數(shù)列與不等式綜合-專題教師用

1、數(shù)列與不等式交匯題型的分析及解題策略【命題趨向】數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查主要考查知識重點和熱點是數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數(shù)學視野的廣度和進一步學習數(shù)學的潛能.近年來加強了對遞推數(shù)列考查的力度，這點應當引起我們高度的重視.如08年北京文20題（12分）中檔偏上，考查數(shù)列與不等式恒成立條件下的參數(shù)問題、08年湖北理21題（12分）為中檔偏

2、上，考查數(shù)列與不等式交匯的探索性問題、08年江西理19題（12分）中等難度，考查數(shù)列求和與不等式的交匯、08年全國卷I理22（12分）壓軸題，難說大，考查數(shù)學歸納法與不等式的交匯，等等預計在2009年高考中，比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會出現(xiàn)數(shù)列解答題的命題熱點是與不等式交匯，呈現(xiàn)遞推關系的綜合性試題 其中，以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體，有著高等數(shù)學背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個新的亮點，而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應用性解答題【考試要求】1 理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式 寫出數(shù)列的前幾項.2

3、理解等差數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。4 理解不等式的性質及其證明.5.掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用.6 掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.7 掌握簡單不等式的解法及理解不等式丨a-4 I b | w|a+b丨w | a | + | b I8.掌握數(shù)學歸納法證明不等式的基本方法與步驟?！究键c透視】1 以客觀題考查不等式的性質、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯2以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列

4、與不等式的交匯，還有可能涉及到導數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明（主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學歸納法、反證法）和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學思想，試題新穎別致，難度相對較大3將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進行考查，主要考查轉化及方程的思想【典例分析】題型一求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題求得數(shù)列與不等式綾結合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：（1）若函數(shù)f（x）在定義域為D,則當x D時，有f（x）恒成立=f（x）min >M； f（x） w恒成立W f（x）max<M； （2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等

5、式， 再通過解不等式解得1 11【例1】等比數(shù)列an的公比q> 1，第17項的平方等于第24項，求使a1 + a?+ an>+二+：恒a1 a2an成立的正整數(shù)n的取值范圍.【分析】利用條件中兩項間的關系，尋求數(shù)列首項a1與公比q之間的關系，再利用等比數(shù)列前n項公式和及所得的關系化簡不等式，進而通過估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】由題意得：（a1q16）2= a1q23,. a1q9= 1.則須容 > 呼,q把a2= q"代入上式并整理，得q_18(qn-1) > q(1 -扌),由等比數(shù)列的性質知：數(shù)列1 1 1了是以1為首項，以1為公比的等比數(shù)列，要使不

6、等式成立,qn>q19,v q> 1,. n> 19,故所求正整數(shù)n的取值范圍是n20.【點評】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡，用不等式知識求 得最后的結果.本題解答體現(xiàn)了轉化思想、方程思想及估算思想的應用【例2】（08全國H）設數(shù)列an的前n項和為S.已知a1 = a, an+1 = Sn + 3n, n N* （I ）設bn= Sn 3n,求數(shù)列bn的通項公式；（n）若an+1n, n N*，求a的取值范圍.【分析】 第(I)小題利用Sn與an的關系可求得數(shù)列的通項公式；第(H)小題將條件an+i >a轉化為關于n與a的關系，再利

7、用aw f(n恒成立等價于a< f(nmin求解.【解】(I )依題意，Sn+1 Sn = an+i= S1+ 3n，即 Sn+1 = 2Sn+ 3n,由此得 S+1 3 n+1= 2(Sn 3n).因此，所求通項公式為bn = Sn 3n= (a 3)2 nJ, n N*,(H )由知 Sn = 3n+ (a 3)2 n，n N* ,于是，當 n2時，an= Sn Snj = 3n+ (a 3)2 nJ 3nJ (a 3)2 n'= 2x3+ (a 3)2 n，an+1 an= 4x3+ (a 3)2 n_2= 2 n_212(2)2 + a 3,當 n2時，an+i，即 卩

