極限的運算法則

1、§? 5 極限運算法則課 題：§ 1.5 極限運算法則教學內(nèi)容：極限運算法則教學目的：通過學習，使學生會應(yīng)用極限運算法則進行計算教學重點：應(yīng)用極限運算法則進行計算教學難點：應(yīng)用極限運算法則（除法）進行計算教學過程：注意無窮小性質(zhì)與無窮大性質(zhì)的比較對比，極限運算法則成立的條件。定理 1 有限個無窮小的和也是無窮小.例如 . 當 x >0 時 x 與 sin x 都是無窮小x sin x 也是無窮小 ，簡要證明 ：設(shè)： ?及是當 x >x o 時的兩個無窮小. 則- ；0.0 及辺 0.使當0：|x 現(xiàn): 、1 時 . 有 I 計： :; ?當0 ： :|X-Xo

2、| ： : 2 時. 有i-l.； .取 J. =min ； i，: 遼 . 則當 O<|x-xo|c5 時 . 有|a+P |勻 ot|FpK 2g .這說明 a+P 也是無窮小 .證明：考慮兩個無窮小的和 設(shè)及是當xX 0 時的兩個無窮小 . 而 二工 ,任意給定的； 0 ,因為是當x > X 0 時的無窮小 . 對于 2 0 存在著、： 1 o ?當 0 ： :|x %| ；： <i時. 不等式網(wǎng)兮成立 因為一：是當x ） X0 時的無窮小 . 對于 - 0 存在著 2 0 . 當 O： |x-X 0| ：、； 2 時. 不等式成立 . 取、打 i n y . 邊 .

3、則當 0 ： |x-X0| ： y 時|十：2及1%同時成立 . 從而 |冃沙： | , 十： 2 右這就證時了也是當 X >X 0 時的無窮小 .定理 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，簡要證明 ：設(shè)函數(shù) u 在 xo 的某一去心鄰域 x|O ： |x_X o| ： i內(nèi)有界 . 即 M .0. 使當0 ： :|x 現(xiàn)： : ：、 1 時. 有u_M, 又設(shè)： . 是當 X ； Xo 時的無窮小 . 即-； 0 ,存在、 2 0. 使當0 ： :|x 現(xiàn)：、： 時 . 有 ：:；,取、； =min 門 . 則當 0 ： x_X0 # 時. 有u ： ： :M ;, 這說明 u 二;

4、也是無窮小 ，例如 . 當 時 . 丄是無窮小 .arctan x 是有界函數(shù) . 所以丄 arctan x 也是無窮小 ，xx思考：有界函數(shù)與無窮大的乘積仍是無窮大嗎？推論 1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論 2 有限個無窮小的乘積也是無窮小，定理3 如果 lim f (x)A . lim g (x)=B.那么(1) lim f (x) ig(x) 二 lim f (x) _lim g (x) S _B(2)lim f (x) g(x)= lim f (x) - lim g (x)=A B(3)1.f(x) lim f(x) A lim(B=0) ,g(x) limg(x)B'丿證

5、明 ( 1):因為 lim f (x)=A . lim g (x) 田 . 根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系. 有f( X) # 妝 .g (x)=B+P.其中及 為無窮小 .于是f (x) _g (x)=(A 出義 ) -(B：:) =(A _B) ( 、：二 l ).即 f (x) _g (x) 可表示為常數(shù) ( A _B) 與無窮小 ( ?二 I)之和 . 因此lim f (x) ±g (x) = lim f (x)±lim g (x) = A±B , 推論 1 如果 lim f (x) 存在 . 而 c 為常數(shù) . 則lim c f (x) =c lim f (x)

6、.推論 2 如果 lim f (x) 存在 . 而 n 是正整數(shù) . 則nnlim f (x) =lim f (x).定理 4 設(shè)有數(shù)列 xn 和yn. 如果lim =A . lim y n =B .nn )那么(1) ,im ( xn _y n)二 A _B - Jim (X n yn)二 A B當ynH0(n=1 . 2 .) 且B#0時 .lim,Mpc yn B定理 5 如果用 x)工取 x).而 lim 申 (x)=a . lim 屮 (x)=b . 那么 a 戲,例 1 求 lim (2 x _1)x _1解 : lim (2x _1)=lim 2x- lim 1 = 2 lim

