平面直角坐標系

1、第三章 平面直角坐標系黃岡中學七年級數(shù)學下冊第7章第1課平面直角坐標系（一）主講老師 莊四化 同學們好，在平時日常生活當中，比如說，戴麗到了一個教室以后，如果我要給她安排一個位置的話，我只要告訴她在幾排、幾列，也就可以找到相應(yīng)的位置。那也就是說：有二個數(shù)就可以確定她的位置。比如說：2排、3列這樣的一個位置，那你可以很快地找到，但有的時候為了表示的方位，我記為（2、3）這樣的一個形式，那么我后面任意地寫一個（3、4），那你就要知道，它反映的就是3排4列，所以在一個平面當中，我們可以給你一個數(shù)對（3、4），當我們告訴你這兩個數(shù)代表的意義的時候，我們就可以知道，這樣兩個數(shù)列所反映的什么樣的意義，所以

2、說我們在平時的坐位，你記得嗎，小學我們?nèi)ル娪霸嚎措娪皶r，電影票上面所寫的數(shù)字也是反映的位置關(guān)系。所以說：我們把有順序的兩個數(shù)組成一個數(shù)對，就稱為有序數(shù)對。在我們?nèi)粘Ｖ杏泻芏嗟挠锰帯Ｆ矫嬷苯亲鴺讼?、什么叫有序數(shù)對？ 把有順序的兩個數(shù)、組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對。 記作：（、） 那么從這個概念當中，我們要特別注意的是：有序數(shù)對首先是是兩個數(shù)構(gòu)成的一個數(shù)對；其次這兩個數(shù)是有順序的。所以說，交換這兩個數(shù)順序的時候，它可能相應(yīng)的含義就發(fā)生改變。比如說：（2，3）（3，2）。但是它們所表示的含義就不一樣。（2，3）表示的是：2排3列。（3，2）表示的是：3排2列。所以說：這里面我們一定要看清楚這兩個數(shù)（、

3、）代表的意義是什么。那我們引進了有序數(shù)對，其實在我們的日常生活當中，除了這一個表示位置關(guān)系外，也就是說：我們還可以用經(jīng)度、緯度來描述某一個地點的位置，還可以用方位角和相應(yīng)的度數(shù)來描述方位當中的某一個點的位置。所以說：有序數(shù)對是有比較多的用途的。其實，用這樣一個點或一個數(shù)表示相應(yīng)的點或用點來表示相應(yīng)的數(shù)以及在數(shù)軸當中的應(yīng)用。比如說在一條數(shù)軸上，我假如說告訴你點A表示的是：-3，這樣說，我很快就在數(shù)軸上找到點A的位置；假如說我告訴你點B表示的2，你就可以知道2的位置在哪里；在數(shù)軸上，數(shù)和一個點是相對應(yīng)的。（即給了一個點就是一個數(shù)） 那么，光有一個數(shù)，還不能表示出平面上的一個點的位置；比如說我在這個

4、數(shù)軸上的外面寫一個點C，這個點C的位置該怎樣來描述呢？所以為了解決這樣一個問題，我們想到了一個辦法，用兩條數(shù)軸，這兩條數(shù)軸有何特點呢？將它們互相垂直同時與原點重合。 當我們畫出了這兩條數(shù)軸之后，我們很快就可以發(fā)現(xiàn)，有了這樣一個圖形之后，我們可以很快地表示出平面內(nèi)任何一個點，這點C的位置怎樣來描述呢？我通過C點向X軸作垂線，它就對應(yīng)的一個垂足，假如垂足為：M，此時M在這樣X軸一條數(shù)軸上就含對應(yīng)一個數(shù)，這個數(shù)我們作為點C的第一個數(shù)；同時我們可以過點C作Y軸上的垂線，它也有一個垂足N；此時我們用N表示點C的第二個數(shù)。從而我們用這樣兩個數(shù)就可以構(gòu)成一個有序數(shù)對來找到點C的位置。也就是說，以后我們只要知

