泛函分析在數(shù)值分析中的應(yīng)用

1、泛函分析在數(shù)值分析中的應(yīng)用劉肖廷工程力學(xué)一、數(shù)學(xué)概述數(shù)學(xué)是一門從集合概念角度去研究物質(zhì)世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的基礎(chǔ)的自然學(xué)科。它從應(yīng)用的角度可以分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)兩大范疇，而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)又可以劃分為純數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)兩大范疇。其中， 純數(shù)學(xué)是建立在基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)行的單純的數(shù)學(xué)研究?？梢娀A(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)?；A(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)以代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)， 分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)為基礎(chǔ)研究物質(zhì)世界的數(shù)學(xué)關(guān)系與空間形式。 分而言之， 代數(shù)學(xué)主要是從集合概念角度去研究物質(zhì)世界的數(shù)量關(guān)系；幾何學(xué)主要是從集合概念的角度去研究物質(zhì)世界的空間形式；分析學(xué)則主要研究集合間的映射關(guān)系及其運(yùn)算；而拓?fù)鋵W(xué)則包含點(diǎn)集拓?fù)?，代?shù)

2、拓?fù)?，微分拓?fù)?，辛拓普等幾個(gè)分支，融合與代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)之中。應(yīng)用數(shù)學(xué)則是以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的基本方法（代數(shù)，幾何，分析）為基礎(chǔ)，去探討物質(zhì)世界不同類型的數(shù)量關(guān)系與空間形式的。它主要包括三角學(xué)，概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)過程，積分變換，運(yùn)籌學(xué)，微分方程，積分方程，模糊數(shù)學(xué)，數(shù)值分析，數(shù)值代數(shù)，矩陣論，測(cè)度論，李群與李代數(shù)等領(lǐng)域。當(dāng)然，我們同樣不能忽視應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在理論上的支持與貢獻(xiàn)。由此可見，集合概念是數(shù)學(xué)的核心概念，代數(shù)、幾何與分析是是數(shù)學(xué)的三大基本方法，代數(shù)學(xué)、 幾何學(xué)、 分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)是支撐數(shù)學(xué)大廈的四根最緊要的支柱，此四者同時(shí)又是相互聯(lián)系， 不可分割的。 這一點(diǎn)印證了一句名言，數(shù)學(xué)的魅力正在于

3、其中各個(gè)分支之間的相互聯(lián)系。泛函分析的基本內(nèi)容和基本特征（一）度量空間和賦范線性空間1、度量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一種基本的、重要的、 最接近于歐幾里得空間的抽象空間。19 世紀(jì)末，德國(guó)數(shù)學(xué)家G.康托爾創(chuàng)立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎(chǔ)。20 世紀(jì)初期，法國(guó)數(shù)學(xué)家M. R. 弗雷歇發(fā)現(xiàn)許多分析學(xué)的成果從更抽象的觀點(diǎn)看來，都涉及函數(shù)間的距離關(guān)系，從而抽象出度盤空間的概念。定義：設(shè) x 為一個(gè)集合， 一個(gè)映射 d : XXR 。若對(duì)于任何x， y， z 屬于 x，有 (1) (正定性 ) d (x, y)0 ，且 d (x, y)0 。當(dāng)且僅當(dāng)xy ；(2) (對(duì)稱性 ) d (x, y)d(

4、 y, x) ；(3) (三角不等式 ) d ( x, y)d ( x, z)d ( y, z) ，則稱 d 為集合 x 的一個(gè)度量 (或距離 )。稱偶對(duì) (X ,d ) 為一個(gè)度量空間，或者稱x 為一個(gè)對(duì)于度量d 而言的度量空間。 度量空間中最為我們所熟知的是三維歐氏空間，這個(gè)空間中的度量定義為連接該兩點(diǎn)線段的長(zhǎng)度。2 、泛函分析所要研究的主要是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上完備的賦范線性空間。這類空間稱為巴拿赫空間， 巴拿赫空間中最重要的特例稱為希爾伯特空間。希爾伯特空間可以利用以下結(jié)論來完全分類，即對(duì)于任意兩個(gè)希爾伯特空間，若其基的基數(shù)相等，則它們必彼此同構(gòu)。 對(duì)于有限維希爾伯特空間而言，其上的連續(xù)線