8、2 n_2 12 () + a 312 () + a 3>0, a A 9 ,綜上，所求的a的取值范圍是9,+.【點評】一般地，如果求條件與前 n項和相關的數(shù)列的通項公式，則可考慮Sn與an的關系求解本題求參數(shù)取值范圍的方法也一種常用的方法，應當引起重視題型二 求數(shù)列中的最大值問題求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值； (2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調性，然后確定最值；利用條件中的不等式關系確定最值【例3】 【分析】等關系確定公差【解】(08四川高考)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S4> 10

9、 SsW 15則 根據(jù)條件將前4項與前5項和的不等關系轉化為關于首項d的范圍，由此可確定 a4的最大值.等差數(shù)列an的前n項和為S,且 S4> 10 S5W 15a4的最大值為.a1與公差d的不等式，然后利用此不.4X3S4= 4a1 + d > 10，即*5X4 'i &= 5a1 + -d w 15a1 + 3d _ a + 2dw3,5 3da4= a1+ 3d> ? + 3d=?a4= a1 + 3d = + 2d) + dw 3 d5 + 3d1.5 + 3d waw + d，貝U 5+ 3d W6 2d,即卩(d是解答的關二a4<3+ d W

10、3 1 = 4,故a4的最大值為 4.【點評】本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關系來求最值的，其中確定數(shù)列的公差鍵，同時解答中要注意不等式傳遞性的應用1【例4】 等比數(shù)列an的首項為a1 = 2002，公比q=夕(I )設f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表 達式；(H )當n取何值時，f(n)有最大值.【分析】第(I )小題首先利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列an的通項，再求得f(n)的表達式；第(H )小題通過商值比較法確定數(shù)列的單調性，再通過比較求得最值.11 Mn1)【解】(I )an= 2002 ( J，f(n) = 2002n (刁 2(H )由(I )，得晉于=勞，則|

11、f(n + 1)|2002|f(n)|= > 1， |f(11)| > |f(10)| >> |f(1)|，|f(n + 1)| = 2002,."八、y y|f(n )| _ 一、f(10) v 0,12 1 66.血 2002(2)'f(9)當nw 10時,當n11時,/ f(11) v 0,丁 v 1,. |f(11)| > |f(12)| > |f(13)| > ，f(9) > 0, f(12) > 0 , f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者.3 1 302002 3.20029 1 36 = 200

12、2 (1)= ” 1,當 n= 12 時，f(n)有最大值為 f(12) = 200212(66.【點評】本題解答有兩個關鍵：(1)利用商值比較法 確定數(shù)列的單調性；(2)注意比較f(12)與f(9)的大小.整個解答過程還須注意f(n)中各項的符號變化情況.題型三求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結論成立， 以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到否定”的結論，即不存在若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結論，即得到存在的結果【例5 f(n)的最大值為f(1) = -, f(

13、n)的最小值為f(2) = 9,3 9】已知an的前n項和為Sn,且an+ Sn= 4.(1 )求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(II )是否存在正整數(shù)k,Sk+1 2使S_2 >2成立.【分析】第(I )小題通過代數(shù)變換確定數(shù)列an+i與an的關系，結合定義判斷數(shù)列為為等比數(shù)列；而第(I)小題先假設條件中的不等式成立，再由此進行推理，確定此不等式成立的合理性【解】(I )由題意，Sn + an = 4, Si+i + an+i= 4,、 1 由兩式相減，得(Sn+i + an+i) (S+ an)= 0，即 2an+i 為=0, a*+i= ga又2a1 = 3 + a1 = 4,. a1=

14、 2,.數(shù)列an是以首項a1= 2,公比為q=2的等比數(shù)列.1 n 21 -(2)(n )由(I )，得 Sn=1= 4 2.1| 21又由號+1 c2>2,得 4_>2，整理，得 2v 21上v 1, 即卩 1 v 2 k"v3,Sk 24 2 232- k N* , 2kJ N*，這與2kJ (1 , |)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點評】本題解答的整個過程屬于常規(guī)解法，但在導出矛盾時須注意條件“ N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.2【例6】(08湖北咼考)已知數(shù)列an和 bn滿足：a1 =人a*+1 = 3/ + n 4, bn= ( 1)

