.25) =0.1056故走第一條路乘上火車的把握大些.21設(shè) XN (3 , 22),(1) 求 P2<X韋, PV<X<10 , P | X |> 2, PX>3;(2) 確定 c 使 PX > c= PX< c.【解】（1）p（2 <X蘭5） = P生二3蘭乞3 亠 2丿呂(1)-G -110 -3<2= 0.8413 -1 0.6915 =0.5328Pa：X 10）=P 土?： - 212丿二 0.9996P(|X |

15、 - 2H P(X 2) P(X :： -2)c X -32-3 c X -3-2-3二 PPl122丿I 22丿=1 川 一1 門(mén) 一511_門(mén) 5I 2丿I 2丿12丿遼丿= 0.6915 1 -0.9938 = 0.6977X33-3 不P(X 3) = P() =1 -：(0) =0.52 2c=324設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F (x)La Be",0,x _0,x 0.C 0),(1) 求常數(shù)A, B;(2) 求 PXW 2 , PX > 3;(3) 求分布密度f(wàn) (x) .limF(x1A"【解】(1)由得回+F(x)=!mF(x)lB = T(2) P(X

16、 乞2) = F(2) =1 -e"P(X 3) =1 - F(3) =1-(1-e； Jx 0x ： 025設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F【解】當(dāng)x<0時(shí)F( x) =0當(dāng) 0< x<1 時(shí) F(x)二x二 0 tdt當(dāng) 1 < x<2 時(shí) F(x)二當(dāng) x>2 時(shí) F(x)二|x,f(x)= $2 x,0,(X),并畫(huà)出xf (t)dt 二x5)dtf ( X)0 _x ：1,1 < x ： 2,其他.及 F (X).0Jf(t)dt = f0f (t)dt +1x0tdt j (2 -t)dt1 _ x232x - 2 222

17、X 2x -12F(x)詔26設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(1)f(x)=aei,入 >0；bx,10 ： x ： 1,x1 f(t)dtf(x)=試確定常數(shù)2 1x.0,a,b，并求其分布函數(shù)其他【解】(1)由qQf (x)dx =1知 1 -Q£2x2x -1,21,x ： 0x _2F( x).ix|dx = 2a ' e_，xdx0O0ae-jod2aa =一2即密度函數(shù)為iie f(x)= 22exx )1 r當(dāng) xw 0 時(shí) F(x)=f f(x)dx = e'xdx= e".：22x0 ) qX ? q當(dāng) x>0 時(shí) F (x) = f

18、 (x)dx = e'xdx + xdx二-：2'o 2= 1ex2故其分布函數(shù)x 0x乞0彈1. ,2 1. b . 1(2)由 1=J f (x)dx=bxdx + -dx=+ J_oO、0Tx2 2得b=1即X的密度函數(shù)為'x.0 c x v1f (x)=12 ,1 Exc2x9其他當(dāng) xw 0 時(shí) F (x) =0x0x當(dāng) 0<x<1 時(shí) F (x)二 f (x)dx 二 f (x)dx f (x)dx. . 0xx2xdx 二02x01x 1當(dāng) 1 wx<2 時(shí) F(x)= f(x)dx= Odx 亠 i xdx dx 0 13 1=2 x當(dāng)

19、 x > 2 時(shí) F (x) =1故其分布函數(shù)為x乞0F(xlJ,0 ： x : 1仁 x ： 2x _228設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律【解】Y可取的值為0, 1 , 4, 9P(Y =0) = P(X =0)=丄5P(Y =1) = P(X 1) P(X= 1)= 1 16 15301P(Y =4) =P(X 一2) =_511P(Y =9) =P(X =3)=30故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3042設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=丿求X的概率分布.【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布&q

20、uot;0,x< -1,0.4,-1 蘭xc1,0.8,1 蘭x<3,i 1,x 蘭 3.(1991研考)亓函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X-113P0.40.40.21.將一硬幣拋擲三次，習(xí)題三以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值 試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：012310C葺今2 = 3/8031001111XX=822284設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的分布密度求：(1)(2)(3)常數(shù)A;隨機(jī)變量（X, Y）的分布函數(shù)；P0 <X<1 , 0<Y<2.【解】（1）, "h

21、e -be-be -be(3u y)A由；:f(x,y)dxdy° .0 Ae(3x4y)dxdy =12“得(2)A=12由定義，有 Ae 3x*y) f(x, y) “，F(xiàn)(x, y)=y x=LoLef (u,v)dudvx 0,y0,其他.y 0,x 0,其他爲(wèi)12e® 4v)dudv 二(i_ex)(ldy)0, 0, P0 _ X ：1,0 _Y : 2二 P0 : X 乞 1,0 ：Y 乞2=i0 feSdxdyNIe')(1e) “.9499.5設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為f (x, y) = Jk(6 - x - y), 0 c x c 2,

22、 2 c y c 4,0,其他.(1) 確定常數(shù)k;(2) 求 PX< 1 , Yv 3;(3) 求 PX<1.5;(4) 求 PX+YW 4.【解】(1)由性質(zhì)有:24二；f(x,y)dxdy = ：i 2 k(6 _ x _ y)dydx =8k =1,1故 R =_813(2) PX : 1,Y ：3=匕匕f(x,y)dydx1 313二 0 2邛(6 - x-y)dydx 蔦8 8(3) PX ：1.5=f (x, y)dxdy如S a f (x, y)dxdyx：:J.5D11.54127dx(6-x-y)dy02 832 PX Y 4=f(x,y)dxdy如圖 b f

23、(x, y)dxdyX Y<4D224 公 120dx.2 8(6-x-y)dy 盲y4Q5圖題8設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為'4.8y(2x),0 Ex蘭1,0蘭 y 蘭f( x，y)=I 0,x,其他.求邊緣概率密度.【解】fx(x) = . _ f (x, y)dyI f 4.8y(2x)dy _2.4x (2x), Ox 蘭1, =00冷，其他.0,其他.fY(y)7三 f (x, y) dxfQ4.8y(2 _x)dx2.4y(3_4y + y ), 0 蘭 y 蘭1,= y0,0,其他.f (x, y)=丿題9圖e ,0<xvy,Q其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x) f(x, y)dy<-oO:yx e dy = e0, °，x 0,其他.fY(y)二f (x, y)dx-oOf y丁edx ye 00, 0,y 0,其他.y'iy=w繆0X題10圖10設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y)的概率密度為f (x, y)'2cx y, =0,其他.(1) 試確定常數(shù)c；(2) 求邊緣概率密度-be -be,【解】(1)_f(x,y)dxdy 如圖 f (x,y)dxdyD1124=小心 ydy = 21 c