2017年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編：圓錐曲線

1、4 同理AF丄， .AB 亠 1 -cos 日 sin2日 2P 2P cos2 J 而 y2 =4x，即 P =2 . 2017年高考試題分類匯編之圓錐曲線（理數(shù)） 解析 一、 選擇題 1 二、 填空題 3 三、 大題 5 、選擇題 【浙江卷】 2 橢圓 y -=1 的離心率是 9 4 A. B 2 5 3 .3 3 【解析】e 9二4 ,選 B. 33 2 2 【全國1卷（理）】10.已知 F 為拋物線 C: y2=4x 的焦點，過 F 作兩條互相垂直的直線 li, 12,直線 li與 C 交于 A、B 兩點，直線 12與 C 交于 D、E 兩點，則 AB|+|DE|的最小值為（） B.

2、14 C. 12 D . 10 【解析】 設(shè) AB傾斜角為.作 AK1垂直準線， AK2垂直 x軸 COST - GF = AK1 （幾何關(guān)系） AF COS8+P=|AF AF 易知 AQ = AF （拋物線特性） GP =P 2 =P 又 DE 與AB垂直，即 DE 的傾斜角為 sin2 尹 / 1 AB DE =2P 喬 =4sin2F cos 二 COS _4 sinJcosJ _sinJcosH 4 丄 sin 22T| 4 4 爲、16，當-n取等號 即 AB| -.DE 最小值為 16，故選 A 2 2 X y 】9.若雙曲線 C: 2 =1 ( a 0 , b 0 )的一條漸近

3、線被圓 a b B. C. 三 A. 3 3 3 【全國n卷 （理） 2 2 x-2 y -4所截得的弦長為 2，則C的離心率為（） B. .3 C. 、2 2*3 V 【解【解析】取漸近線，化成一般式 a bx ay 二 0 , 圓心 2, 0 到直-2 2 a b Q Q Q 得 c =4a , e =4=4 , e=2. 【全國III卷（理）】5.已知雙曲=1（a0,b0）的一條漸近線方程為y冷x, 且與橢圓 2 2 x_丄 =1有公共焦點，則 C 的方程為 x2 1 A. 8 10 2 2 x y B. 1 2 x C. 5 =1 D. 2 2 x y 1 1 3 【解【解析】雙曲線的

4、一條漸近線方程2 2 又橢圓誇.計與雙曲線有公共焦點，易知 c=3, 由解得 a =2,b = .5，則雙曲線 C 的方程為 2 2 汽=1， 故選 B. 【全國III卷（理）】10.已知橢圓 C: 2 2 令2=1 , A1, A2, 且以線段 A1A2為直徑的圓與直線 bx-ay 2ab = 0相切，則 C 的離心率為（） 【解【解析】以 A1A2為直徑為圓與直線 bx-ay，2ab=0 相切，.圓心到直線距離d 等于半徑, 2 2 2 2 c，可得 a =3 a c j,即 c -e =_ a 3 2 2 【天津卷】（5）已知雙曲線 篤_爲=1心0,b 0）的左焦點為F,離心率為 2 若

5、經(jīng)過F a b 和P（0,4）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（ 2 2 2 2 2 2 2 2 xy“xy“xy“xy “ A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 4 8 8 4 8 8 4 4 x2 【解【解析】由題意得a = b, = -1劉c = 4, a = b = = 1 ,故選B. c 8 8 、填空題 【全國1卷（理）】15.已知雙曲線 C: q =1（ a0 , b0）的右頂點為 A，以 A 為圓心, a2 b2 心率為 【解【解析】如圖, OA 二 a , AN 二 AM =b |2ab d a .a2 b2 又 a 0,b 0，則上式可化簡為 a2

6、 2 =3b c2 2 x2 -2 b 為半徑做圓 A,圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于 M、N 兩點.若/ MAN=60 貝 U C 的離 T . MAN =60 ，二 AP = OP = J|OA|2 -|PA2 = 【解析】y =8x則 p =4，焦點為 F 2 ,0，準線I :x = -2， 如圖，M為F、N中點， 故易知線段BM為梯形AFMC中位線， CN =2 , AF =4 , ME =3 又由定義 ME| |MF , 且 MN| |NF , NF| |NM|MF =6 2 【北京卷】（9）若雙曲線 x2-1=1 的離心率為 J3，則實數(shù) m= _ m OP -3-2 2

