平面圖形的幾何性質(zhì)

1、.芃蝕肂膃薂蠆螂荿蒈蠆襖膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃蒅螅袁膈莁螄肅羈莇螃螃芆節(jié)螃裊聿薁螂羈芅蕆螁肀肈莃袀蝿芃艿衿袂肆薈袈羄芁蒄袇膆肄蒀袇袆莀莆蒃羈膂節(jié)蒂肁莈薀蒁螀膁蒆蒁袃莆莂薀羅腿羋蕿肇羂蚇薈袇膇薃薇罿肀葿薆肂芆蒞薅螁肈芁薅襖芄蕿薄羆肇蒅蚃肈節(jié)莁螞螈肅芇蟻羀芀芃蝕肂膃薂蠆螂荿蒈蠆襖膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃蒅螅袁膈莁螄肅羈莇螃螃芆節(jié)螃裊聿薁螂羈芅蕆螁肀肈莃袀蝿芃艿衿袂肆薈袈羄芁蒄袇膆肄蒀袇袆莀莆蒃羈膂節(jié)蒂肁莈薀蒁螀膁蒆蒁袃莆莂薀羅腿羋蕿肇羂蚇薈袇膇薃薇罿肀葿薆肂芆蒞薅螁肈芁薅襖芄蕿薄羆肇蒅蚃肈節(jié)莁螞螈肅芇蟻羀芀芃蝕肂膃薂蠆螂荿蒈蠆襖膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃蒅螅袁膈莁螄肅羈莇螃螃芆節(jié)螃裊聿薁螂羈

2、芅蕆螁肀肈莃袀蝿芃艿衿袂肆薈袈羄芁蒄袇膆肄蒀袇袆莀莆蒃羈膂節(jié)蒂肁莈薀蒁螀膁蒆蒁袃莆莂薀羅腿羋蕿肇羂蚇薈袇膇薃薇罿肀葿薆肂芆蒞薅螁肈芁薅襖芄蕿薄羆肇蒅蚃肈節(jié)莁螞螈肅芇蟻羀芀芃蝕肂膃薂蠆螂荿蒈蠆襖膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃蒅螅袁膈莁螄肅羈莇螃螃 第八章 平面圖形的幾何性質(zhì)在建筑力學(xué)以及建筑結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，經(jīng)常要用到與截面有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截面面積A、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的抗扭截面系數(shù)WP和極慣性矩IP。等都與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度有關(guān)。以后在彎曲等其他問(wèn)題的計(jì)算中，還將遇到平面圖形的另外一些如形心、靜矩、慣性矩、抗彎截面系數(shù)等幾何量。這些與平面圖形形狀及尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質(zhì)第一節(jié)

3、 重心和形心一、 重心的概念地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個(gè)力稱為物體的重力?？蓪⑽矬w看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠(yuǎn)比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空間平行力系。這些平行力系的合力就是物體的重力。由實(shí)驗(yàn)可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn)，稱為物體的重心。二、一般物體重心的坐標(biāo)公式1、一般物體重心的坐標(biāo)公式：如圖81所示，為確定物體重心的位置，將它分割成n個(gè)微小塊，各微小塊重力分別為Gl、G2、Gn，其作用點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1、Y

4、1，、z1)、(X2、Y2、z2)(Xn，Yn、Zn)，各微小塊所受重力的合力W即為整個(gè)物體所受的重力G Gi，其作用點(diǎn)的坐標(biāo)為C(xc，yc、zc)。對(duì)y軸應(yīng)用合力矩定理，有：得 同理，對(duì)y軸取矩可得：將物體連同坐標(biāo)轉(zhuǎn)90o而使坐標(biāo)面oxz成為水平面，再對(duì)x軸應(yīng)用合力矩定理，可得：因此，一般物體的重心坐標(biāo)的公式為：， ，第二節(jié) 靜 矩一、定義任意平面幾何圖形如圖A-1所示。在其上取面積微元dA，該微元在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x、y。定義下列積分： （8-4）分別稱為圖形對(duì)于x軸和y軸的截面一次矩或靜矩，其單位為 m3或mm3。 如果將dA視為垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對(duì)于