5、性算子即是線性代數(shù)中所研究的線性變換。對(duì)于無窮維希爾伯特空間而言，其上的任何態(tài)射均可以分解為可數(shù)維度(基的基數(shù)為 50)上的態(tài)射， 所以泛函分析主要研究可數(shù)維度上的希爾伯特空間及其態(tài)射。希爾伯特空間中個(gè)尚未完全解決的問題是， 是否對(duì)于每個(gè)希爾伯特空間上的算子，都存在一個(gè)真不變子空間。該問題在某些特定情況下的答案是肯定的。3 、巴拿赫空間理論（ Banach space) 是 1920 年由波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫(S. Banach)一手創(chuàng)立的， 數(shù)學(xué)分析中常用的許多空間都是巴拿赫空間及其推廣，它們?cè)谠S多重要的應(yīng)用。大多數(shù)巴拿赫空間是無窮維空間，可看成通常向量空間的無窮維推廣，即有 | x |sup

6、| xn | 。巴拿赫空間（ Banach space) 是一種賦有 " 長(zhǎng)度 "的線性空間，是泛函分析的基本研究對(duì)象之一。數(shù)學(xué)各個(gè)分支的發(fā)展為巴拿赫空間理論的完善提供了豐富且生動(dòng)的素材。從外爾斯特拉斯， K. (T. W. 以)來，人們就己十分關(guān)心閉區(qū)間a， b 上的連續(xù)函數(shù)以及它們的一致收斂性。甚至在 19 世紀(jì)末， G .阿斯科利就得到 a ,b 上一族連續(xù)函數(shù)之列緊性的判斷準(zhǔn)則，后十分成功地應(yīng)用于常微分方程和復(fù)變函數(shù)論中。(二 )線性算子出現(xiàn)在各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有線性性質(zhì)的運(yùn)算(例如線性代數(shù)中的線性變換，微分方程論、積分方程論中大量出現(xiàn)的微分、積分運(yùn)算、積分變換等)的

7、抽象概括。它是線性泛函分析研究的重要對(duì)象。關(guān)于線性算子的理論不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中有很好的應(yīng)用，同時(shí)也是盤子物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之。中國(guó)物理學(xué)界習(xí)慣上把算子稱為算符。設(shè) X, Y 是兩個(gè)實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的線性空間，T 是 X 到 Y 的映射。 T 的定義域和值域分別記為 D（T），（R T）。如果對(duì)任何數(shù),和 x1，x2 D(T)，滿足 x1+x2 D (T ) ，并且 T（ x1+x2）= Tx1+Tx2 ,則稱 T 是以 D (T ) 為定義域的 X 到 Y 的線性算子。特別當(dāng)D(T) = X， Y 是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域時(shí)，則稱T 是 X 上的線性泛函。設(shè)T1, T2 是 x 到 y 的線性算子，它

8、們的定義域分別是 D(T12111) ,D(T )。對(duì)任一數(shù) ,規(guī)定 T 表示以 D (T ) 為定義域， 而對(duì)任何 xD (T )，有T1X=(T X)的算子。規(guī)定 T +T 表示以 D (T )D(T ) 為定義域，而對(duì)任何XD (T )D(T ) ,有11 21212+T ）x= Tx+ T x 的算子。易知。T(稱 T 的 倍 )，T +T(稱 T與 T 的和 )仍是線性算子。（T1212111 212又設(shè) T33 13 1為定義域的 Y 到 z 的線性算子，規(guī)定 T ?T（也記做 T T），表示以Dx | T1 xD(T3 ), xD(T1) 為定義域而對(duì)任何x D ， 有（ T3?

9、T1 ）x= T3?（ T1x）的算子。(三 )泛函分析的主要定理包括1. 一致有界定理， 該定理描述族在界算子的性質(zhì)。2. 譜定理包括一系列結(jié)果， 其中最常用的結(jié)果給出了希爾伯特空間上正規(guī)算子的一個(gè)積分表達(dá)， 該結(jié)果在量子力學(xué)數(shù)學(xué)描述中起核心作用。3. 罕-巴拿赫定理 (Hahn-Banach Theorem) 研究了如何保范地將某算子從某子空間延拓到整個(gè)空間。另一個(gè)相關(guān)結(jié)果則是描述對(duì)偶空間非平凡性的。4. 開映射定理和閉圖像定理。(四 ) 泛函分析與選擇公理泛函分析所研究的空間大都是無窮維的。而欲證明無窮維向量空間存在一組基，就必須使用佐恩引理。此外，泛函分析的重要定理大都構(gòu)建在罕-巴拿赫

