復變函數(shù)第四版(第三章)教程文件

1、復變函數(shù)第四版(第三章)BzzzzzAnkk,1101 1 復變函數(shù)的積分定義復變函數(shù)的積分定義 定義：設函數(shù) w=f(z) 定義在區(qū)域D內，C為區(qū)域D內起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個弧段，設分點為:.1kkkzzz這里.)()( )(,111knkkkknkknkzfzzfS并作和式點在每個弧段上任意取一 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )( )( )CCCf z dzf zdzf z dsML( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：為 的長度.)1 線性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()(

2、)(為常數(shù)、baCC2 設為 的逆向曲線，則CCdzzfdzzf)()(3 3 復積分的性質復積分的性質 ：例題1 .Cz dz計算(1):Cii 的直線段；（2）C：左半平面以原點為中心逆時針方向的單位半圓周。解（1） :11zit t 線段的參數(shù)方程為 ,dzidtzitt10111011()22Cz dzt idtitdttdtii （2）參數(shù)方程為3,22ize,1iidzie dze3322222iiCz dzie dei ii可見積分與路徑有關。. 0) 1(213zzdz例題2 ),Z()(I0nzzdzCn計算積分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d

3、20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i例題3 2,Cz dz計算iC 如圖所示：解：1:,0, :11Czx yx 112212;3Cz dzx dx 2:,:0iCze1C2C112220iiCz dzeie d330012.33iii ede 可見，積分僅與起點和終點有關,而與路徑無關。例題4 ,811Cdzzz證明:12.Cz證明： CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28 .2222222CCCz dzxydxxydyixydxxydyMNMN()yxyxMNuv yxyxMNvu定理1（Cauch

4、y-Goursat） 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內處處解析, 則它在D內任何一條封閉曲線 C 的積分為零: 注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線. 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。cdzzf. 0)( 注2：如果曲線C是D的邊界, 函數(shù) f (z)在D內與C上解析, 即在閉區(qū)域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D內解析, 在閉區(qū)域D+C 上連續(xù), 則 f (z)在邊界上的積分仍然有推論： f z dzc則與路徑無關僅與起點和終點有關。cdzzf. 0)(如果函數(shù) f (z)在單連通域D內處處解析, C屬于D，柯西-古薩基本定理還可推廣到多連通域: 假設C及C1為任意兩條簡單閉

5、曲線, C1在C內部,設函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內解析, 在邊界上連續(xù)，則C1CDAB定理定理2 (復合閉路定理)ccdzzfdzzf1.)()(證明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值。-閉路變形原理閉路變形原理推論（復合閉路定理）：為簡單閉曲線設nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的簡單閉曲線，為包含nCCCC,21nCCCCD21為由邊界曲線所圍成的多連通區(qū)域， 內解析，在Dzf)(則上連續(xù)在,DD0)(dzzfCiCD.)()(1niccidzzfdzzf例題121,Cdzz求

6、C 如圖所示：i3ii解： 存在 f (z)的解析單連通域D包含曲線 C ，故積分與路徑無關，僅與起點和終點有關?；?,0,20, 30, 3111iiCiidzdzzz 11433iii .3411131322itiidttdzc現(xiàn)設z=it，t從-3變化到1，例題2 求C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解： 21111zzzz現(xiàn)分別以z=0,1為圓心,在C內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.C1C2C01cdzzz210220ii021222111cccdzzzdzzzdzzz2211111111ccccdzzdzzdzzdzz練習：計算積分3.)2)(1(1zdzzz解：現(xiàn)

7、分別以z=1,2為圓心,在C內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.由復合閉路定理知：21321)2)(1(1)2)(1(1)2)(1(1IIdzzzdzzzdzzzcczidzzdzzdzzzIccc21121)2)(1(11111idzzdzzdzzzIccc21121)2)(1(12222. 022)2)(1(1213iiIIdzzzzDC0z0,zD設若 f (z) 在D內解析，則000( )( )ddCz zf zf zzzzzzz閉路變形原理 00f zf z 00001()d2().z zf zzif zzz分析：分析：cdzzzzf0)(在上節(jié)的基礎上,我們來進一步探討