7、x -1=21_1=1.x_1x_1x_討論：若P(x) 二 a°xn ex" 丄：卜0 必 4 則 lim P(x) 二？提示：lim P(x) =lim (a0xn) Tim (an ) 亠亠lim (anx) Tim anx_Qx _o0 0x_ o二 a。lim (x n ) a 1 lim (x n ) 亠亠 an j lim x lim a nJXoJXoJXojxo=a0( lim x) n a1( lim x) n亠亠 an) =a oxon a 1Xo n，an= P(x o),x jx ox=xo若 P(x) =a 0xn a n 亠亠 an 則 lim

8、 P(x) =P(x 0),xo例 2 求 x 嗖去曇 解： xxTlimy Sx+S)lim(x 3-1)x 迄3-(1)3-1lim x 3 -lim 1-523二 23-1X (lim x) 2_22-1o 3lim x 2 -5lim x lim 3X 2 2x .2提問：如下寫法是否正確?x3 -123 -1 =_7x2 -5x+3 xm x2 -5322斗03_3'代(x 3-1)5xlim(2 3-1)322x_1 x 5x 3 lim(xx_ 2 _limlim(2 2 -10 3)x_ 2 3)X-?x_ 2例 3，求 lim x2 3x 3 x -9xx-3lim

9、1解：！哩興 =凹（ 滬迥丘二 xT3例 4?求須是民 解： x 烏冷貯 巴 02x_3根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得四x2 -5x 4提問：如下寫法是否正確?lim2xlim (2x 23)2312X，x-5x 4 Jim (x-5x 4) 0討論有理函數(shù)的極限lim 殛二 ?x0 Q(x)提示當 Q(x oT 時? xmiQS-QSt當 Q(X o ) =0 且 P(X o ) =0 時 lim 少 "X TX) Q(x)當Q(x o)=P(X0) =0時 . 先將分子分母的公因式(X-X0) 約去3x 3 4x 2 2例 5 求 吧；： 7 乂 3 5x 2- 3解：先用 x3 去

10、除分子及分母 . 然后取極限3+4 +23x3 4x 2 2x x3lim32lim x j ： ：7x5x -3 x j ： ：7 , 5 3x x3例 6 求 xim；S 害解：先用 x3 去除分子及分母 . 然后取極限3_2_ 丄=limx! =Q =0-x2 5 x_* 2 丄2x x 3例 7 求 xim；S 害，3x 2 2x解：因為 xim ：_：1 2xt= 0 ?所以lim 2X-5 =X=. . 3x 2 _2x _1討論lim agxa 1xn . .+a n xim ：有理函數(shù)的極限boxm b1xm - bm提示n ：a0xn +玄必 2 + +%：mxim ；:b0

11、xm 亠 Ex m亠bon =m亠 boO例 8 ,求 lim .xC x解：當 Xr ： : 時 . 分子及分母的極限都不存在. 故關(guān)于商的極限的運算法則不能應(yīng)用?因為沁J sinx . 是無窮小與有界函數(shù)的乘積x x所以 lim 沁 =0 .x定理 8( 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則) 設(shè)函數(shù) y=fg(x) 是由函數(shù) y=f(u) 與函數(shù) u=g(x) 復(fù)合而成 fg(x) 在點 xo 的某去心鄰域內(nèi)有定義. 若 lim g(x) 二 u0 . lim f(u)=A . 且在 xo 的某xou_ji 0去心鄰域內(nèi) g(x)u 0. 貝 Vlim fg(x) = lim f(u) =A .xx)

12、u0定理 8( 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則) 設(shè)函數(shù) y=fg(x) 是由函數(shù) y=f(u) 與函數(shù) u=g(x) 復(fù) 合而成fg(x) 在點 X的某去心鄰域內(nèi)有定義，若 g(x) > u (x ；X) . f(u) ；A(u ； u).且在 X0的某0°00去心鄰域內(nèi) g(x)=u 0.則lim fg(x) = lim f(u) =A ,X:X 0u u 0簡要證明 設(shè)在x|0 ： |x%| ： 0內(nèi) g(xp-u0要證0- >0當0： |x 夕 0 卜：有 |fg(x ) -A| : ：:時因為 f(u) A(ur u ) 所以 -0 0 當 0 巾 70 卜： 時 有|f(u)-A| ：°又 g(x)ru (x >X). 所以對上述當0：°0取 n|x-1° 則當 0”： |x%| ： 時 0<|g(x)-u |：X0|：1 時有 |g(x)-u°|：從而把定理中l(wèi)im g(x) =比 換成 lim g(x)= ：: 或 lim g(x) mxX Qx jxox _,而把 lim f(u) =A 換成 lim f(u) =A