初一數(shù)學(xué)競賽講座⑷整數(shù)的分拆

1、初一數(shù)學(xué)競賽講座第4講 整數(shù)的分拆整數(shù)的分拆，就是把一個(gè)自然數(shù)表示成為若干個(gè)自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，就是自然數(shù)的一個(gè)分拆。整數(shù)的分拆是古老而又有趣的問題，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，整數(shù)分拆的問題常常以各種形式出現(xiàn)，如，存在性問題、計(jì)數(shù)問題、最優(yōu)化問題等。例1 電視臺(tái)要播放一部30集電視連續(xù)劇，若要求每天安排播出的集數(shù)互不相等，則該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？分析與解：由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，所以，在每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播放的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。我們知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，7時(shí)，那么

2、七天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這余下的2集不能再單獨(dú)于一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過改動(dòng)某一天或某二天播出的集數(shù)，來解決這個(gè)問題。例如，各天播出的集數(shù)安排為1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。所以最多可以播7天。說明：本題實(shí)際上是問，把正整數(shù)30分拆成互不相等的正整數(shù)之和時(shí)，最多能寫成幾項(xiàng)之和？也可以問，把一個(gè)正整數(shù)拆成若干個(gè)整數(shù)之和時(shí)，有多少種分拆的辦法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6種分拆法（不計(jì)分成的整數(shù)相加的順序）。例2 有面值為1分、2分

3、、5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問：有多少種不同的支付方法？分析與解：要付2角3分錢，最多只能使用4枚5分幣。因?yàn)槿?分和2分幣都用上時(shí)，共值12分，所以最少要用3枚5分幣。當(dāng)使用3枚5分幣時(shí)，5×3=15，23-15=8，所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3種支付方法。當(dāng)使用4枚5分幣時(shí)，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分幣，或不使用，從而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2種支付方法。總共有5種不同的支付方

4、法。說明：本題是組合學(xué)中有限條件的整數(shù)分拆問題的一個(gè)特例。例3 把37拆成若干個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個(gè)最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10種不同拆法，其中3×5×29=435最小。說明：本題屬于迄今尚無普遍處理辦法的問題，只是硬湊。比37小的最大質(zhì)數(shù)是31，但37-31=6，6不能分拆為不同的質(zhì)數(shù)之和，故不取；再下去比37小的質(zhì)數(shù)是29，37-29

5、=8，而8=3+5。其余的分拆考慮與此類似。例4 求滿足下列條件的最小自然數(shù)：它既可以表示為9個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，又可以表示為10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。解：9個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個(gè)數(shù)的9倍，10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)之和的5倍，11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第6個(gè)數(shù)的11倍。這樣，可以表示為9個(gè)、10個(gè)、11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的數(shù)必是5，9和11的倍數(shù)，故最小的這樣的數(shù)是5，9，11=495。對495進(jìn)行分拆可利用平均數(shù)，采取“以平均數(shù)為中心，向兩邊推進(jìn)的方法”。例如，495÷10=49.5，則10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為：45，46，47，48

6、，49，（49.5），50，51，52，53，54。于是495=45+46+54。同理可得495=51+52+59=40+41+50。例5 若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？分析與解：設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加到了b只，由于小明沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，這只盒子里原來裝有（a+1）個(gè)小球。同理，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子里裝有（a+1）個(gè)小球，這

7、只盒子里原來裝有（a+2）個(gè)小球。依此類推，原來還有一只盒子裝有（a+3）個(gè)小球，（a+4）個(gè)小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)?，F(xiàn)在這個(gè)問題就變成了：將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)？因?yàn)?2=6×7，故可將42看成7個(gè)6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù)。又因42=14×3，故可將42寫成13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)。又因42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)。于是原題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子

8、或3只盒子。例6 機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色（比如23可表示為兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色）。問：被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少？請說明理由。解：顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6?？梢姡?，2，3，4

9、，5，6，7，8，9，11均應(yīng)染黃色。下面說明其它自然數(shù)n都要染紅色。（1）當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時(shí)，n=2k=4+2（k-2）由于n10，所以k5，k-23，2（k-2）與4均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于10的偶數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。（2）當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2（k-4）由于n13，所以k6，k-42，2（k-4）與9均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。綜上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個(gè)染為紅色的數(shù)是第（k+10）個(gè)自然

10、數(shù)（k2）。所以第2000個(gè)染為紅色的數(shù)是2000+10=2010。下面看一類有規(guī)律的最優(yōu)化問題。例7 把12分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積，要使這個(gè)積最大，應(yīng)該如何分拆？解：把12分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六種方法。它們的乘積分別是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。顯然，把12分拆成6+6時(shí)，有最大的積6×6=36。例8 把11分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積，要使這個(gè)積最大