5、道點C。所以，我們引進了這樣一個圖形，我們把它取一個名字，叫做平面直角坐標系。2、平面直角坐標系 什么叫平面直角坐標系呢？ 平面內(nèi)兩條互相垂直，原點重合的數(shù)軸組成平面直角坐標系。 水平的數(shù)軸稱為X軸（或橫軸）。取向右為正方向，向左為負方向。 豎直的數(shù)軸稱為Y軸（或縱軸）。取向上為正方向，向下為負方向 兩個數(shù)軸的交點叫平面直角坐標系的原點。3、點的坐標 對于平面內(nèi)的任何一點P，過點P分別向X軸、Y軸作垂線，垂足在X軸、Y軸上對應(yīng)的點數(shù)、，分別叫點P的橫坐標、縱坐標；有序數(shù)對（、）稱為點P的坐標。為了方便大家對這個概念的掌握，我們分別畫一個平面坐標系。建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標

6、軸分成了、四個部分（如上圖所示），分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐標軸上的點不屬于任何象限。由于數(shù)軸有三種要素：原點、數(shù)軸、單位長度同一條坐標軸上的單們長度是相同的，但作為X、Y是兩條不同的坐標軸，它們的單位長度是可以不同的，但現(xiàn)在我們把兩條坐標軸上的單位畫成一樣。那么有些點可能不是落在這四個象限里面的，而是落在這兩個坐標軸上。大家知道：坐標軸上的點是不屬于任何象限的。那么既然我們知道了平面內(nèi)的點是和有序數(shù)對（即坐標）是一一對應(yīng)的，那我們就要能夠知道位于這四個象限或者坐標軸上的，它們的點的坐標特征：四、象限內(nèi)點的坐標特征1、點P（、）在第一象限，則>0、>0；2、

7、點P（、）在第二象限，則<0、>0；3、點P（、）在第一象限，則<0、<0；4、點P（、）在第一象限，則>0、<0；五、坐標軸上點P（、）的坐標特征：1、當點P在X軸上時，則b=0，a為任意實數(shù)；2、當點P在Y軸上時，則a=0，b為任意實數(shù)；六、點到兩軸的距離點（x,y)到x軸的距離為y,到y(tǒng)軸的距離為x。例如，點A（3，4）到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為注意：點（x,y)到兩軸的距離是一個非負數(shù)例如點A（3，4）到y(tǒng)軸的距離為而不是例1：設(shè)M（、）為平面直角坐標系中的點，、當×>0時，點M位于第幾象限？、當為任意實數(shù)，<0時，M位于第

8、幾象限？、分析：這個題目是通過象限內(nèi)的坐標特征判斷點M所在的象限。因為是目的已知條件告訴我們，×>0時，要么、都是正數(shù)，要么都是負數(shù)，所以可以判定，、都是正數(shù)時，則點M在第一象限，、都是負數(shù)時，則點M就在第三象限。解：×>0（兩個數(shù)的乘積大于0時，可能說兩個數(shù)都為正數(shù)，也可能兩個數(shù)都為負數(shù)）>0、>0；或<0、<0；點M位于第一象限或第三象限。 分析：當為任意實數(shù)時，要理解它的含義：無外呼有三種可能。即有可能大于0；有可能等于0；有可能小于0。要所以解這種題時要分三種情況討論：當>0、<0時，那么點M位于第四象限；當=0、&l

9、t;0時，那么點M位于Y軸的負半軸上；當<0、<0時，則點M位于第三象限；13數(shù)學初中1下第7章第1課.平面直角坐標系（二） 上節(jié)課我們介紹了平面直角坐標系的的基本內(nèi)，這二節(jié)課我們繼續(xù)和大家來學習平面直角坐標系，講到平面直角坐標系，首先我們就要知道，什么是平面直角坐標系？好，它是由兩條互相垂直而且原點重合的數(shù)軸組成的圖形。比如說：現(xiàn)在我們畫一個圖形，先畫一條水平數(shù)軸，再畫一條豎直數(shù)軸，建立了一個坐標系之后，把水平方向的數(shù)軸稱為橫軸，或X軸；把豎直方向的數(shù)軸稱為豎軸或Y軸。 這里面，我們對兩條數(shù)軸有個要求：、兩數(shù)軸必須垂直；、原點必須重合。這兩條數(shù)軸的交點我們稱為平面直角坐標系的原點