15、n(an 3n + 21)，其中入為實數(shù)，n為正整數(shù).(I)對任意實數(shù)人證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；(I)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；(川)設0v av b,Sn為數(shù)列bn的前n項和.是否存在實數(shù) 人使得對任意正整數(shù) n ,都有avSn v b?若存在，求 入的取值范圍；若不存在，說明理由【分析】第(I )小題利用反證法證明；第(I)小題利用等比數(shù)列的定義證明；第(川)小題屬于存在型問題，解答時就假設av SnV b成立，由此看是否能推導出存在存在實數(shù)入.【解】(I)證明：假設存在一個實數(shù)入使an是等比數(shù)列，則有a22= a1a3，即(| 1 3)2=入(4)=4 f 4入+

16、9 = £笊4 7 9= 0，矛盾，所以an不是等比數(shù)列.n+1(I )解：因為 bn+1 = ( 1) a n+1 3(n + 1) + 212 2 2=(1)n+1(3a n 2n +14) = 3 (-1) n(a n 3n 21)=卻 n,又 b1 = ( + 18)，所以當f= 18時,bn= 0(n N*)，此時bn不是等比數(shù)列；當入工18時，b1= ( + 18)工0由上可知bnQ 嚴=3(n N*).2故當入工18時，數(shù)列bn是以一(+ 18)為首項，一-為公比的等比數(shù)列.(川)由(1)知，當18, bn= 0(n N*) , 5= 0,不滿足題目要求；.232入18

17、,故知 bn= ( + 18) X 3)nU，于是 Sn = 5( + 18) 1 ( 3)n3 2要使 av SnV b 對任意正整數(shù) n 成立，即 av 5( + 18) 1 ( §)nv b, (n N*).5當n為正偶數(shù)時f(nv 1 ；a3b得 廠 v 5( + 18) v , (n N*)1 ( 了1 ( J25令f(n) = 1 ( 3)n，則當n為正奇數(shù)時，1 v f(n)召533于疋，由 式得 9aV 5（甘 18） V 5b, b 18 V XV 3a 18,（必須一bV 3a,即 b > 3a）.當aV b _3a時，由b 18 3a 18,不存在實數(shù)滿足

18、題目要求；當b>3a存在實數(shù) 入，使得對任意正整數(shù) n,都有av SnV b,且入的取值范圍是（b 18, 3a 18）.【點評】存在性問題是指命題的結論不確定的一類探索性問題，解答此類題型一般是從存在的方面入手，尋求結論成立的條件，若能找到這個條件，則問題的回答是肯定的；若找不到這個條件或找到的條件與題設矛盾， 則問題的回答是否定的其過程可以概括為假設 一一推證一一定論.本題解答注意對參數(shù) 入及項數(shù)n的雙重討論.題型四數(shù)列與不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：（1）比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；（2）分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；（3）放縮法

19、，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的（ 4）數(shù)學歸納法。（1 ）用基本方法證明數(shù)列不等式：【例7】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn, a3= 7, £= 24. （I ）求數(shù)列an的通項公式；（n ）設p、1q都是正整數(shù)，且 P為，證明：Sp+qV 2（S2p + 5q）.n項公式和建立方程組即可解決第 （I ）小題；第（n ）【分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項公式及前小題利用差值比較法就可順利解決【解】（I）設等差數(shù)列an的公差是d，依題意得,a1 + 2d = 74卄=24，解得、ai= 3 d = 2，數(shù)列a*的通項公式為 an=

20、a1 + （n 1）d = 2n+ 1.（n）證明：T an= 2n+ 1 ,. Sn= “但；-=n2 + 2n.22222Sp+q （S2p + S2q） = 2（p + q） + 2（p + q） （4p + 4p） （4q + 4q） = 2（p q）,1 p 為，2Sp+q （S2p+ £q） V 0 ,. Sp+q V 2（S2p+ Eq）.【點評】利用差值比較法比較大小的關鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例8】.（06湖南文，20 ）在m （m &