11、，應(yīng)該如何分拆？分析與解：把11分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五種方法。它們的乘積分別是：1×10=10，2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30。顯然，把11分拆成5+6時(shí)，有最大的積5×6=30。說明：由上面的兩個(gè)例子可以看出，在自然數(shù)n的所有二項(xiàng)分拆中，當(dāng)n是偶數(shù)2m時(shí)，以分成m+m時(shí)乘積最大；當(dāng)n是奇數(shù)2m+1時(shí)，以分成m+（m+1）時(shí)乘積最大。換句話說，把自然數(shù)S（S1）分拆為兩個(gè)自然數(shù)m與n的和，使其積mn最大的條件是：m=n，或m=n+1。在具體分析時(shí)

12、，當(dāng)S為偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng)S為奇數(shù)時(shí)，分別為。例9 試把1999分拆為8個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大。分析：反復(fù)使用上述結(jié)論，可知要使分拆成的8個(gè)自然數(shù)的乘積最大，必須使這8個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1。解：因?yàn)?999=8×249+7，由上述分析，拆法應(yīng)是1個(gè)249，7個(gè)250，其乘積249×2507為最大。說明：一般地，把自然數(shù)S=pq+r（0rp，p與q是自然數(shù)）分拆為p個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積M為最大，則M為qp-r×（q+1）r。例10 把14分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得到的積最大，應(yīng)該把14如何分拆？這個(gè)最大的乘積是多少？分析與解：我們先

13、考慮分成哪些數(shù)時(shí)乘積才能盡可能地大。首先，分成的數(shù)中不能有1，這是顯然的。其次，分成的數(shù)中不能有大于4的數(shù)，否則可以將這個(gè)數(shù)再分拆成2與另外一個(gè)數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)的乘積一定比原數(shù)大，例如7就比它分拆成的2和5的乘積小。再次，因?yàn)?=2×2，故我們可以只考慮將數(shù)分拆成2和3。注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的數(shù)中若有三個(gè)2，則不如換成兩個(gè)3，換句話說，分成的數(shù)中至多只能有兩個(gè)2，其余都是3。根據(jù)上面的討論，我們應(yīng)該把14分拆成四個(gè)3與一個(gè)2之和，即14=3+3+3+3+2，這五數(shù)的積有最大值3×3×3

14、×3×2=162。說明：這類問題最早出現(xiàn)于1976年第18屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克試卷中。該試卷第4題是：若干個(gè)正整數(shù)的和為1976，求這些正整數(shù)的積的最大值。答案是2×3658。這是由美國提供的一個(gè)題目，時(shí)隔兩年，它又出現(xiàn)在美國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中。1979年美國第40屆普特南數(shù)學(xué)競賽A-1題是：求出正整數(shù)n及a1，a2，an的值，使a1+a2+an=1979且乘積最大。答案是n=660。1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽第一題的第6題是：將1992表示成若干個(gè)自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是_ _ _。答案：這些數(shù)應(yīng)是664個(gè)3。上述三題的邏輯結(jié)構(gòu)并不隨和的

15、數(shù)據(jù)而改變，所以分別冠以當(dāng)年的年份1976，1979和1992，這種改換數(shù)據(jù)的方法是數(shù)學(xué)競賽命題中最簡單的方法，多用于不同地區(qū)不同級別不同年份的競賽中，所改換的數(shù)據(jù)一般都是出于對競賽年份的考慮。將上述三題的結(jié)論推廣為一般情形便是：把自然數(shù)S（S1）分拆為若干個(gè)自然數(shù)的和：S=a1+a2+an，則當(dāng)a1，a2，an中至多有兩個(gè)2，其余都是3時(shí)，其連乘積m=a1a2an有最大值。例11 把1993分拆成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和，且使這些自然數(shù)的乘積最大，該乘積是多少？解：由于把1993分拆成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和的分法只有有限種，因而一定存在一種分法，使得這些自然數(shù)的乘積最大。若1作因數(shù)，則

16、顯然乘積不會(huì)最大。把1993分拆成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和，因數(shù)個(gè)數(shù)越多，乘積越大。為了使因數(shù)個(gè)數(shù)盡可能地多，我們把1993分成2+3+n直到和大于等于1993。若和比1993大1，則因數(shù)個(gè)數(shù)至少減少1個(gè)，為了使乘積最大，應(yīng)去掉最小的2，并將最后一個(gè)數(shù)（最大）加上1。若和比1993大k（k1），則去掉等于k的那個(gè)數(shù)，便可使乘積最大。所以n=63。因?yàn)?015-1993=22，所以應(yīng)去掉22，把1993分成（2+3+21）+（23+24+63）這一形式時(shí)，這些數(shù)的乘積最大，其積為2×3××21×23×24××63。說明：這是

