廣金微積分第1節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1、曲面曲面曲線曲線平平 面面柱柱 面面旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面二次曲面二次曲面一般方程一般方程一般方程一般方程空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間解析幾何空間解析幾何第七章第七章 空間解析幾何習(xí)題課空間解析幾何習(xí)題課15:58:242第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)15:58:248.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 8.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù) 8.3 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用 8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 8.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 8.6 多元函數(shù)的極值及其多元函數(shù)的極值及其 應(yīng)用應(yīng)用 返 回CALCULUS 第八章 多元函數(shù)

2、微分學(xué)15:58:243 返回 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:244 一、一、 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 二、二、 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 三、三、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性目的要求目的要求 1.1.了解平面區(qū)域、點(diǎn)的鄰域、開區(qū)域與閉區(qū)了解平面區(qū)域、點(diǎn)的鄰域、開區(qū)域與閉區(qū)域等概念域等概念 2.2.理解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定理解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域義域重點(diǎn)重點(diǎn)1.1.二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念2.2.二元函數(shù)的連續(xù)性的概念二元函數(shù)的連續(xù)性的概念 3. 3. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念以及了解二元函數(shù)的極限

3、與連續(xù)性的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:245 在在一元函數(shù)一元函數(shù)的微積分中，所討論的對象都是的微積分中，所討論的對象都是一元函數(shù)一元函數(shù)y=f(x)y=f(x)，即函數(shù)只依賴于一個自變量。，即函數(shù)只依賴于一個自變量。 在數(shù)學(xué)上，這種由多個因素才能確定的變量，在數(shù)學(xué)上，這種由多個因素才能確定的變量，就是就是多元函數(shù)多元函數(shù)。 但在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，但在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個變量依賴于多個變量的反映到數(shù)學(xué)上，就是一個變量依賴于多個變量的情形。

4、情形。第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:246 一元函數(shù)的定義域是在一元函數(shù)的定義域是在數(shù)軸數(shù)軸上討論，一上討論，一般是一個區(qū)間（開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉般是一個區(qū)間（開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間）。區(qū)間）。平面上進(jìn)行討論，二元函數(shù)平面上進(jìn)行討論，二元函數(shù)z=f (x,y)的定義域的定義域在幾何上表示一個在幾何上表示一個平面區(qū)域平面區(qū)域。量多了一個，它的定義域很自然地要擴(kuò)充到量多了一個，它的定義域很自然地要擴(kuò)充到但是對于二元函數(shù)而言，由于自變但是對于二元函數(shù)而言，由于自變一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域 2.1 2.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:247

5、. ),(0 00 0PU記記為為( (不包含圓周不包含圓周) )，為半徑的圓的內(nèi)部為半徑的圓的內(nèi)部d d為一正數(shù)，為一正數(shù)，d d,),(000平平面面上上的的一一定定點(diǎn)點(diǎn)是是設(shè)設(shè)xOyyxP,為為圓圓心心則則以以0 0P 0 00 0 PPPPU),(即即 22020)()(),( yyxxyx1、鄰域、鄰域（一）平面區(qū)域（一）平面區(qū)域一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域的的后后，稱稱為為去去掉掉中中心心上上述述鄰鄰域域0 00 00 0PP),P(U去心去心鄰域鄰域,. )P(U0 0簡簡記記為為. )(0 00 0PU簡簡記記為為稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) d d的的0P鄰域鄰域,),P(U0 0記記為為0P

6、(neighborhood)15:58:248任任一一點(diǎn)點(diǎn)，上上平平面面為為平平面面上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)集集，是是設(shè)設(shè)xOyPxOyE內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)：(1) 邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn)：)3(的的某某個個鄰鄰域域，若若存存在在 P E:的的關(guān)關(guān)系系有有以以下下三三種種與與則則EP使使得得若若存存在在,0 d d:(2)外外點(diǎn)點(diǎn), 的點(diǎn)的點(diǎn)既含有屬于既含有屬于的任何鄰域內(nèi)的任何鄰域內(nèi)若在若在EP的所有邊界點(diǎn)集合稱為的所有邊界點(diǎn)集合稱為E.的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)是是則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)EP.的的外外點(diǎn)點(diǎn)是是則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)EP.的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為點(diǎn)集為點(diǎn)集則稱則稱EPE的邊界。的邊界。,),(EPU ,),(, EPU0 0使使得得即即存存

7、在在,的點(diǎn)的點(diǎn)又含有不屬于又含有不屬于點(diǎn)點(diǎn)E2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)(boundary)15:58:259 ,2 20 00 02 22 24 41 1RyxPyxyxE 點(diǎn)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)集設(shè)點(diǎn)集例例: :中中總總有有的的去去心心鄰鄰域域，如如果果對對于于任任意意給給定定的的),(0 00 0PUP (point of accumulation)2 2、區(qū)域、區(qū)域(region):(4)聚聚點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊界界E. 3 3,.4 41 11 12 20 02 20 0 yx若若,.4 41 12 22 20 02 20 02 20 02 20 0 yxyx或或若若 ，也也可可不不屬屬于于本本身身

