數(shù)學建模生產(chǎn)計劃問題

1、第一題：生產(chǎn)計劃安排某工廠生產(chǎn) ABC三種產(chǎn)品，所需勞動力、材料等有關(guān)數(shù)據(jù)見下表產(chǎn)品可用量資源ABC（單位）勞動力63545材料34530產(chǎn)品利潤（元/ 314件）1）確定獲利最大的生產(chǎn)方案2）產(chǎn)品 ABC的利潤分別在什么圍變動時，上述最優(yōu)方案不變3）如果勞動力數(shù)量不增，材料不足時可從市場購買，每單位0.4元，問該廠要不要購進原材料擴大生產(chǎn)，以購多少為宜？4）如果生產(chǎn)一種新產(chǎn)品D，單件勞動力消耗8 個單位，材料消耗2 個單位，每件可獲利 3元，問該種產(chǎn)品是否值得生產(chǎn)？答：max3x1+x2+4x3! 利潤最大值目標函數(shù) x1,x2,x3 分別為甲乙丙的生產(chǎn)數(shù)量st!限制條件6x1+3x2+5x

2、3<45!勞動力的限制條件3x1+4x2+5x3<30!材料的限制條件End！ 結(jié)束限制條件得到以下結(jié)果1.生產(chǎn)產(chǎn)品甲5 件，丙 3 件，可以得到最大利潤，27 元2.甲利潤在2.4 4.8 元之間變動，最優(yōu)生產(chǎn)計劃不變3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end可得到生產(chǎn)產(chǎn)品乙9 件時利潤最大，最大利潤為36 元，應(yīng)該購入原材料擴大生產(chǎn)，購入15 個單位4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<453x1+4x2+5x3+2x4<30endginx1ginx2ginx3ginx4利潤沒有增加，

3、不值得生產(chǎn)第二題：工程進度問題某城市在未來的五年將啟動四個城市住房改造工程， 每項工程有不同的開始時間， 工程周期也不一樣，下表提供了這些項目的基本數(shù)據(jù)。第一年第二年第三年第四年第五年總費用年 收 入（千萬元）（萬元）工程 1開始結(jié)束5.050工程 2開始結(jié)束8.070工程 3開始結(jié)束15.0150工程 4開始結(jié)束1.220預算3.06.07.07.07.0（ 千 萬元）工程 1 和工程 4 必須在規(guī)定的周期全部完成，必要時，其余的二項工程可以在預算的限制完成部分。然而，每個工程在他的規(guī)定時間必須至少完成 25% 。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且實現(xiàn)一定比例的收入。例如，如果工程 1 在

4、第一年完成 40% ，在第三年完成剩下的 60% ，在五年計劃圍的相應(yīng)收入是 0.4*50（第二年）+0.4*50（第三年）+（ 0.4+0.6 ）*50 （第四年） + （ 0.4+0.6 ） *50 （第五年） = （ 4*0.4+2*0.6 ） *50 （單位：萬元） 。試為工程確定最優(yōu)的時間進度表，使得五年的總收入達到最大。答：假設(shè)某年某工程的完成量為一年工程 1 完成 X11，工程 3另有一個投入與完成的關(guān)系，工程 1 利潤：Xij, i 表示工程的代號，i=1,2,3 ， j 表示年數(shù)， j=1,2,3 ，如第完成 X31，到第二年工程已完成X12 ，工程 3 完成 X32 。即第

5、一年的投入總費用的40% ，該工程在年底就完成40% ，50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13)工程 2 利潤：70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24)工程 3 利潤：20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)工程 4 利潤：20*X43+20*（ X43+X44 ）max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13)+(70*X22+70*(X22+X23)

6、+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)+(20*X43+20*(X43+X44)st5000*X11+15000*X31=30005000*X12+8000*X22+15000*X32=60005000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=70008000*X24+15000*X34+12000*X44=70008000*X25+15000*X35=7000X11+X12+X13=1X22+X23+X24+X25 0.25X22+X23+X24+