10、。水平方向的數(shù)軸，稱為X軸（或橫軸）；一般取水平向右為X軸。豎直方向為Y軸（或縱軸），取向上為正方向，同時標出相應(yīng)的單位數(shù)。對于同一條坐標軸的的單位必須相同，不同數(shù)軸上的單位可以不同?，F(xiàn)在為了畫圖方便，一般使X軸、主軸上的單位是相同的。好，那么在這里面（即平面直角坐標系），我們知道，當我們畫了一個平面直角坐標系后，我們把這個平面稱為坐標平面。坐標平面，它被這兩條坐標軸分成了四個象限：第一象限：是X軸的上方，Y軸的右側(cè)的這樣一個區(qū)域；第二象限指的是：X軸的上方，Y軸的左側(cè)構(gòu)成的部分；第三象限指的是：X軸的下方，Y軸的左側(cè)構(gòu)成的部分；第四象限指的是：X軸的下方，Y軸的右側(cè)構(gòu)成的部分。這是第一個要知

11、道的知識點。另外我們要知道，坐標軸不屬于任何象限的；同時，我們把X軸原點右側(cè)的部分稱之為X軸的正半軸；把原點左側(cè)的部分稱為X軸的負半軸。把原點上側(cè)的部分稱為Y軸的正半軸，把Y軸原點下側(cè)的部分稱之為Y軸的負半軸。那么，一旦我們建立了一個平面直角坐標系之后，我們就知道，這個平面內(nèi)的任意一個點都可以用一個有序數(shù)對來進行表述，那么這個有序數(shù)對，我們把它稱之為這個點的坐標。比如說，現(xiàn)在我們給出了平面內(nèi)一個點A，那么我們用什么樣一個有序數(shù)對表示它的位置呢？或者說它的坐標是什么呢？這里面點A的坐標含義指的是過點A分別向X軸，Y軸作垂線，垂足對應(yīng)的數(shù)組成了有序數(shù)對，就稱為它的坐標。一般地先作X軸的垂線，垂足對

12、應(yīng)的數(shù)，寫在前面。后作Y軸的垂線，垂足對應(yīng)的數(shù)，寫在后面。好，過A點作X軸垂線，我們發(fā)現(xiàn)垂足對應(yīng)的數(shù)恰好是：3，過點A向Y軸作垂線，我們發(fā)現(xiàn)垂足對應(yīng)的的數(shù)剛好是：4。那么此時，我就用有序數(shù)對（3，4）來表示點A的位置。也就是說，點A的坐標就是（3，4）。那么在這里面，我們要能夠通過坐標的含義準確地寫出給定的點的坐標。其次我們還要能夠由一個坐標來確定這樣一個點的位置。比如說：我給了你一個點，它的從標是（3，4），這個點在哪里呢？首先我們在X軸找到表示3的點，然后過這個點作X軸的垂線，再在Y軸上找到表示4的點，然后過這個點作Y軸的垂線，這兩條垂線的交點就表示這個坐標表示點的位置。好，這是要對坐標這

13、個概念有一個明確的理解。 那么由坐標的第一我們就要知道：第一象限內(nèi)的點：它的橫坐標和縱坐標都是正數(shù)。第二象限內(nèi)的點：它的橫坐標是負的，縱坐標是正數(shù)。第三象限內(nèi)的點：它的橫坐標、縱坐標均是負的。第四象限內(nèi)的點：它的橫坐標是正的，縱坐標是負的。好，這個第一個知道的是：平面直角坐標系給出的含義以及各象限內(nèi)點的坐標特點：同時，我們也知道：、落在Y軸上的點，它們的縱坐標是任意的，橫坐標是為0。、落在X軸上的點，它們的橫坐標是任意的，縱坐標是為0此外，我們還要能夠知道什么呢？知道：點的從標和這個點到坐標軸的距離關(guān)系：比如說，我告訴你了點A的坐標是：（3，4），則我就可以知道點A到X軸的距離是：4；點A到Y(jié)

14、軸的距離就是：3。同樣的道理：如果若是給了你坐標平面內(nèi)的一個點。假如說：點B（-4，2），那么我們要知道，這個點B落在第二象限的；其次由我們坐標的定義，我們可以知道：這個時候：點B到X軸的距離就是縱坐標的絕對值。即點B到Y(jié)軸的距離就是橫坐標的絕對值。即14數(shù)字初中1下第7章第1課.平面直角坐標系（三） 前面兩節(jié)課我們介紹了平面直角坐標系，臺何來找出一個點的坐標，給了一個有序數(shù)對以后，我們怎樣來確定有序數(shù)對表示的位置，同時我們也要了解平面直角坐標系的各象限內(nèi)的點的特征。好，這節(jié)課我們繼續(xù)來探討平面直角坐標系一些基本結(jié)論。下面我們來畫一個坐標系。好、大家看出來，我在這里面畫出了一個平面直角坐標系，

