最新7-兩個重要極限練習(xí)題

1、精品文檔1-7兩個重要極限練習(xí)題精品文檔教學(xué)過程:x(弧度)0.500.100.050.040.030.02sin xX0.95850.99830.99960.99970.99980.9999引入：考察極限lim匹Xx問題1:觀察當(dāng)x_；0時函數(shù)的變化趨勢:當(dāng)x取正值趨近于0時，沁 >1，即lim 沁 =1 ； xX0x當(dāng)x取負值趨近于 0時，-x：0,-x>0, sin(-x)>0 .于是si nxsin( -x)limlimxQ _ x公一0 (-x)綜上所述，得_.sin x.lim1 .x 0 xlim竺冬=1的特點：xj x(1) 它是“0理，即若形式地應(yīng)用商求極限

2、的法則，得到的結(jié)果是0(2) 在分式中同時出現(xiàn)三角函數(shù)和 x的幕.如果lim (x)=0,(a可以是有限數(shù)X0,二:或：)，xT推廣limx_asin'x L lm 曲x =.X：x ：0Xsin xtanx _lim =limX-0 X xj沁=lim沁 limX xj x cosxxjsinx lim x x 】0 cosxsin 3x 求limx7Xsin3x _lim = limx_0 xx0求，.1 -cosx求 lim2x 0 x2詈(令3x二t) 3冋乎2si n2X21 -cosxy叫匚=Xi叫x2 2 xsin=lim -x：0X 22（一）=lim -X0 2x2.

3、x . Xsin sin2 2x2求limac沁X0X解 令 arcsinx=t，貝U x=sint 且 x_. 0 時 t0.所以arcsi nxt=lim -xt0 sint例5求lim匹輪.x-0x3limx 0tanx -sinxx3sinxsinxcosx1 - cosxsinx -cosx= lim 匹x° xlim x0 cosx1cosx 1 lim 2x J0X22考察極限lim（1）x =ex問題2:觀察當(dāng)x > + :時函數(shù)的變化趨勢:x1210100010000100000100000(1)xx22.252.5942.7172.71812.71822.7

4、1828當(dāng)x取正值并無限增大時，（1 丄）x是逐漸增大的，但是不論 x如何大，（1 -）x的值xx總不會超過3.實際上如果繼續(xù)增大x.即當(dāng)x >+：時，可以驗證（1 丄）x是趨近于一個確x定的無理數(shù)e= 2.718281828.當(dāng)Xr-：:時，函數(shù)（1 ）x有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e .x綜上所述，得一1 x 小二. lim （1）x=e.x*xlim( -)x=e 的特點:j xlim（1+無窮小）無窮大案；(2)“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù).推廣(1)若丄1xma(1莎)(x)lim （x）= :：,（a可以是有限數(shù)xo,二或二），則 X(2)若lim （

5、x）=0,（a可以是有限數(shù)xo,二:或：），則 xalim H :;，lx】石二 lim o亠門X （x）=e.1lim 1 t = e .1 ,因此通常稱之為1不變形 令-!=t，則xj:時t；o,代入后得到x如果在形式上分別對底和幕求極限，得到的是不確定的結(jié)果 定型.例6求mJ 一彳廣-解22令一x=t，則 x = - - Xt當(dāng) x )：:時 t. 0,于是2 1lim(-)x = lim(1 t)=lim(1 t)'-=e -例7求 lim(3x)x X； ： 2 _x解令彳x =i + u，則 x=2- 1 2 -xu當(dāng) x.'時 UrO,于是3 _x2丄_!2lim

6、()x = lim(1 u) Ulim(1 u) U (1 u)21= lim(1 u)a lim(1 u)2=e -1.例8求 lim(1 tanx)cotx 解1設(shè) t=tanx,U - = cotx.t當(dāng) x；0 時 t；0,于是1?叫(1 ta nx)cotx = 1帆(1 t)t=e.小結(jié)：兩個重要極限在求極限過程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。作業(yè)：見首頁§ 2-1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過程：引入：一、兩個實例實例1瞬時速度考察質(zhì)點的自由落體運動.真空中，質(zhì)點在時刻t=0到時刻t這一時間段內(nèi)下落的路程s由公式s = 1 gt2來確定現(xiàn)在來求t = 1秒這一時刻質(zhì)點的速度.2