8、可可屬屬于于中中的的點(diǎn)點(diǎn)EEPE,EP 為為則則稱稱的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). .,的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則點(diǎn)點(diǎn)EP,的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為則則點(diǎn)點(diǎn)EP;的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)也也是是 E;的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)也也是是E .,4 41 12 20 02 20 02 20 02 20 0 yxyxyxE或或yO2 21 115:58:2510 ,中中或或設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)集集1 10 02 22 22 22 2 yxyxyxE例例: :中中總總有有的的去去心心鄰鄰域域，如如果果對對于于任任意意給給定定的的),(0 00 0PUP (point of accumulation)2 2、區(qū)域、區(qū)域(region):(4)聚聚點(diǎn)點(diǎn) ，也也可可不不

9、屬屬于于本本身身可可屬屬于于中中的的點(diǎn)點(diǎn)EEPE,EP 為為則則稱稱的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). .,),(的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)是是原原點(diǎn)點(diǎn)E0 00 0.的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)但但不不是是ExyO1 1 15:58:2511 如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集E內(nèi)任意兩點(diǎn)都能用全屬于內(nèi)任意兩點(diǎn)都能用全屬于E的折線或的折線或曲線連接起來，則稱曲線連接起來，則稱E為連通的為連通的. . 連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域. .,為為開開集集則則稱稱的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)的的點(diǎn)點(diǎn)都都如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集EEE:)(開開集集5 5(6)連通：連通：(7)區(qū)域：區(qū)域： .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(2

10、2 yxyx例如，例如，區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域.2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)15:58:2512xyO例例例例)1,1(xyO為無界開區(qū)域?yàn)闊o界開區(qū)域.0),( yxyxE區(qū)域區(qū)域1,10),( yxxyxE區(qū)域區(qū)域(8)有界與無界區(qū)域：有界與無界區(qū)域：否則稱否則稱E為為無界區(qū)域無界區(qū)域.使一切點(diǎn)使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于區(qū)域?qū)τ趨^(qū)域,ME,MAPMAPAEP ，即即不不超超過過間間的的距距離離與與某某一一定定點(diǎn)點(diǎn)為為有有界界區(qū)區(qū)域域，則則稱稱 E為有界閉區(qū)域?yàn)橛薪玳]區(qū)域.2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)15:58:2513注

11、：注：n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00d dd d內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義鄰域：鄰域：2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)15:58:2514 導(dǎo)言：導(dǎo)言：多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學(xué)研究多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學(xué)研究的對象的對象. .同一元函數(shù)類似對于多元函數(shù)也有極同一元函數(shù)類似對于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)等基本概念限、連續(xù)等基本概念.二、二、 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容類似類似且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注且密切相

12、關(guān)，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與一元函數(shù)的意與一元函數(shù)的對比對比.在研究方法上把握在研究方法上把握一般一般與與特殊特殊之間辯證關(guān)系之間辯證關(guān)系.這些內(nèi)容作為一元函數(shù)這些內(nèi)容作為一元函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:2515矩形面積矩形面積 S 與長與長 x，寬，寬 y 之間關(guān)系為之間關(guān)系為 其中長其中長 x 和寬和寬 y 是兩個獨(dú)立的變量是兩個獨(dú)立的變量, 例例2 2著名著名 的生產(chǎn)的生產(chǎn)DouglasCobb 函數(shù)為函數(shù)為 ，LcKQ 這里這里 為常數(shù)，為常數(shù)，, c0, 0 KLS= x y (x0, y0)例例1矩形面積矩形面積 S 有惟一確定值對應(yīng)有惟一

13、確定值對應(yīng).當(dāng)當(dāng)x, y 的值取定后的值取定后, 內(nèi)內(nèi),在它們變化范圍在它們變化范圍Q就就 有惟一確定的值相對應(yīng)有惟一確定的值相對應(yīng).值取定后值取定后, 當(dāng)當(dāng)K, L的的Q是一個依賴于是一個依賴于K和和L的變化而變化的量的變化而變化的量Q表示產(chǎn)量，表示產(chǎn)量，分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量， 在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，二二、 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:2516),(yx,),( ,),(Dyxzyx ),(yxfz 其中其中 稱為稱為自變量自變量，yx,),(fD).(Df設(shè)設(shè)D為為 中

14、的一個非空點(diǎn)集，中的一個非空點(diǎn)集，2RzDyxzf),(yx記為記為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)z的取值范圍稱為的取值范圍稱為值域值域，記為記為),(yx的變化范圍的變化范圍D稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域，量量，z稱為稱為因變因變又記為又記為記為記為 f ：DR ，二元函數(shù)二元函數(shù)，則稱映射則稱映射f 為定義在為定義在D上的上的一確定的實(shí)數(shù)一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，都有都有惟惟使得對于使得對于D中中每一個有序?qū)崝?shù)對每一個有序?qū)崝?shù)對射射f ，若有一個映若有一個映1.定義定義二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念15:58:2517類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定義域定義域