21、gt; 2 ）個不同數(shù)的排列 P1P2Pn中，若 K i V jw m時P> p （即前面某 數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與p構成一個逆序 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)記排列（n 1）n（n -1）321的逆序數(shù)為（I）求a4、a5,并寫出an an 1anan,如排列21的逆序數(shù)a1 -1，排列321的逆序數(shù)a3 =6。 an的表達式；令bnan十，證明 2n :bi b2bn ：2n 3, n=1,2,。（I）由已知得a4 =10,a5 =15 , a.二n (n -1)2 1 二乜 包。2因為3 亠 3 2 n n 2 =2,n",2, an 1 an n 2

22、 nn 2 n所以bi b2又因為bn+bn >2n .nn 亠222n丄二=2 -, n=1,2,nn n 亠2所以b1 bbn =2n 加丄）（丄丄）（丄）1324n n +2綜上，2n : bi b2bn ：2n 3,n =1,2,。（2）用放縮發(fā)證明數(shù)列不等式：22： 2n 3?！纠?】.已知曲線C:xy=1,過C上一點An（xn,yn）作一斜率為kn =1 的直線交曲線C于另一點Xn 2An 1(Xm,yn 1),點列代5 =1,2,3J|)的橫坐標構成數(shù)列Xn,其中為二.(II)求證：23n(-1)X1(-1) X2 (-1) X311( (-1) Xn <1(nN,n

23、 1).11(I)求證：-是等比數(shù)列；Xn 23解：過C:C于另一點An 1，1y上一點An (Xn , yn)作斜率為心的直線交X(-1)X1 (-1)2X2 川(-1)n4Xn4 - (T)nXnXn -1則kn二yn 1 - ynXn 1Xn 1 - XnXn 1于是有：XnXn 1 %2.記an -1 1'* 1則Xn -231 1an 1 + =Xn1XnXn 1- XnX! 1Xn1c/ 12( 232 3Xn 2因為X1 =¥，而a1二Xn1十丄=2云0,為-23=22*4 . 2*<1 1因此數(shù)列 一1是等比數(shù)列。Xn -23(2 )由(1 )可知：an

24、 = (-2)n,則 Xn(-1)臥珂-川2 -當n為偶數(shù)時有:(-1)心人4 (Xn12心3在n為偶數(shù)時有:1 1(1)X1(1)2X2川(1)nXn ： 2 歹 22在n為奇數(shù)時，前n 1項為偶數(shù)列，于是有:1-11.n 12 -3【例10】.已知：X|, x2 ( X|:X2 )是方程x1 2 *ynX1口 , Xn.2 =(5 )Xn 1 . n N .Xnyn(i)求yi, y2, ya的值;(2)設Z yn yn 1，求證:n' zi - 26n ；i 4(3)1 求證：對 F N ”有 | y2n - yn I ：1251-77 w。 .W.26心2解：(1)解方程 X

25、-6x 5 =0 得 Xi =1，X2 =5，宀斜5,X3 =(5 丄)X2 =26 ,x3 y 526<1(一 1)nXn =1 - Xn =1 -(2(2)綜合可知原不等式得證。=25= 135,13526當 n 一 2 時 yn -5，于是 Z1 二 yy = 26, Zn 二 ynyn 1 = 5yn 1 26 ( n-2)1X4 - (5)X3y2X4y3 -X3由 Xn2=(5;)Xn1 得汁5,n 7 ZiN Z2 V Zn - 26ni 31當2時|y2沖5黑，結論成立;12512510當 n -2時，有 I yn 1 - ynH5 丄-(5)F|/二山 p2|yn-yn

26、jynyn 斗ynyn 42612分1 1 1 1'吋1山一*八嘰礦MS飛勞'1 y2n - yn 丨彳 y2n - y2n J ' y2n ± y2n _2，y2n _2 - 丨 I (，yn 1 - yn 1丨 y2n 一 yn 丨yn 1 一 yn 丨 V 丨 y2n J 一 y2n 匸丨'丨 y2n 一 y2n_1 1”11丄m丄1丄11蔦26心 川 262心 2621 (1 1 )126心1 26n(1 26n) 26 1 -5 _丄 125 2626126心12丄.x +a對n N有|y2n卜洛125【例11】.設a a 0,函數(shù)f (x)