10、定理的基礎(chǔ)上，而該定理本身正是選擇公理弱于布倫素理想定理的一個(gè)形式a(五 )泛函分析的特點(diǎn)和內(nèi)容分析學(xué)是研究實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)及其函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)分支。它的發(fā)展由微積分開始，并擴(kuò)展到函數(shù)的連續(xù)性、 可微分及可積分等各種特性。而泛函分析正是分析學(xué)發(fā)展的高級(jí)形態(tài)。泛函分析的特點(diǎn)在于它不但把古典分析中的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，將不同類型的函數(shù)看作"函數(shù)空間 "中的點(diǎn)或矢量，最終得到了 "抽象空間 " 的概念。它同時(shí)包含了以前討論過的幾何對(duì)象與不同的函數(shù)空間。泛函分析是研究現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)有力工具。n 維空間可以用來描述具有n 自由度

11、力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)， 因而描述無窮自由度力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具應(yīng)運(yùn)而生。正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求有限維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣，研究無窮自由度系統(tǒng)則需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因此，泛函分析也可稱為無窮維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。 古典分析中的基本方法，也就是極限方法， 仍可以運(yùn)用到泛函分析這門學(xué)科中。泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最 " 年輕 " 的分支， 它是古典分析觀點(diǎn)的推廣，它綜合運(yùn)用函數(shù)論、幾何和代數(shù)觀點(diǎn)來研究無窮維向盤空間上的函數(shù)、算子、和極限理論。它于20世紀(jì)40到50 年代臻于完善。半個(gè)多世紀(jì)來，泛函分析一方麗從其他學(xué)科提供素材中提取自

12、己的研究對(duì)象和研究手段，并形成了諸如算子譜論、巴拿赫代數(shù)論、拓?fù)渚€性空間論、廣義函數(shù)論等許多重要分支: 另一方而， 它強(qiáng)有力地推動(dòng)著其他分析學(xué)科的發(fā)展，在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、孟子物理、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，既是建立群上調(diào)和分析論的基本工具，也是研究無窮自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天， 它的觀點(diǎn)和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)性的學(xué)科之中，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。三、泛函分析在數(shù)值分析中的應(yīng)用事實(shí)上， 泛函分析是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性學(xué)科，其理論成果與研究方法廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)以及物理學(xué)等基礎(chǔ)自然科學(xué)之中。鑒于論題及需要所限，本文僅對(duì)泛函分析

13、在數(shù)值分析中的部分應(yīng)用做出簡(jiǎn)要說明，而作為個(gè)工學(xué)碩士研究生而言，對(duì)數(shù)值分析的應(yīng)用則主要集中在六個(gè)方麗求解非線性方程或方程組、求解線性方程組、插值與逼近、數(shù)值積分與微分、矩陣本征求解與求解常微分方程或方程組，故，本文僅對(duì)泛函分析在數(shù)值分析以上領(lǐng)域中的應(yīng)用做出探討。涉及以上六個(gè)領(lǐng)域的數(shù)值求解問題，大體可以分為兩類：其一為尋優(yōu)性問題，即不知解而求之 : 其二為逼近性問題，即不知解而近之。研究第一類問題的核心在于保證尋優(yōu)過程的收斂性與最優(yōu)解的存在性，而研究第二類問題的核心在于逼近過程的收斂性與運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。用泛函分析的語言說，第一類問題就是算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題，第二類問題就是線性算子列的收斂性與

14、一致有界性的問題。下面分別加以論述。關(guān)于用泛函分析理論解析第一類問題的任務(wù)可由巴拿赫壓縮映射原理來完成。此定理指出，完備度量空間上壓縮映射必存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。所謂壓縮映射， 就是指使象集中任意兩點(diǎn)間的距離必小于其所對(duì)應(yīng)的原象之間的距離的映射，而一切巴拿赫空間必是完備的度量空間。所以要論證巴拿赫空間中尋優(yōu)過程的收斂性與最優(yōu)解的存在性，只需要證明該尋優(yōu)過程所對(duì)應(yīng)的映射是巴拿赫空間上面的壓縮映射即可。該定理可用于證明線性或非線性方程或方程組，微分方程及積分方程等問題解的唯一性。關(guān)于用泛函分析理論解析第二類問題的任務(wù)可由共鳴定理來完成。共鳴定理指出，巴拿赫空間上的有界線性算子列必在算于范數(shù)的意義下致有界。因此，要論證巴拿赫空間中逼近過程的收斂性與運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，只需要證明該逼近過程所對(duì)應(yīng)的算子列是有界線性算子列即可。 該定理可用于說明Fourier級(jí)數(shù)的發(fā)散問題， Lagrange 插值公式的