5、z軸和y軸的力矩； 和 則分別為dA對(duì)z軸和y軸之矩。圖8-6圖形的靜矩與形心圖形幾何形狀的中心稱為形心,若將面積視為垂直于圖形平面的力，則形心即為合力的作用點(diǎn)。設(shè)z、y為形心坐標(biāo)，則根據(jù)合力之矩定理第三節(jié) 慣性炬、慣性積、慣性半徑一、慣性炬、慣性積、慣性半徑的定義1、慣性炬、平面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖8-9所示。2、慣性積3、慣性半徑：量綱為長(zhǎng)度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義:為圖形對(duì)軸和對(duì)軸的慣性半徑。二、平行移軸公式由于同一平面圖形對(duì)于相互平行的兩對(duì)直角坐標(biāo)軸的慣性矩或慣性積并不相同，如果其中一對(duì)軸是圖形的形心軸時(shí)，如圖8-11所示，可得到如下平行移軸公式：簡(jiǎn)單證明之： 其中為圖形對(duì)形

6、心軸的靜矩，其值應(yīng)等于零，則得：同理可證其它兩式。 第四節(jié) 第四節(jié) 形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念第五節(jié)從式(8-10)的第三式可以看出，對(duì)于確定的點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，隨著角度的改變，慣性積也發(fā)生變化，并且根據(jù)慣性積可能為正，也可能為負(fù)的特點(diǎn)，總可以找到一角度0以及相應(yīng)的x0、y0軸，圖形對(duì)于這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零。為確定0，令式(A-19)中的第三式為零，即：由此解得：或：如果將式(8-11)對(duì)求導(dǎo)數(shù)并令其為零，即： 同樣可以得到式(8-10)或(8-11)的結(jié)論。這表明:當(dāng)改變時(shí), 、 的數(shù)值也發(fā)生變化，而當(dāng)=0時(shí)，二者分別為極大值和極小值。定義：過(guò)一點(diǎn)存在這樣一對(duì)坐標(biāo)軸

7、，圖形對(duì)于其慣性積等于零，這一對(duì)坐標(biāo)軸便稱為過(guò)這一點(diǎn)的主軸。圖形對(duì)主軸的慣性矩稱為主軸慣性矩，簡(jiǎn)稱主慣性矩。顯然，主慣性矩具有極大或極小的特征。根據(jù)式(8-11)和(8-12)，即可得到主慣性矩的計(jì)算式：需要指出的是對(duì)于任意一點(diǎn)(圖形內(nèi)或圖形外)都有主軸，而通過(guò)形心的主軸稱為形心主軸，圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。工程計(jì)算中有意義的是形心主軸和形心主矩。當(dāng)圖形有一根對(duì)稱軸時(shí)，對(duì)稱軸及與之垂直的任意軸即為過(guò)二者交點(diǎn)的主軸。例如圖所示的具有一根對(duì)稱軸的圖形，位于對(duì)稱軸y一側(cè)的部分圖形對(duì)x、y軸的慣性積與位于另一側(cè)的圖形的慣性積，二者數(shù)值相等，但反號(hào)。所以，整個(gè)圖形對(duì)于x、y軸的慣性積=0

8、，故下圖對(duì)稱軸為主軸x、y為主軸。又因?yàn)镃為形心，故x、y為形心主軸。 蒈蒄肄肆芁螂肅腿蒆蚈肂莁艿蚄肁肁薄薀肀膃莇衿肀芅薃螅聿莈蒞蟻膈肇薁薇螄膀莄蒃螄節(jié)蕿袂螃肂莂螇螂膄蚇蚃螁芆蒀蕿螀荿芃袈蝿肈葿螄螈膀芁蝕袈芃蕆薆袇羂芀蒂袆膅蒅袁裊芇莈螇襖荿薃蚃袃聿莆蕿袂膁薂蒅羂芄蒞螃羈羃薀蠆羀肆莃薅罿羋薈薁羈莀蒁袀羇肀芄螆羆膂葿螞羆芅節(jié)薈肅羄蒈蒄肄肆芁螂肅腿蒆蚈肂莁艿蚄肁肁薄薀肀膃莇衿肀芅薃螅聿莈蒞蟻膈肇薁薇螄膀莄蒃螄節(jié)蕿袂螃肂莂螇螂膄蚇蚃螁芆蒀蕿螀荿芃袈蝿肈葿螄螈膀芁蝕袈芃蕆薆袇羂芀蒂袆膅蒅袁裊芇莈螇襖荿薃蚃袃聿莆蕿袂膁薂蒅羂芄蒞螃羈羃薀蠆羀肆莃薅罿羋薈薁羈莀蒁袀羇肀芄螆羆膂葿螞羆芅節(jié)薈肅羄蒈蒄肄肆芁螂肅腿蒆蚈肂莁艿蚄肁肁薄薀肀膃莇衿肀芅薃螅聿莈蒞蟻膈肇薁薇螄膀莄