27、=(n N )14分1(I) 證明：存在唯一實數(shù)x (0,)，使f (x0) = x0；a(n)定義數(shù)列xn : x! = 0 , xnf (xn), n N .(i)求證:對任意正整數(shù)n都有x2n二:Xo: x2n ；(ii)當 a =2時，若 0：Xk 空1(k=2,3,4,M),證明：對任意m乏N都有： xm4k xk ：(1)證明： f (x)二 x：= x3 ax -1 = 0.3令 h(x)二 x ax -1,則 h(0) = -1 ： 0 ,1 1h()3 0,a a h(0) h(l)：0. a/23又h/ (x) =3x +a >0, h(x)=x +ax1 是 R上的

28、增函數(shù).故 h(x) = x3 ax1 在區(qū)間0,- 上有唯一零點，I a丿即存在唯一實數(shù)0,1使f(x0)=x0.I a丿1 i 1，即 X1 ： X0 : X2 成立; a當 n =1 時，洛=0 , x2 二 f (xj = f (0),由知 x0 ：- 1 0,-a在0上是減函數(shù)，且Xk0,a1設當 n 二 k(k _ 2)時，X2k 4 : x° ： X2k ,注意到 f (x)=x故有：f(X22)* f(X。) f(X2k),即 X2k，X0 Kk1 f(X2k) ： f(X。)： f (X2k 1),即X2k 1 : X0: X2k 2.這就是說，n = k 1時,結

29、論也成立.(11 分)_ 1"2X3 冷X2亠21X2 XX? +：溝111 <1 x2 為9 一丨+2)42414丿2111 匯_彳 2 二近 2)(10分1(2)當 a = 2 時，由為=0 得：x2 = f (xj = f (0)=，x2 為1當 k_2時，:'0：Xk ,2 xk1 -Xk =£ 2 xL 22Xk _xk(斤2)(心2)4kXk丄X.2 <1111X3 -X2 <.-14丿/Xm_ Xk ( Xm 十Xm-k Xm4kXm k J _ Xm k _2Xk XkXk +Xk/Xk _Xk-Xm k 二)(xm k J _ X

30、m k /)川(Xk 1 -Xk) IH 兀1 一兀12分13分4m+m -241,11 ,1 Xk 4 Xk41 k4plXk+ -Xk =【例12】.數(shù)列 an ：是否存在常數(shù)、a14k3 4k14分2_-=1, an 1 =2an -n - 3n（n N ）使得數(shù)列 dn2 3n 是等比數(shù)列，若存在，求出，、丿的值,若不存在，說明理由。設bn1n =b! b2 b'bn，證明：當門一2 時,6n(n 1)(2 n 1):Snan i =2an -n222 2 2 n _2時,Sb! b2 bH ' bn ： 1 (2 -2) (2 -2) 川-) 3n 可化為 an 1

31、- .；，(n 1) " ' (n 1) =2(an r，n2n),（2分）（4分）即 an 彳=2an ，n2-2 )n _，- '丸=-1竹 彳扎=1 故岸-2人=3解得丿卩=12 2 2 an1=2an-n3n可化為 a. 1 -(n 1) (n 1)=2佃7n) (5 分)又 a1 -121=0 (6 分)故存在& = _1,卩=1 使得數(shù)列 匕n +kn2 +卩n 是等比數(shù)列 (7分)證明：由得 務 - n2 n =(a12 1) 2nd /. an =2n' n2 - n ,11故bn一市2 (8分)an + n -2n.14422T bn