7、X25 1X31+X32+X33+X34+X35 0.25X31+X32+X33+X34+X35 1X43+X44=1全為大于零的數(shù)Lingo 語句：Model:max=50*(4*X11+3*X12+2*X13)+70*(3X22+2*X23+1*X24)+150*(4*X31+3*X32+2*X33+1*X34)+20*(2*X43+1*X44)!約束條件5000*X11+15000*X31<=3000;5000*X12+8000*X22+15000*X32<=6000;5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43<=7000;8000*X24

8、+15000*X34+1200*X44<=7000;8000*X25+15000*X35<=7000;X11+X12+X13=1;X22+X23+X24+X25<=1;X22+X23+X24+X25>=0.25;X31+X32+X33+X34+X35<=1;X31+X32+X33+X34+X35>=0.25;X43+X44=1;End輸出結(jié)果：Objective value:523.7500Total solver iterations:9VariableValueReduced CostX110.0000000.000000X120.0000000.000

9、000X131.0000000.000000X220.00000020.00000X230.00000010.00000X240.22500000.000000X310.20000000.000000X320.40000000.000000X330.5333333E-010.000000X340.34666670.000000X431.0000000.000000X440.0000008.000000X250.2500000E-010.000000X350.00000018.75000RowSlack or SurplusDual Price1523.75001.00000020.000000

10、0.3875000E-0130.0000000.2875000E-0140.0000000.1875000E-0150.0000000.8750000E-0266800.0000.00000070.0000006.25000080.75000000.00000090.0000000.000000100.00000018.75000110.75000000.000000120.00000017.50000結(jié)果分析：要獲得最大利潤，需在第一年投資3000萬的資金在工程 3上，第二年投資6000 萬資金在工程3 上，第三年投資 5000萬在工程 1 上， 1200萬在工程4 上， 800 萬投資在工

11、程 3 上，第四年投資 1800 萬在工程2 上， 5200萬在工程3 上，第五年投資 200 萬在工程 2 上，剩余6800 萬，獲得的最大利潤523.75 萬元。3.投資問題假設(shè)投資者有如下四個投資機會，A 在三年，投資人應(yīng)在每年的年初投資，每年每元投資可獲利息0.2 元，每年取息后可重新將本息投入生息，B 在三年，投資人應(yīng)在第一年年初投資，每兩年每元投資可獲利息0.5 元。兩年后取息，可重新將本息投入生息，這種投資最多不得超過20 萬元。 C，在三年，投資人應(yīng)在第二年年初投資，兩年后每元可獲利息0.6元，這種投資最多不得超過15 萬元。 D 在三年，投資人應(yīng)在第三年年初投資，一年每元可獲

12、得利息 0.4元，這種投資不得超過10 萬元，假定在這三年為一期的投資中，每期的開始有 30 萬元的資金可供投資， 投資人應(yīng)怎樣決定投資計劃， 才能在第三年底獲得最高的收益。答：用 xiA ,xiB ,xiC, xiD,i=1,2,3,表示第 i 年初給項目A,B,C,D 的投資金額，則max 1.2x3A 1.6x2C 1.4x3Ds t x1A+x1B=301.2x1A=x2A+x2Cx3B x3A+x3D=1.2x2A+1.5x1Bx1B 20x2C15x3D 10程序如下： model:1max=1.2*X3a+1.6*X2c+1.4*X3d;2X1a+X1b=30;3X2a+X2c-

13、1.2*X1a=0;4X3b+X3a+X3d-1.2*X2a-1.5*X1b=0;5bnd(0,X1b,20);6bnd(0,X2c,15);7bnd(0,X3d,10);End運行結(jié)果如下：Global optimal solution found at iteration:4Objective value:57.50000VariableValueReduced CostX3A16.250000.000000X2C15.00000-0.1000000X3D10.00000-0.2000000X1A12.500000.000000X1B17.500000.000000X2A0.0000000