7、當(dāng).址很小時，從1秒到1+ t秒這段時間內(nèi)，質(zhì)點運動的速度變化不大，可以這段時間 內(nèi)的平均速度作為質(zhì)點在 t=1時速度的近似.左(s)is(m)is(m/s) At0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度-隨著厶t變化而變化，當(dāng).：t越小時，越接近于一個定值一氏At9.8m/s .考察下列各式:s = 1g (1+ t)2- 1g 12= 1g2 t+C-t)2,2 2 22蘭=爲(wèi)2址(用=1g(2+，t), ：t

8、2.：t2思考：當(dāng)氏越來越接近于0時，蘭越來越接近于t1秒時的速度”現(xiàn)在取心tT0的極限，得/. s1lim lim g 2=t =g=9.8(m/s).為質(zhì)點在t=1秒時速度為瞬時速度.一般地，設(shè)質(zhì)點的位移規(guī)律是S=f(t),在時刻t時時間有改變量At, s相應(yīng)的改變量為 s =f( t+ ：t)-f( t)，在時間段t到t+ t內(nèi)的平均速度為Asf(t"t)-f(t)v =tt對平均速度取-t >0的極限，得v(t)= lim 蘭=limf t ：t - f tAt稱v(t)為時刻t的瞬時速。研究類似的例子實例2曲線的切線設(shè)方程為y=f(x)曲線為L .其上一點A的坐標為(

9、Xo,f(xo).在曲線上點A附近另取一點 B,它的坐標是(X0+, f(X0+ X).直線 AB是曲線的割線，它的傾斜角記作 '由圖中的RL ACB，可知割線 AB的斜率tan ：=CB _ ：y f X。：x _f x° .AC Ax 一Z在數(shù)量上，它表示當(dāng)自變量從X變到X+ X時函數(shù)f(x)關(guān)于變量x的平均變化率(增長率或減小率).現(xiàn)在讓點B沿著曲線L趨向于點A，此時.x. 0, 過點A的割線AB如果也能趨向于一個極限位置tan: = lim2tan 上 lim -.x : Mx=lim x 0f(Xo Lx) - f (xo)iXx直線AT ,我們就稱L在點A處存在切

10、線AT .記AT 的傾斜角為，則：為的極限，若二=90，得切線AT 的斜率為在數(shù)量上，它表示函數(shù) f(x)在X處的變化率.上述兩個實例，雖然表達問題的函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)和自變量x具體內(nèi)容不同，但本質(zhì)都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點x處的變化率.1.自變量X作微小變化 X，求出函數(shù)在自變量這個段內(nèi)的平均變化率X處變化率的近似;2.對y求Axr0的極限lim，錶必x若它存在，這個極限即為點X處變化率的的精確值.、導(dǎo)數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點處可導(dǎo)的概念定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在X0的某個鄰域內(nèi)有定義.對應(yīng)于自變量x在X0處有改變量lx ,函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的改變量為 二y=f(x0+.x)-f

11、(x0)，若這兩個改變量的比Ayf(X。F )-f(X。)XX當(dāng). 0時存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點X0處可導(dǎo)，并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率),記作yxn0或f (X0)或dy I.dx I v|f( )r 3f(x°+4) f(x°)y |x=x0 =f (X0)= liml.im®X分0或 df (x) dxX空0.即(2-1)y '|x0則表示了函數(shù)比值二y表示函數(shù)y=f(x)在X0到X0+ x之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù) 心X在點X0處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點X0處的變化的快慢.如果當(dāng)=x；0時-工的