32、222 (9 分)n 4n 4n -1 2n -12n 12 25=1 -3 2n +13現(xiàn)證Sn竺(n _ 2).(n +1)(2 n +1)1245當 n =2 時Sn =b1b2 =1 1 =-,而 竺4 4(n +1)(2 n+1)3x5(故n =2時不等式成立 1111 /曰2得n2 n(n1)n n1111111bn(1-£)(1-1)(1-J)22334n. 6 ，且由2n 1 6得1 -2n +1當n _3時,由bnSn = b1 b2b3=1 一丄n +1 n +1c n二 Snn +1 (n +1)(2 n +1)6n54,4512分)(14 分)【例13】.已知

33、數(shù)列an、bn中，對任何正整數(shù)n都有:ag +a2bn+a3bn< + 川 +a.並 +and =2n+ -n 2 .(1)若數(shù)列an是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列;若數(shù)列bn是等比數(shù)列，數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由;(3)若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列n 13bn是等比數(shù)列，求證：Vyab 21.本小題滿分13分）解：1）依題意數(shù)列的通項公式是%*故等式即為+ 入 + 3也+十血_十片殲二才黒_旳_ 2,同時有也十觀2十兔T十十（科一 2）2 + （«-1） = 2" - wI«> 21,兩式木冃

34、減可得毎+2+'*十爲 +玄二腎一1 2 分可得數(shù)列如的通項公式是氏二嚴，知數(shù)列©是首項為h公比為2的等比數(shù)列。？分2）設竽比數(shù)列偽）的首項為務 公比為I則耳十叫 從而有1珂 H占？"£勺 +&"込 + +占？務一1二 2*+T -n-2 ,又 bqna1 bqn"a2 bqn*a3 |lba*=2n - n T n 一2 ,故(2n _n _1)q ban =2n 1 _n _2十亍2寧n ¥，要使an 1 - an是與n無關的常數(shù)，必需q = 2 ,即當?shù)缺葦?shù)列bn的公比q = 2時，數(shù)列an是等差數(shù)列，其通項公式

35、是nan 二b當?shù)缺葦?shù)列bn的公比不是2時，數(shù)列an不是等差數(shù)列.由(2) 知 anbn = n 2nab.丄丄233 24 21III -1ab4 2nJn_567 1 (切48 1621一1211 n1j3412161627248 一16【例14】.在數(shù)列an中，a1=1,也an斗 1( n N*)2n（i）試比較anan -2與an 1的大小;（n）證明：當 n 一3時，an 3 2n4 .解：（i）由題設知，對任意 n N *，都有an 0n , n2na. 2 n 12n 11an2n2'an2_ / anan an2 an 亠1 一 (an 1a2)an+ 尸(an 12n

36、n 2nn T 2n 1n 1 2n 12* 1-1)an12anan 2 _ an 1二(1)a 二V 2(n 2n)八12(n 2n).分.63（n）證法1：由已知得，ai =1,a2 ,a32-an 1 nan2n當n 3時,1 1, an 1an,又 a1, a. 1(n 一 2).a(n_12n -41)and十n 1十n 4 an_1an-1n 4an-12n T> 2an 二 a3(a4 -a3) 5 -a4)III (aan)9-4n 14232 mnr1an 一an4n -44 HI.分.10則-Is2-，1Sn -1 _316 2一 TI 2n -1"23

37、1=+_4 49 , an 14n -12* 二,n 1二1 -尹.n 1小3證法2 :由已知得,ai(1)當n =3時,n +1 2“94'.9、3nr = 2，知不等式成立。2nJ4一 _3 -1, a2, a32n 1n A分14k +1假設當n二k(k_3)不等式成立，即ak2k _1kkk 1 k(k 1)ak 1 =( f 1)ak ( k 1)(3 ft) =320222 2c (k+1)+1只需證k(k+1)丄 k22 2 2翁1，則只需證2k k 1(2)，那么要證即證因為k -2Fk 2k2k分10k 01 k 01(k 亠1)亠 12 =Ck +Ck+Ck >