14、.6000000E-01X3B0.0000001.200000RowSlack or SurplusDual Price157.500001.00000020.0000001.80000030.0000001.50000040.0000001.200000因此，第一年在機會A 上投資 12.5 萬元，在機會B 上投資上投資 15 萬元，第三年在機會A 上投資 16.25 萬元，在機會大收益 57.5 萬元。17.5 萬元，第二年在機會D 上投資 10 萬元，可獲得最C4.生產(chǎn)計劃與庫存問題某產(chǎn)品的制造過程由前后兩道工序一和二組成。下表提供了在未來的6-8 月份的相關(guān)數(shù)據(jù)。生產(chǎn)一件的產(chǎn)品在工序一

15、上花0.6 小時，在工序二上另外花 0.8小時，在任何一個月過剩的產(chǎn)品， 可以是半成品工序一，也可以是成品工序二，允許在后面的月中使用， 相應(yīng)的儲存成本是每間每月 1元和 2 元，生產(chǎn)成本隨工序和隨月份變化。對于工序一，單位生產(chǎn)成本在六七八月份分別為50 元， 60元，和 55 元。對于工序二，相應(yīng)的單位生產(chǎn)費用分別為75 元， 90 元和 80 元。確定這兩道工序在未來的三個月最優(yōu)的生產(chǎn)進度安排。月份六月七月八月成品的需求（件）500450600工序一的能力 （小時）800700550工序二的能力 （小時）1000850700答：生產(chǎn)計劃與庫存6 月7 月8 月工序 1X11X12X13工序

16、 2X21X22X23model :min = 50*x11 + 75*x21 + (x11-500) + (x21-500)*2+ 60*x12 + 90*x22 + (x11 + x12 -950) + (x21 + x22 -950)*2+ 55*x13 + 80*x23 + (x11 + x12 + x13 - 1550) + (x21 + x22 + x23 -1550)*2;0.6*x11 <= 800;0.8*x21 <= 1000;x11 >= 500;x21 >= 500;x11 >= x21;x11 + x12 -950 >= 0;x21

17、 + x22 -950 >= 0;0.6*x12 <= 700;0.8*x22 <= 850;x11 + x12 >= x21 + x22;x11 + x12 + x13 - 1550 >= 0;x21 + x22 + x23 - 1550 >= 0;0.6*x13 <= 550;0.8*x23 <= 700;x11 + x12 + x13 >= x21 + x22 + x23;endgin 75.志愿者排班問題1 ）一家醫(yī)院雇傭志愿者作為接待處的工作人員，接待時間是從早上八點到晚上十點，每名志愿者連續(xù)工作三小時， 只有在晚上八點開始工作的

18、人員除外，他們只工作兩小時， 對于志愿者的最小需求可以近似成 2 小時間隔的階梯函數(shù)，其函數(shù)在早上八點開始，相應(yīng)的需求人數(shù)分別是 4 、 6、8 、 6、 4 、 6、 8.因為大多數(shù)志愿者是退休人員，他們愿意在一天的任何時間（早上八點到晚上十點）提供他們的服務(wù)，然而，由于大多數(shù)慈善團體競爭他們的服務(wù)，所需的數(shù)目必須保持盡可能的低。為志愿者的開始時間確定最優(yōu)的時間表。2 ）在問題一中，考慮到午飯和晚飯，假定沒有志愿者愿意在中午十二點和晚上六點開始工作，確定最優(yōu)的時間表。答：時 間X1X2X3X4X5X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 人段數(shù)8X149X1X210X1

19、X2X3611X2X3X412X3X4X5813X4X5X614X5X6X7615X6X7X816X7X8X9417X8X9X1018X9X10X11619X10X11X1220X11X12X13821X12X13X141 ）假設(shè)每個小時段的Xi,i=1,2,3,-14Lingo 程序：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+X14;x1>=4;x1+x2>=4;x1+x2+x3>=6;x2+x3+x4>=6;x3+x4+x5>=8;x4+x5+x6>=8;x5+x6+x7>=6;x6+x7+x8&