12、極限不存在，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.x在定義中，若設(shè) X=X0+ X，則(2-1)可寫成(2-2)f(X0)=iimO 雖XToX _X 0根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) y=f(x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下:第一步求函數(shù)的改變量Ay=f(X0+ix)-f(X0);第二步求比值-=f(X-tf(X0);第三步 求極限f (xo)= limy -例1 求y=f(x)=X2在點X=2處的導(dǎo)數(shù).2 2 2解 .y=f(2+ . ：x)-f(2)=(2+ . ：x) -2 =4 x+( ：x)； y4-x =4+ x；iim=lim (4+ :x)=4.lxlxx0 lxJ0所

13、以 y |x=2=4 .當(dāng)lim f x° x -f X。存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點xo處的左導(dǎo)數(shù)，記作.x 0 -. xf_(Xo);當(dāng)lim f x°：x f X。存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點xo處的右導(dǎo)數(shù)，記作 f .(X。).據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系f (xo)= 存在 f _(Xo) ,(Xo)，且 f _(Xo) = f (Xo) = f (xo).2.導(dǎo)函數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點處都可導(dǎo)， 就稱函數(shù)y =f (x )在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可 導(dǎo).這時，對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個確定的值 xo都有對應(yīng)著

14、一個確定的導(dǎo)數(shù) f (xo),這樣就在 開區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作等f(x)或y等.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù)(2-3)yf x：x - f xf (x)=y = limlim匚 JO _xo-x導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù).注意 (1) f(x)是X的函數(shù)，而f(Xo)是一個數(shù)值(2) f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)f(xo)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點xo處的函數(shù)值. 例2求y =C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解 因為：y=C-C=o, y =2=o，所以 y = lim y =o.Z Z Ax即(C) =o常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零).例3求y=xn(nN xR)的導(dǎo)數(shù)

15、.解 因為 ：y=(x+ X)n-Xn=門乂21.妝+。梏22(垃)2+.+(3八- = nxn-1 +C：xn-2 "=x+.+C"x)n"1,x從而有y = lim . - = lim Ax i0-1nx n+ Cxn 2 =x+.+(=x)n1=nxn-1即(xn) = nxn_ .可以證明，一般的幕函數(shù)y=x°徑皋R, x>0)的導(dǎo)數(shù)為(x ：) = ： X：-1.例如 r.x)=(x')=1x4 =1；)=(x-1)=-x-2=-W .22. x xx例4 求y=sinx, (x R»的導(dǎo)數(shù).$ =sin(X：x)sin

16、x，在§了 中已經(jīng)求得xAy lim =cosx, x 0 x(sinx) =cosx.用類似的方法可以求得 y=cosx, (xR)的導(dǎo)數(shù)為(cosx) =-s inx.例 5 求 y=logax 的導(dǎo)數(shù)(a >0, a=1, x>0).解 對a=e、y =lnx的情況，1(ln x)=.x在§ 1-7中已經(jīng)求得為對一般的a，只要先用換底公式得y=logax=喧，以下與§ 1-7完全相同推導(dǎo)，可得In a1(logax)= 一 .x l n a三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義方程為y = f(x)的曲線，在點A (x o,f (x o)處存在非垂直切線 AT的充分

17、必要條件是f (x)在xo存在導(dǎo)數(shù)f(xo),且AT的斜率k=f (xo).導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一函數(shù)y=f(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)f(x。)，是函數(shù)圖象在點(xo,f(xo)處切線的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為y-f (xo)=f (xo)(x-xo)(2-4)過切點A (xo,f(xo)且垂直于切線的直線，稱為曲線y=f(x)在點A (xo,f(xo)處的法線，則當(dāng)切線非水平(即(xo)®時的法線方程為1 y-f(x o)=-(x-xo)If "(Xo )例6求曲線y=sinx在點(二，丄)處的切線和法線方程.6 2321 V3兀y- - = (x-),2 26y -