7、二 2 y =8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長 線交y軸于點N 若M為FN的中點，則 FN 2 b 2 【全國2卷（理）】16.已知F是拋物線C： 【解 2 X 2 【江蘇卷】8在平面直角坐標系 xOy 中,雙曲線 y =1的右準線與它的兩條漸近線分別 3 父于點 P,Q，其焦點是F1 , F2，則四邊形 F1PF2Q的面積是 【解析】右準線方程為X善3110漸近線為 yjx，則P V30 C 燉 10 2 2 【山東卷】14在平面直角坐標系 xOy 中，雙曲線 篤_占=1 a 0,b . 0的右支與焦點為F a b 的拋物線 x2 =2px p 0 交于 AB 兩點，若 AF| -|BF

8、 =4 OF，則該雙曲線的漸近線方程 為. 【解析】丨川鬥【解析】丨川鬥+ + | |盯冃八盯冃八#+*+#+*+彳彳= =4彳彳=”+$=”+$嚴護嚴護, , r q f _ V* _ 2 _ 因為因為 / / b b n n7戸幾戸幾2專專= =Q二二，所以，所以J J +a = - = = a = 2b2b 漸近譽肪程漸近譽肪程 T T a a x x = 2 py= 2 py 二、大題 （1 ）求 C 的方程； （2）設(shè)直線 I不經(jīng)過 P2點且與 C 相交于 A ,B 兩點.若直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為-1, 證明：I過定點. Q（警，容），F(xiàn)1（-麗），F(xiàn)2（屈），則

9、S-近沢鬻二川 【全國I卷（理）】20. （12 分）已知橢圓 C: 2 2 a2 b2 =1 (ab0),四點 P1 (1,1), P2 (0,1), P3(-1J3 ),P4( 1 1 旦 2 2 中恰有三點在橢圓 20解：（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過 P3、P4 又 F4橫坐標為 1,橢圓必不過 R,所以過 P2 , P3 , P4三點 當 斜 率 不 存 在 時 得 m =2，此時 I過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足. 當斜率存在時，設(shè) I ： y =kx b b =1 A N，%，B x2 , y2 y kx 亠 b 聯(lián)立 x24y2_4=0，整理得 1 4k2 X2 8kbx

10、4b2 斗0 2 8kb 4b -4 為 X2 2 ,為 X2 : 1 4k2 將 F2 (0 , 1 ), F3 -1，耳 代入橢圓方程得 b2 =1 ，解得 b2 =1 橢圓 C 的方程 為： 2 X 2y I :x =m，A m， yA ， B m， kp,A kp2B 一、A yA _1 -yA -1 -2 m mm 2 1 4k kP2A kP2B y1 -1 X1 y2 -1 X2 x2 kx1 b -x2 x1 kx2 b -x1 X1X2 8kb2 - 8k -8kb2 8kb 2 1 +4k_ 2 4b -4 1 4k2 8k b -1 4 b 1 b -1 又b =1= b

11、 - -2k -1，此時厶二-64k，存在 k 使得 0 成立. 直線 I的方程為 y =kx -2k -1 當 x =2 時，y = -1 所以 I過定點 2 , -1 .【全國II卷(理)】20. (12 分)設(shè) O 為坐標原點, 動點 M 在橢圓 C: 2 X 2 y =1上，過 M 做 x 軸的垂線，垂足為 2 N,點 P 滿足 NP = 2NM . (1)求點 P 的軌跡方程； T T 設(shè)點 Q 在直線 x=-3 上，且OP PQ =1.證明：過點 P 且垂直于 OQ 的直線 I過 C 的左焦 點 F. .解：設(shè) P(x , y)，易知 N(x , 0) 由已知：OP PQ =(xp

12、 , yp) (一 3 一 yp , yQ yp) =1 , OP OQ-OP 方 OQ_OP2=i, 二 Xp XQ ypyQ 二-3xp =3 . 設(shè)直線OQ : y憐, 因為直線l與IOQ垂直. 故直線I方程為 y = ( - xp) yp , yQ 令 y =0，得ypyQ =3(x -Xp)， 1 一 3 ypyQ 二 x xp, 3 3yp yQ xp， ypyQ =3 3xp , x - -(3 3xp) Xp - -1 , 3 右 yQ =0，貝U -3xp =3,冷=一1, yp = 1 , 直線 OQ 方程為 y =0，直線l方程為 x = -1，直線l過點（-1 , 0）