20、gt;=6;x7+x8+x9>=4;x8+x9+x10>=4;x9+x10+x11>=6;x10+x11+x12>=6;x11+x12+x13>=8;x12+x13+X14>=8;end運行結(jié)果Global optimal solution found.Objective value:32.00000Total solver iterations:11VariableValueReduced CostX14.0000000.000000X20.0000001.000000X34.0000000.000000X42.0000000.000000X52.0000

21、000.000000X64.0000000.000000X70.0000000.000000X82.0000000.000000X92.0000000.000000X104.0000000.000000X110.0000000.000000X122.0000000.000000X136.0000000.000000X140.0000000.000000RowSlack or SurplusDual Price132.00000-1.00000020.000000-1.00000030.0000000.00000042.0000000.00000050.0000000.00000060.0000

22、00-1.00000070.0000000.00000080.0000000.00000090.000000-1.000000100.0000000.000000114.0000000.000000120.000000-1.000000130.0000000.000000140.0000000.000000150.000000-1.000000結(jié)果顯示，最少需要32 名志愿者參加志愿工作。工作安排如下：時89101112131415161718192021段人40422402240260數(shù)2 ）， lingo 程序min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x

23、12+x13+X14;x1>=4;x1+x2>=4;x1+x2+x3>=6;x2+x3+x4>=6;x3+x4>=8;x4+x6>=8;x6+x7>=6;x6+x7+x8>=6;x7+x8+x9>=4;x8+x9+x10>=4;x9+x10>=6;x10+x12>=6;x12+x13>=8;x12+x13+X14>=8;end運行結(jié)果Global optimal solution found.Objective value:32.00000Total solver iterations:9VariableVal

24、ueReduced CostX14.0000000.000000X20.0000001.000000X36.0000000.000000X42.0000000.000000X50.0000001.000000X66.0000000.000000X70.0000000.000000X80.0000001.000000X94.0000000.000000X102.0000000.000000X110.0000001.000000X124.0000000.000000X134.0000000.000000X140.0000001.000000RowSlack or SurplusDual Price

25、132.00000-1.00000020.000000-1.00000030.0000000.00000044.0000000.00000052.0000000.00000060.000000-1.00000070.0000000.00000080.000000-1.00000090.0000000.000000100.0000000.000000112.0000000.000000120.000000-1.000000130.0000000.000000140.000000-1.000000150.0000000.000000工作安排如下：時8910111213141516171819202

26、1總段數(shù)人4062060042044032數(shù)6、下料問題已知工廠有一批（數(shù)量充分多）長為180 厘米的鋼管，現(xiàn)需要70 厘米長的不少于100 根，52 厘米長的不少于150 根和 35 厘米長的不少于100 根。問怎么截法1）使得所用的原料最少？2）使得所剩余的邊料最少？試分析兩種問題的答案是否相同。答：705235LeftModel12015Model21206Model31035Model40226Model50055（ 1 ）總余量最小model:min = 5*x1 + 6*x2 + 5*x3 + 6*x4 + 5*x5;2*x1 + 1*x2 + 1*x3>= 100;2*x2+ +2*x4>= 150;1*x1+ 3*x3 +2*x4 +5*x5 >= 100;endgin7（2 ）總根數(shù)最小model:min = x1 + x2 + x3 + x4 + x5;2*x1 + 1*x2 + 1*x3>= 100;2*x2+ +2*x4>= 150;1*x1+ 3*x3 +2*x4 +5*x5 >= 100;endgin7兩種答案是不相同的。7、最小覆蓋問題ABC 是一個小型的貨物配送公司，需要每天給五個客戶發(fā)送貨物，表給出了每一條線路上的客戶，由