38、;Ck +Ck =k+1 成立，所以 ak卅處-冷爲_i 成立這就是說，當n =k 1時，不等式仍然成立.根據(jù)(-n +11)和(2),對任意n = N *，且n H3 ,都有an >3-一百 1分2【例15】.已知函數(shù)y = f (x )的定義域為R 且對于任意x1,x R,存在正實數(shù)L ,使得f ( X )- f( X)蘭IL為都成立.(1)若f x? = -：21x2 ,求L的取值范圍;(2)當0 L : 1時，數(shù)列 春滿足an1=f an , n =1,2川1.證明:-a2 ;玄丄a?HI ak令Ak 12 k k =1,2,3，川，證明:kS-La a：(1)證明：對任意X1,

39、X< R,有：f(X1 )- f(X2 ) = J1 +xf _(1 + X；、幾 34n 1設S =歹尹34n -1得22xi - x21 Xii 2.iXi / Lx22X2X2x2由 f (為)一 f (X2 j 蘭L % x2 ,即憶一卷站+幼蘭l_X2.x2x；當 X! HX2 時，得 LX_Ji + xi2 +Ji+x；+ x； > Xi , JxT > X2 ,且為 + x2N Xi +X2 ,XiX2£_r-二要使f (% ) f (x2仁L % x2對任意Xi, x R都成立，只要L _ 1.當xi = x2時,f (x<i )- f (x2

40、 匕 L 為x2 恒成立.L的取值范圍是1, :： 證明： a. i 二 f an , n =i,2,Hl,故當 n 王 2時，an-an*= f(an4)-f(an)蘭 Lan an=L f (a ) f (an4 ) < L2 an<anlll < Ln印一a?.6 分n為ak-ak+ =ai- a2+a2- a3 +a3- a4+川：an - an 卅k壬< i L L2 J|l LnJ ai a2 0 : L ： i,i-Lni -Ln送 ak -ak+ 玄k 3-a2 （當n=i時,不等式也成立). Ad a2 Jl|akk- Aai ' a?akka

41、ia2川ak ik+iXi印一a?2 a? a33 a a J | k a ak 1q a2 +2 a2 a3 +3 a3 a4 +川 +k| ak 11分n壬Ak Ak 卅=A1 A2+A2 A3 + 川 +1 An_ An 卅k 4< a1-a2匕+川+2 a2 a3n(n +1)丿 11I 111+3 % 一吋麗+両+川十時山* “可一喇a(chǎn)1 a? . 1、(2 +a _ a31 -)In +1丿1n 1十川斗an -aq _a2aa|+|an am ：1< 11-L（3）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式：N*，其中C為實數(shù).（I ）證明：環(huán) 0 ,an >1-(3c)n_l

42、, n N* ;(川)設 Ov c【例16】（08安徽高考）設數(shù)列an滿足a1 = 0, an+1 = can3+ 1 c, c11對任意n N*成立的充分必要條件是c 0, 1 ； （n股0v cv3 證明：1 2 2 2 2 v ;,證明：a + a： + + 3n > n + 1 , n N*.3121 3c【分析】第(1)小題可考慮用數(shù)學歸納法證明；第( 2)小題可利用綜合法結合不等關系的迭代；第( 3)小題利用不等式的傳遞性轉化等比數(shù)列，然后利用前n項和求和，再進行適當放縮.【解】(I)必要性：T a1 = 0, a2= 1 c,又 Ta2 0, 1,. 0<1- c &

43、lt;1 即 c 0 , 1.充分性：設c 0, 1，對n N*用數(shù)學歸納法證明an 0 , 1.(1) 當 n= 1 時，a1 0, 1.(2) 假設當n= k時，ak 0, 1(k >成立，則ak+1 = cak + 1 c< +1 c= 1，且 ak+1 = cak + 1 c > 1 c > 0 ak+1 0, 1,這就是說 n= k+ 1 時,an 0, 1.由(1 )、(2)知，當c 0, 1時，知an 0, 1對所胡n N*成立.綜上所述，an 0 , 1對任意n N*成立的充分必要條件是c 0 , 1.1(n)設0v cv 3,當n = 1時，a1= 0