13、，為橢圓C的左焦點. NP =(0 , y)又 NM y 盪OPOQ-OP 又M在橢圓上. 設(shè)點 Q(； , yo), P(xp , yp) , (yQ =0), 【全國III卷（理）】20. （12 分）已知拋物線 C: y2=2x,過點（2,0）的直線 l 交 C 與 A,B 兩點，圓 M是以線段 AB 為直徑的圓. (1 )證明：坐標原點 0 在圓 M 上; (n)求證：A 為線段 BM 的中點. 2 1 2 (2)設(shè)圓 M 過點 P (4, 解:(1)顯然，當直線斜率為 設(shè) l : x = my 2 , jy2 =2x |x =my 亠 2 -2),求直線 I與圓 M 的方程. 0 時

14、，直線與拋物線交于一點，不符合題意. A(x ,yi), BX, y2), 聯(lián)立: 得 y - 2my - 4 =0 , 4 m2 uir uuu OA OB 16 恒大于 0 , % y2 =2m , y2=-4 = X1X2 河2 =(m% 2)( my2 2) 2 =(m 1)yy2 2m(y y2) 4 2 八 -4(m 1) 2m(2m) 4=0 ULT ULU 二 OA _OB，即 O 在圓M上. ULU ULT 若圓M過點P，則 AP BP =0 區(qū)-4)(X2 -4) (y 2)( y2 20 (m% -2)(my2 -2) (% 2)仏 2) =0 2 (m 1)% y2 -

15、 (2m - 2)(y1 y2) 8 =0 2 1 1 當 m 時，l:2x，y-4=0 圓心為 Q(x,y), 2 y1 +y2 1 1 丄 c 9 y0 , X。 y 2 二 2 2 2 4 半徑 yoQ|=. 4 9 2 1 2 85 則圓 M :(x )2 (y )2 : 4 2 16 當 m =1 時，l:xy2=0 圓心為 Q(xo,y), y y - y2 y 冷 2 ，xe =y 2=3 , 半徑 r =|OQ 32一 12 則圓 M 【北京卷】(18) 2 2 :(x -3) (y -1) =10 (14 分)已知拋物線 C： y2=2px 過點 P(1,1).過點(0, 1

16、 )作直線 交于不同的兩點 M,N，過點 M 作 x軸的垂線分別與直線 OP、ON 交于點 A,B, I與拋物線 C 其中 O 為原 占 八(I)求拋物線 C 的方程，并求其焦點坐標和準線方程; (I)把 P (1,1)代入 y2=2Px 得 P=2 - C:y2=x,(18)解: 焦點坐標(-,0),準線：X=-1 4 4 , 1 -k 田 X1 +X2= , X1X2 = k2 4k 1 -k k 2 上式=2kx 冷一=2kxi亠1 -k 2x. = 2為 A 為線段 BM 中點. 2x - 4k X1 2 【江蘇卷】17.(14 分)如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，橢圓E :篤+上

17、 a 1 的左、右焦點分別為 F1, F2，離心率為，兩準線之間的距離為 8.點 P 在橢圓 E 上，且位 2 于第一象限，過點 F1作直線 PF1的垂線,過點 F2作直線 PF2 的垂線 d (1) 求橢圓 E 的標準方程； (2) 若直線，I?的交點 Q 在橢圓 E 上，求點 P 的坐標.(n)設(shè) I: y=kx+ , A (X1, y1), y2 B(X2, y2), OP: y=x, ON: y= - x , X2 由題知 A(Xi, Xi), B(xi, X2 X2 1 y kx 2二 2 y =x 2 2 kx + (k-1) 1 X+4=0， 1 -k X1+X2= k2 Xi

18、1 X2= 2 . 4k2 % X2 x b0) b2 2 2 聯(lián)立得a=2,c=1 , b=,J3，故橢圓 E 的標準方程為 Z卜丄 4 3 (2)設(shè) P(x,y)，則 xO,yo 0，由題意得 J y = (x|i) x x yo ，整理得- i-x2， y-；o yo 2 2 2 2 2 點P(Xo,yo)在橢圓E上，訃彳，3二寸，7必，故點 4 47 3 肝 的坐標是(卡一，一). 【江蘇卷】B選修 4-2 :矩陣與變換(本小題滿分 10 分) 已知矩陣 A=，B=. 求 AB; 2 2 若曲線 Ci； L =1在矩陣 AB 對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線 C2，求 C2的方程 (2)設(shè)