15、如果一點的坐標是（2，3），那么這個點的位置應(yīng)該是在第一象限，我們通過作垂線的方法可以找出來它的位置就在這里，點A現(xiàn)在它的坐標就是（2，3）；同樣我可以用類似的方法找出點B，如果它的坐標是（-2，3）。那么通過這個圖形我們可以發(fā)現(xiàn)；現(xiàn)在點A（2，3）和點B（-2，3），它們到達X軸的距離是一樣的，到達Y軸的坐標也是一樣的，圣靈第現(xiàn)在我們再把A點、B點連起來，我們發(fā)現(xiàn)AB這條線段，它是與X軸平行的，是和Y軸垂直的。同樣我們往下看，這就說明了：兩個點，它們的縱坐標相同，橫坐標不相同，它們的連線是平行于X軸的。在家想一想，現(xiàn)在我們再畫出一個點C：（-2，-3），此時我通過把BC連線，這就發(fā)現(xiàn)：BC這

16、條直線，它現(xiàn)在是和Y軸平行，與X軸垂直。這個時候，B、C兩點的橫坐標是相同的。所以，我們由這樣的一些具有特殊位置關(guān)系的點，得到了下面的一些結(jié)論：1、平行于Y軸兩點的連線：橫坐標相同，縱坐標不同。 且兩點連線之間距離等于對應(yīng)的縱坐標之差（較大的縱坐標減較小的縱坐標）2平行于X軸兩點的連線：橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)。且兩點連線之間距離等于對應(yīng)的橫坐標之差（較大的橫坐標減較小的縱坐標）比如：當兩個點的連線平行于坐標軸的時候，那么它們的距離就可以通過對應(yīng)坐標的差就可以直接寫出來。例如：AB連線平行于X軸，則線段AB的長就等于對應(yīng)的橫坐差（較大的橫坐標減較小的橫坐標）。即AB=2-（-2）=4。當兩

17、點的邊線平行于軸的時候，那么這兩點的距離等于對應(yīng)的縱坐標之差（較大的縱坐標減較小的縱坐標）。即BC=3-（-1）=4第2個結(jié)論：在這個圖形中，A點和B點現(xiàn)在有什么特點呢？它們兩個到達軸的距離是相等的，同時，過A、B兩點分別作Y軸的垂線，垂足是同一個點。也就是說，它們兩個點的連線是平行于軸的，而且A點、B點到達的距離是相等的，我們把具有這樣一個位置關(guān)系的兩個點，我們稱為關(guān)于軸對稱的。好，如果我在這個圖中再畫一個點，即（2，-3），那我們可以發(fā)現(xiàn)，此時D點、A點到達軸的距離是相等的，都是3，此時AD的連線是平行于軸的，這樣一個特殊關(guān)系的兩個點，我們把它稱為關(guān)于軸對稱的。結(jié)論：3、若點A（、），則點

18、A關(guān)于X軸的對稱點的坐標為：（、-）即關(guān)于X軸對稱的點，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù) 若點A（、），則點A關(guān)于Y軸的對稱點的坐標為：（、-）即關(guān)于Y軸對稱的點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變。其實，我們在坐標系中，還有一些其它的結(jié)論，比如說，由我們前面學過的角平分線可知，這里的X軸和Y軸是相交的，角度都是?，F(xiàn)在我們做第一象限有角平分線，我們發(fā)現(xiàn)角平分線上的點，它有一個特點，角平分線上的點，它的橫坐標、縱坐標是相等的，這個時候，它到X軸、Y軸的距離相等。第三象限角平分線，角平分線上的點，到X軸、Y軸的距離也相等，此時它們的橫坐標、縱坐標也相等。對應(yīng)的第二、第四象限，角平分線上的點，它們到達X軸、Y