44、，結論成立.3當 n>2時，由 an= can J+ 1 1 a“ = c(1 a 4)(1 + an+ Oi J)12 0 v cv 3，由(I )知 an-1 0 , 1，所以 1 + an -1 + °n -1 <3 且 1 an 1>Q - 1 an< 3C( 3n_1), 1 an< 3c( an二)< (3c(1 an-2) << (3()1 a1) = (3c)，an> 1- (3c)2, n N*.12(川)設0 v cv 3,當n= 1時，a12= 0 > 2 廠云，結論成立當 n>2 時，由(n)知

45、 an>l (3c)n > 0 ,- an2> (- (3c)2) 2= 1 2(3c)n*+ (3c)z)> 1 2(3c)n =a/+ a? + + an?= a2?+ + an2> n 1 23c + (3c+ + (3c)“ =n 1 21 + 3c+ (3c)2 + + (3c)n- 1 = n+ 1 21 (3c) >n + 1 1 3c1 3c.【點評】本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學歸納法的知識交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點占有一席之地，復習時應引起注意本題的第(I )小題實質也是不等式的證明，【例17】(2007湖北理21)(本小題滿分14分

46、)已知m, n為正整數(shù).(I)用數(shù)學歸納法證明：當x>-1時，(1+x)m+mx;-.nnm1I 1m ' i' 1 1(H)對于 n >6 已知 1 I £ 丄，求證 1 丨 < '-I , m=1,1,2 , n;ln +3.丿2 in +3 丿2(川)求出滿足等式 3n+4m+(+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.解：(I)證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明：當 x>-1，且 xm 0 時，m >2,(1+x)m>1+mx.(i)當m=2時，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x，因為x

47、豐0,所以x2>0,即左邊 >右邊，不等式成立；(ii)假設當m=k(k>2)時，不等式成立，即(1+x) k>1+kx,則當m=k+1時，因為x>-1,所以1+x>0.又因為xm 0,k >2,所以 kx2>0.于是在不等式(1+x) k>1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x) k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x) k+1>1+(k+1)x,即當m = k+1時，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.111 f 1(h)證：當"山時，(1-土)<

48、;r(1 一土) 而由(I)，(1-人j亠(川)解：假設存在正整數(shù) n0 _6使等式3n0 - 43：；川(n0 2)" =(n0 - 3)n0成立,即有(一3) +(4 )"：；“-：；( 一 )n0 = 1.n0 +3n° +3n° +3又由(H)可得(3) +(4 )2 亠 亠( )n0 = (1 一 n°)n° - (1 -_ 'no .n03n0 3n03n0 3n032n0< 1,與式矛盾,1n01、no 1 no 4 , . 1WE T G 廠1故當n>6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n

49、=1,2,3,4,5的情形； 當n=1時，3m4，等式不成立； 當n=2時，32+42= 52,等式成立； 當n=3時，33+43+53= 63,等式成立； 當n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64m 74,等式不成立; 當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的n只有n=2,3.題型五.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合【例 18】.設函數(shù) f(x) = x2 + bln(x+1),1(1) 若對定義域的任意 X,都有f(x)f(1)成立，求實數(shù)b的值；(2) 若函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù) b的取值范圍；n111(3) 若b = -

50、1,證明對任意的正整數(shù)n,不等式' f (戶1-33 '心k23解：(1 )由 X + 1> 0 得 X> -1 a f(x)的定義域為(-1, + 8 ),對 x ( - 1, + 8)，都有 f(x) > f(1),A f(1)是函數(shù)f(x)的最小值，故有 f (1) = 0,f / (x) = 2x , 2 = 0,x +12解得b= - 4.f /(x)二 2x_ 2x2 2x b-x +1古,1 1 1兀<1k =1又函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，A f/ (x) > 0 或 /(x)< 0 在(-1, + 8 )上恒成立。若 f/ (x) > 0 , x + 1>0 ,A 2x2 +2x+b> 0 在(-1, + 8)上恒成立,2 1 2 1 1即b>-2x -2x = -2(x) 恒成立，由此得b>2 2 2若 f/ (x) < 0, / x + 1 > 0, a 2x2 +2x+bw 0,即 b< -(2x2+2x)恒