17、第四屆“華杯賽”武漢集訓(xùn)隊(duì)的一道訓(xùn)練題，在訓(xùn)練學(xué)生時(shí)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生不加思索地沿用例10的思考方法，得出答案是3663×4，而忽視了題中條件“分成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和”。由此可見，認(rèn)真審題，弄清題意的重要性。例12 將1995表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和，共有多少種不同的方法？分析與解：為了解決這個(gè)問題，我們設(shè)1995可以表示為以a為首項(xiàng)的k(k1）個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。首項(xiàng)是a，項(xiàng)數(shù)為k，末項(xiàng)就是a+k-1，由等差數(shù)列求和公式，得到化簡為：(2a+k-1）×k=3990。(*)注意，上式等號左邊的兩個(gè)因數(shù)中，第一個(gè)因數(shù)2a+k-1大于第二個(gè)因數(shù)k，并且兩個(gè)因數(shù)必為

18、一奇一偶。因此，3990有多少個(gè)大于1的奇約數(shù)，3990就有多少種形如（*）式的分解式，也就是說，1995就有多少種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。因?yàn)?995與3990的奇約數(shù)完全相同，所以上述說法可以簡化為，1995有多少個(gè)大于1的奇約數(shù)，1995就有多少種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。1995=3×5×7×19，共有15個(gè)大于1的奇約數(shù)，所以本題的答案是15種。一般地，我們有下面的結(jié)論：若自然數(shù)N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)，則N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。知道了有多少種表示方法后，很自然就會(huì)想到，如何找出這些不同的表示方

19、法呢？從上面的結(jié)論可以看出，每一個(gè)大于1的奇約數(shù)對應(yīng)一種表示方法，我們就從1995的大于1的奇約數(shù)開始。1995的大于1的奇約數(shù)有：3，5，7，15，19，21，35，57，95，105，133，285，399，665，1995。例如，對于奇約數(shù)35，由（*）式，得：3990=35×114，因?yàn)?1435，所以 k=35，2a+k-1=114，解得a=40。推知35對應(yīng)的表示方法是首項(xiàng)為40的連續(xù)35個(gè)自然數(shù)之和，即：1995=40+41+42+73+74。再如，對于奇約數(shù)399，由（*）式，得3990=399×10因?yàn)?9910，所以k=10，2a+k-1=399，解得a

20、=195。推知399對應(yīng)的表示方法是首項(xiàng)為195的連續(xù)10個(gè)自然數(shù)之和，即：1995=195+196+197+204。對于1995的15個(gè)大于1的奇約數(shù)，依次利用（*）式，即可求出15種不同的表示方法。練習(xí)41將210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5。第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是幾？2將135個(gè)人分成若干個(gè)小組，要求任意兩個(gè)組的人數(shù)都不同，則至多可以分成多少組？3把19分成幾個(gè)自然數(shù)（可以相同）的和，再求出這些數(shù)的乘積，并且要使得到的乘積盡可能大，最大乘積是多少？4把1999分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)，一共有多少種不同的分拆方法？求出這兩個(gè)自然

21、數(shù)的積，要使這個(gè)積最大，應(yīng)將1999如何分拆？5把456表示成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。要求寫出所有的表達(dá)式（如9可以有兩種表達(dá)形式：9=4+5=2+3+4）。6幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于2000嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫出這些答案。如果不能，說明理由。7把70分拆成11個(gè)不同自然數(shù)的和，這樣的分拆方式一共有多少種？將不同的表示方法列舉出來。8有一把長為13厘米的直尺，在上面刻幾條刻度線，使得這把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的長度。問：至少要刻幾條線？要刻在哪些位置上？練習(xí)4答案115，40。解：這7個(gè)數(shù)中第4個(gè)數(shù)是中間數(shù)，它是這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即210÷7=30。因?yàn)?/p>

22、相鄰 2數(shù)的差都是 5，所以這7個(gè)數(shù)是15，20，25，30，35，40，45。故第1個(gè)數(shù)是15，第6個(gè)數(shù)是40。215組。解：因?yàn)橐笕我鈨蓚€(gè)組的人數(shù)不相等，且分得的組要盡可能地多，所以，要使每個(gè)組分得的人數(shù)盡可能地少。由于1+2+3+4+14+15=120，所以將 135人分成每組人數(shù)不等的15個(gè)組后還余15人。剩下的15人不能再組成一個(gè)或幾個(gè)新的小組，否則就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的組的人數(shù)相等的情況。因此，應(yīng)將剩下的15人安插在已分好的15個(gè)組之中，所以至多可以分成15個(gè)組。這15個(gè)組各組人數(shù)可以有多種情況，例如，分別是 2，3，4，5，6，14，15，16人。3972。解：要使乘積盡可能大，把19分成的幾個(gè)自然數(shù)中，3要盡量多且不能有1，所以應(yīng)把19分成5個(gè)3及1個(gè)4的和。最大乘積為35×4=972。4有999種方法，分成999+1000時(shí)積最大。5提示：456有三個(gè)大于1的奇約數(shù)3，19，57。利用例12的方法可得：對于3，有k=3，a=151；對19，有k=19，a=15；對于57，有k=16，a=21。所以456有如下三種分拆方法：456151+152+153 21+22+23+39 15+16+17+33。6能。提示：與例12類似，2000=24×53，有三個(gè)大于1的奇約數(shù)5，25，125。對于5，有k=5，a=398；對于