18、 1 _ 2后 /兀 y (x ).236例7求曲線y=Inx平行于直線y=2x的切線方程.解 設(shè)切點為A(xo, yo),則曲線在點 A處的切線的斜率為 y(xo),_ 1x No，Xo因為切線平行于直線y =2x,所以 丄=2,即xo= 1 ；又切點位于曲線上，因而yo=|n=-ln2 .X。22解(sinx)".=cosxx (2-5)所求的切線和法線方程為法線方程y (xo)=(ln x) *故所求的切線方程為1y+ln2=2(x-)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù)y=f(x)在點xo處可導(dǎo)，則存在極限(lim 二=0),.x ：olimy=f(x

19、o),則=f (xo)+： ( lim : =0)，或二y= f (x°) =x+lxxr0 xx摂一Q所以 lim =y= l.imjf (xo) ix + x、x=0.這表明函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).但y=f(x)在點x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導(dǎo)的. 例如：(1) y=|x|在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo).(2) y = Vx在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo).注意在點(0,0)處還存在切線,只是切線是垂直的.學(xué)生思考：2設(shè)函數(shù)f(x)=， X占0，討論函數(shù)f(x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性. 込十1, x c0小結(jié)：明確導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)相對于自變量的變化率。 作業(yè)：見首頁§

20、-2換元積分法教學(xué)過程復(fù)習(xí)引入1. 不定積分的概念；2. 不定積分的基本公式和性質(zhì)。新課：一、第一類換元積分法例如：cos2xdx，積分基本公式中只有：cosxdx =sin x+C .為了應(yīng)用這個公式，可進行如下變換：cos2xdx = cos2x d(2x)令 2x=u- coSiidusin u+C 2 2 21sin2 x+C,2因為(Isin2 x+C) =cos2x，所以 cosxdx =1 sin2 x+C 是正確的.2 2定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u) ,(x)是連續(xù)函數(shù)，那么f (x)(x)dx =F (x)+ C.證明思路 因為F(u)是f(u)的一個原函數(shù)，所以 F

21、 (u)=f(u);由復(fù)合函數(shù)的微分法得：d F (x)= F (u) (x)dx=f (x)(x) dx ,所以 .f (X)(X)dx=F (x)+ C.基本思想：作變量代換u= (x), (d (x)= T(x)dx)，變原積分為f(u)du，利用已知f(u)的原函數(shù)是F(u)得到積分，稱為 第一類換元積分法例 1 求(ax b)10dx , ( a,b 為常數(shù)).解因為dx =丄d(ax+b)，所以令 mx+b1u10du =_u11+C尹11aa(ax b)10dx = (ax b)10d(ax b) a u=ax+b 回代 丄(ax+b)11+C .11a例 2 求 lndx .x

22、解因為1 dx =d (In x)，所以x原式=In xd (I nx)令 lnx=u Udu Ju2+C u=lnx 回代 1 (I nx)2+C.2 22例 3 求.xex dx .解因為xdx=1d(x2)，所以2原式=1 ex2d(x2)令丄。0宀+十2回代Iex2+C 2 2 2 2求因為 xdx =1 d(x2)= .ld( a2-x2)，所以2 2令 a2-x2=u原式=-1 d(a 2 _x 2)= f-du = Vu +C2()2比2 2u回代a2 _x2+c .學(xué)生思考： 求sinx2 dx 1+ cos2 x第一類換元積分法計算的關(guān)鍵：把被積表達式湊成兩部分，一部分為d (x)，另一部分為(x)的函數(shù)f (x)，且f(u)的原函數(shù)易于求得因此，第一類換元積分法又形象化 地被稱為湊微分法.常用微分式：1dx= d(ax)；a1 2、xdx = d( x );21 dx =d (ln| x|); xdx =2d ( . x );2 dx =- d( 1)； x2xdx =d (arctan x)；1 x21dx=d (arcsin x)；1 -X2exdx =d (e x);sin xdx = d (cos x);cosxdx =d