19、P(Xi, yi)是曲線Ci上任意一點，變換后對應(yīng)的點為 Xi i oy* 8 2 .解：(1 1)AB=. 【山東卷】(21)(本小題滿分 13 分) (I)求橢圓E的方程; (H)如圖，動直線 I : yrkix-仝交橢圓E于A,B兩點，C 是橢圓E上一點，直線 OC 的 2 斜率為 k2，且 kik , M是線段 0C 延長線上一點， 且 MC : AB =2:3 , L M 的半徑為 MC , OS,OT是 L M 的兩條切線，切點分別為S,T.求.SOT 的最大值，并求取得最大值時 所以 a =和 2, b =1 ,2 2 ，因為P(xi,yi)在曲線Ci上，所以x y =8 即曲線

20、 C2的 在平面直角坐標系 xOy 中，橢圓E : 2 2 a2 b2 =1 a b 0 的離心率為 2，焦距為2 . 2 (21)解：(I)由題意知 2c =2 , 直線 l 的斜率. 2 因此橢圓E的方程為分 yj (H)設(shè) A xi,yi ,B X2,y2 , 得腑2田 2履4愿必1 =0 , 由題意知.: .0 , 且 xKx2 = 2 2 3ki 1 2ki2嚴必八2 2kj i 所以 |AB| =kT|xi X2 72 ki . 2ki2 i 2 8ki 所以 =4| 得 x-8kT, y2 =匸， -4k,2 i 片 4k； 因此 |OC|=Jx2fy2 =q 8ki2 包 4k

21、j . 聯(lián)立方程 g 一、3, 2 2 y2=1, 由此直線 OC 的方程為 y述x 4ki 3 3近 2 1 +2k1 -4 7 傭4心週訐 因此仝 OT 蘭 2 6 所以 fSOT最大值為-. 綜上所述： .SOT 的最大值為 ，取得最大值時直線 l 的斜率為 k1 = _ 2 3 2 【天津卷】(19)(本小題滿分 14 分) x2 y2 1 設(shè)橢圓 2 =1(a b 0)的左焦點為F，右頂點為 A，離心率為 已知A是拋物線 a b 2 1 y -2px(p 0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線I的距離為一. 2由題意可知 sin SOT r |OC 因此 OC r 當且僅當 r2，即心時等號成

22、立，此時k；2， 3 t 2 2t2 t -1 1 (I)求橢圓的方程和拋物線的方程; (II)設(shè)I上兩點P , Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點 B ( B異于點A )，直線BQ 與x軸相交于點D若 APD的面積為上6 ,求直線AP的方程. 2 (19)(1)解：設(shè)F的坐標為(_c,0).依題意，c=1 , P=a , a 2 2 1 c , P = 2 , 2 于是 b2 =a2 c2 4 (IQ解：設(shè)直線解：設(shè)直線 W W 尸尸的方程為的方程為* * 吩一吩一 1(呵呵h 0),與育線與育線 啲方程啲方程x二二-1聯(lián)益, ,可得點可得點尺尺 7 7 丄丄) ), ,故故 w 與與

23、+ +竺二竺二 1 麻麻 N N 消去 S 整理得整理得(3m(3m: :+4)y+4)y: : + 6mi + 6mi =0,=0,解得解得 0.或或 m m 3 3 由點由點占異于占異于點且，點且，可得可得點丹點丹( (蘭匸蘭匸二丁竺二丁竺_)_)由由0(7二二) )，可得，可得直線月直線月Q的方程再的方程再 3 m* +4 3 冊冊* * 3附附+ + 4 m m +lXy+lXy- -i i=0,=0,令令=0,解侍解侍工二工二 一一 故故D D 衛(wèi)衛(wèi)) )一所以一所以 Sm +4 m m jm +4 w： im +1im +1 Sm + 2Sm + 2 j 話展因為的面積為些故$琢 3nr3nr- -2y/6 m2y/6 m +2 = 0 ,禪得禪得 m m =- -, ,所以懵所以懵=歡歡 3 J- 所以，直線 AP的