19、軸的坐標也是相等的，橫、縱坐標互為相反數(shù)。結(jié)論： 第1、3象限角平分線上的點，橫、縱坐標相等，且符號相反。第2、4象限角平分線上的點，橫、縱坐標互為相反數(shù)。也可以說：關(guān)于原點對稱的點怎么樣書寫。例1、已知點A（3，2），ABX軸，AB=5，則點B的坐標為：（8，2）或（-2、2） 、已知點P1（，5）與點P2（2，）到X軸的距離相等，且P1P2Y軸，則 -1 分析：念題目內(nèi)容，這里面告訴我偏癱，AB平行于X軸的，這就意味著A點和B點，現(xiàn)在哪個坐標是相同的呢？而平行于X軸的線段，它的縱坐標是相同的，橫坐標是不同的。又因為這兩個點的距離是5，所以我們可以通過此時它們兩，點到點的距離就是對應(yīng)的橫坐標

20、的差赤求得。問題是我已知道了點A的縱坐標就是2。面橫坐標的差是5，現(xiàn)在是A點的橫坐標大，還是B點的橫坐標大呢？并不知道，所以有可能是B點的橫坐標減去A點的橫坐標，還有一種可能是A點的橫坐標減去B點的橫坐標。因此，這道題有兩種情況，所以我們要分開討論：第一種情況：點B在點A的左邊，則5=X-3，X=8第一種情況：點B在點A的右邊，則5=3-X，X=-2所以，B點的坐標分別是（8，2）或（-2，3）第小題，先念題目，到X軸的距離相等，這就說明它們的縱坐標的絕對值相等，且這兩個點的連線平行于Y軸的，平行于Y軸的特點是：橫坐標相同，所以：（）一定是等于2的?，F(xiàn)在是要我們求的是的值，肯定要把b的值求出來

21、，那么這兩個點縱坐標有什么關(guān)系呢？這兩個點不可能是同一個點；因為這兩個點是平行于Y軸的，因此這兩個點一定是位于X軸的兩側(cè)的。即一個點在X軸上面，一個點在X軸的下面。否則的話，就是同一個點了。在兩則就意味著，這兩個點，它們的縱坐標是互為相反數(shù)。建立方程組：-1=2.-1=-5.解：由得：=3 由得：=-4 3-4=-1例2：已知點M（3，）、N（，-1），根據(jù)下列條件求、的值。、M、N兩點關(guān)于X軸對稱；、M、N兩點直線平行于Y軸；、M、N兩點在第二、四象限角平分線上。、分析：先念題目內(nèi)容，M、N 兩點關(guān)于X軸對稱；要我們確定、的值。兩點關(guān)于X軸對稱的特性是：它們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)。于

22、是得出：3=，=-（-10），即=1。、因為題目已知條件是：M、N兩點直線平行于Y軸，含義是這兩點的橫坐標是相同的，即3=；但縱坐標是不相同的。因此，即-1。所以第二小問的答安是：=3，-1。、題目已知條件是：M、N兩點在第二、四象限角平分線上。而第2、4象限角平分線上的點，橫、縱坐標互為相反數(shù)。所以：=-3，=-1例3、已知ABC的頂點坐標為：A（-2，0），B（4，0），C（2，-3）求ABC的面積。、已知點D（2，4），E（4，1），求ODE的面積。分析：根據(jù)已知條件可知，點A、B都在數(shù)軸上，點C在象限里，我們怎么求呢？我把這三個點連起來，很容易選擇AB作為底邊，距離很容易求出來。即AB

23、=4-（-2）=6，而三角形ABC的高就是過C點作X軸的垂線交D點，則高就是3。解：如圖：過點C作CDAB于D則CD=3AB=4-（-2）=6 =分析：我們把這三點連接起來，就發(fā)現(xiàn)三角的三邊，即不與坐標軸平行，又不與坐標軸垂直。這時候我們再想直接來求，就相當困難，怎么辦呢？這時候，我們就只能夠利用以前學過的知識來求，就是把這個不容易求的三角形轉(zhuǎn)化成一個規(guī)則的圖求。轉(zhuǎn)化的方法是：過頂點D作垂直于Y軸的垂線，再過E點作垂直于X軸的垂線，先求出這個整體長方體OFGH的面積。現(xiàn)分別求出三個三角形的面積（即、）。最后用長方體的面積減去三個三角形的面積就是三角形ODE的面積。解：過D點作DFY軸于F，過E點作EHX軸交H延線于G， OF=4，DF=2