8、如下積分: 定理定理 (柯西積分公式柯西積分公式) 如果如果 f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內處處解析內處處解析, C為為D內的任何一條正向簡單閉曲線內的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內部完它的內部完全含于全含于D, z0為為C內的任一點內的任一點, 則則001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cfor f zdiz-解析函數(shù)可用復積分表示。).(2)(00zifdzzzzfc 證證 由于由于f (z)在在 z0連續(xù)連續(xù), 任給任給e e 0, 存在存在 (e e) 0, 當當 |z z0| 時時, | f (z) f (z0)| e e. 設以設以 z0為中心為中心, R 為半徑為半徑

9、的圓周的圓周K : |z z0|=R全部在全部在C的內部的內部, 且且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz00( )()dKf zf zzzzd2.KsRee00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz).(2)(00zifdzzzzfc從而有:例題1 計算.cos1izdzizz解： 因為f(z)=cosz在復平面上解析,又-i在 內,所以 1 iz1)cos(2cos2cosiziziizidzizz).(1eei例題

10、2 計算.1sin22zdzzz解：方法1 因為f(z)=sinz在復平面上解析,又-1,1均在 內,所以 2z222)1sin1sin(211sinzzdzzzzzdzzz221sin211sin21zzdzzzdzzz11sin221sin221zzzizi.1sin2 i解：方法2 利用復合閉路定理,分別以-1,1為圓心,作兩個互不相交互不包含的圓周C1，C2211sin1sin1sin2222cczdzzzdzzzdzzz.1sin1sin11sin1sin1211izzizdzzzzdzzzzcc.1sin1sin211sin1sin1222izzidzzzzdzzzzcc.1sin

11、21sin22idzzzz練習 計算.111122zdzzz解： 因為被積函數(shù)在 內只有一個奇點,所以 11 z112112211111zzdzzzzdzzz.211212izziz例題3 CzrrzCdzzzze)2 , 1(:)2)(1(計算積分解： , 10 rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(21C2C3C01232) 1(32Czdzzzzeiei2) 1(232zzzzeiieiieiei3322, 21 r21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzzzeiiiei32, 2r321CCC 一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù), 而且有各高階導數(shù), 它的值也可用

12、函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示. 這一點和實變函數(shù)完全不同. 一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導, 它的導數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導數(shù)存在了.定理定理 解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階導數(shù)為:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域D內圍繞 z0的任何一條正向簡單曲線, 而且它的內部全含于D. )(!2)()(0)(10cnnzfnidzzzzf證 設z0為D內任意一點, 先證n=1的情形, 即 因此就是要證0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定義0.z 在時也趨向于零0201

13、( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz按柯西積分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz001( )( )d2Cf zf zzzizzz0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )CCf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz現(xiàn)要證當z0時I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz2001| |(

14、)|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設界為M, 則在C上有| f (z) | M. d為 z0 到C上各點的最短距離, 則取 |z| 適當?shù)匦∈蛊錆M足 |z| 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函數(shù) 在C內的z=1處不解析, 但cosz在C內卻是處處解析的. 5) 1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz 12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i12CCC2C1C.)1(23532cdzzzz練習: 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = 2.解： )!13()235(2)1(2351232 zczzidzzzz.10i因為z=1在 | z | = 2包圍的區(qū)域D內，又f（z）=5z2-3z+2在復平面上解析.)2)(1(13cdzzzz練習: 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = 3/2.解：由于在 | z | = 3/2內有兩個奇點z=0,z=-1，分別分別以0,-1為圓心,作兩個互不相交互不包含的圓周C1，C2)2)(1(13zzz1C2C0121)2)(1(