人口指數增長模型和Logistic模型

1、根據美國人口從1790年到1990年間的人口數據如下表，確定人口指數增長模型和Logistic模型中的待定參數，估計出美國2021年的人口，同時畫出擬合效果的圖形表1美國人口統(tǒng)計數據年份1790180018101820183018401850人口(X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(X106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(X106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5提示：指數增長模型：x(t) x

2、0eLogistic 模型： x t xm1% 1 ertXo解：模型一：指數增長模型。Malthus模型的根本假設下，人口的增長率為常數,記為r,記時刻t的人口為x(t),即x(t)為模型的狀態(tài)變量且初始時刻的人dx口為x°,因為d7”由假設可知x(t) xoert經擬合得到:x(0)Xox(t) XoertIn x(t) In x0 rt y at a2y In x(t),a1 r,a21nx0r a1,x0 ea2程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0

3、 106.5 123.2 131.7150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b')結果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口關于時間的函數為：x(t) x0e0.0214t ,其中x0 = 1.2480e-016輸入：t=2021;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 5

4、98.3529即在此用英型下到2021年人口大約為598.3529 106 0350300250200150100500 17801800182018401860188019001920194019601980模型二：阻滯增長模型或Logistic模型由于資源、環(huán)境等因素對人口增長 的阻滯作用，人口增長到一定數量后，增長率會下降，假設人口的增長率為x的 減函數，如設r(x) r(1 x/xm),其中r為固有增長率(x很小時)，Xm為人dx_x_口容量資源、環(huán)境能容納的最大數量，于是得到如下微分方程：dt rx( 二) x(0) Xo建立函數文件curvefit_fun2.mfunction f

5、=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中調用函數文件curve巾t_fun2.m%定義向量數組x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,'*',x,y); %畫點，并且畫一直線把各點連起來hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要的函數，第1

6、個參數是函數名一個同名的 m文件定義，第2個參數是初值，第3、4個參數是數據點a=lsqcurvefit('curvefit fun2',a0,x,y);disp('a=' num2str(a); %顯示結果%畫圖檢驗結果xi=1790:5:2021;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');%預測2021年的數據x1=2021;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off運行結果：a=311.95310.02798178y1 =267.1947其中a(1> a(2汾別表示x txm中的x

7、m和r, y1那么是對美國美1xm 1 ertx0國2021年的人口的估計第二題：問題重述：一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給與鼓 勵，俱樂部只準備了一把軟尺用于測量，請你設計按照測量的長度估計魚的重量 的方法。假定魚池中只有一種鯨魚，并且得到 8條魚的如下數據胸圍指魚身的 最大周長：身長(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6問題分析:鯨魚的體重主要與魚的身長、胸圍有關系。一般來說，鯨魚的胸圍越大

8、，魚 的體重會越重，身長越長，體重也越重。但魚的胸圍與身長之間又有些必然的聯 系，共同影響魚的體重。建模的目的是尋求鯨魚體重與身長、 胸圍之間的數量規(guī) 律模型假設：1、鯨魚的身長越長體重越重，體重與身長存在正相關關系；2、鯨魚的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關的關系；3、鯨魚的胸圍、身長互相影響，共同作用鯨魚的體重；4、鯨魚的形態(tài)近似為與胸圍等周長與身長等高的圓柱體。符號說明：L鯨魚的身長C鯨魚的胸圍W鯨魚的體重模型的建立及求解:一、鯨魚體重與身長模型確實立為了研究鯨魚身長與體重的關系，我們利用已測量的數據，取出身長及體重的數據，利用MATLAB軟件畫出散點圖，如下：身長與體重散點圖從

9、圖形上看，鯨魚的體重與身長可能是二次函數關系，我們利用多項式擬合的方法，得到：2W 1.6247*L2-59.3124*L +709,7392根據擬合的函數，我們畫出擬合圖：身長與體重擬合圖2000180016001400120010008006004002003032343638404244464850從擬合圖上看，大局部原始數據在擬合函數附近，說明用二次函數擬合的效果較好，下面利用得出的函數對魚的體重進展估計， 用相對誤差檢驗擬合度，得到下表：表一、鯨魚體重實際值與估計值比照及誤差表身長cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量g)4824824546527

10、3776511621389擬合值 g466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對誤 差%3.20.445.73.444.935.753.570.86從表中的數據，我們可以得出鯨魚體重的實際值與估計值的相對誤差不大， 說明用二次函數擬合鯨魚身長與體重的關系式可行的。二、鯨魚體重與胸圍的模型確立僅僅考慮鯨魚胸圍對體重的影響，我們采用與模型一一樣的方法，先畫出鯨魚體 重與胸圍的散點圖：利用多項式擬合的方法，我們得從圖形上看，鯨魚體重與胸圍可能成線性關系, 到鯨魚體重與胸圍的函數表達式：W 92*0-1497.5(2)根據擬合函數2，畫出胸圍與體重關系的擬合

11、圖：利用擬合函數及實際數據，求出實際值與擬合值得相對誤差表:表二、鯨魚體重實際值與估計值比照及誤差表胸圍cm21.321.621.622.924.824.827.931.8重量g)48248245465273776511621389擬合值cm462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤 差%4.131.607.866.556.392.507.982.81220020020胸圍與體重擬合圖20001800160014001200100080060040022242628303234363840從鯨魚胸圍與體重的擬合圖，及表二中的數據，我們可以得出用線

12、性函數擬 合胸圍與體重的關系擬合程度高，鯨魚體重的實際值與估計值的相對誤差不大， 說明用線性函數擬合鯨魚身長與體重的關系式可行的。三、建立體重與身長、胸圍相互影響的模型實際情況下，鯨魚的體重不可能只由身長、胸圍單方面影響，因此考慮建立 身長、胸圍共同作用體重的模型。此模型的建立是基于假設，4，即：鯨魚的體態(tài)用與胸圍等周長，與身 長等高的圓柱形來近似。因為圓柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長C22表示： J.因此可以分析得出W LC .又物體質量等于密度與體積的乘積，因4此只需根據數據求出密度即可。于是身長、胸圍與體重的關系可以表示為：W LC2,問題轉化為對系數的求解。根據數據，利用 MATLAB軟件求解,得到：0.03273因此，W 0.0327LC24利用得出的函數對魚的體重進展估測并列如下