15、D( f )、對應(yīng)法則、對應(yīng)法則f函數(shù)的表示法：函數(shù)的表示法：（1）二元顯函數(shù)）二元顯函數(shù) z=f(x,y)（2）二元隱函數(shù)）二元隱函數(shù) F(x,y,z)=0確定函數(shù)的兩要素：確定函數(shù)的兩要素：多元函數(shù)多元函數(shù)二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念15:58:2518 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域 當(dāng)用某個解析式表達(dá)二元函數(shù)時，當(dāng)用某個解析式表達(dá)二元函數(shù)時，凡是使解析式凡是使解析式有意義的自變量所組成的有意義的自變量所組成的平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集為該二元函數(shù)的為該二元函數(shù)的定義域定義域，.,1 22的示意圖的示意圖并作出并作出的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)DDyxz 例例1 1解解, 012

16、2 yx. 1),(22 yxyxD,1 22 yx即即所以函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)閤y二元函數(shù)的定義域通常為二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域平面區(qū)域.要使函數(shù)有意義須滿要使函數(shù)有意義須滿足足有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念( (自然定義域自然定義域) )15:58:2519例例2 2.1)ln(22Dyxxyxyz的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù) 解解 010022yxxyxy函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?, 0, 0),(22 yxxyxyyxDxyxy 要使函數(shù)有意義須滿足要使函數(shù)有意義須滿足無界開區(qū)域無界開區(qū)域 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域15:5

17、8:2520例例3.14arcsin2222的的定定義義域域求求 yxyxz解解要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義,必須必須 01142222yxyx41,22 yx即即故所求定義域?yàn)楣仕蠖x域?yàn)?41),(22 yxyxD有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域xyO41 2.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域15:58:2521 ?)ln(ln)(ln 是是同同一一函函數(shù)數(shù)嗎嗎與與yxxzyxxz Solution. , 0)( )(ln yxxyxxz的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,00 )ln(ln yxxyxxz的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?)ln(ln)(ln不是同一函數(shù)不是同一函數(shù)與與yxxzyxxz ).,(,),(

18、22yxfyxyxyxf求求設(shè)設(shè) Solution. )(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2xyyyxf 例例4例例5換元法換元法15:58:2522 3.3.二元函數(shù)的幾何圖形二元函數(shù)的幾何圖形 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈. ).,(yxfz ),(zyxM),(),(),(Dyxyxfzzyx ),(yx),(zyxMxyz平面上的投影平面上的投影.而定義域而定義域 D 正是這曲面正是這曲面在在Oxy該幾何圖形通常是該幾何圖形通常是一張曲面一張曲面. 這個點(diǎn)集稱為這個點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形

19、.得到空間點(diǎn)集得到空間點(diǎn)集D上的一切點(diǎn)時上的一切點(diǎn)時, 當(dāng)當(dāng)(x, y) 取遍取遍確定空間一點(diǎn)確定空間一點(diǎn)這樣這樣, 就就對應(yīng)的函數(shù)值為對應(yīng)的函數(shù)值為 ,),(DyxP 點(diǎn)點(diǎn)對于任意取定的對于任意取定的D一元函數(shù)一元函數(shù) 表示表示 x y平面上的平面上的一條曲線一條曲線y = f (x)15:58:2623221yxz 二元函數(shù)二元函數(shù)例例2 2xyzyxz 1二二元元函函數(shù)數(shù)例例1 1表表示示平平面面即即上上半半球球面面分分上上方方的的部部單單位位球球面面）在在半半徑徑為為的的球球面面（稱稱為為,xOy,表表示示以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心):(RD)1:(22 yxD 3.3.二元函數(shù)的幾何圖

20、形二元函數(shù)的幾何圖形15:58:2624xyzoxyzsin 例例4圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例例3如右圖，為如右圖，為球面球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: 3.3.二元函數(shù)的幾何圖形二元函數(shù)的幾何圖形15:58:26254. 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 .,),(, 11記記為為元元函函數(shù)數(shù)的的為為則則稱稱的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)按按照照一一定定法法則則總總有有確確定定變變量量如如果果對對于于每每一一個個點(diǎn)點(diǎn)維維空空間間內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè)有有nxxuuDxxPDnnn ),(21nxxxfu ),(:xfy 一元函數(shù)一元函

21、數(shù)一個自變量一個自變量. ),(:yxfz 二元函數(shù)二元函數(shù)兩個自變量兩個自變量. ),(:zyxfu 三元函數(shù)三元函數(shù)三個自變量三個自變量. ),(:1nxxfun 元函數(shù)元函數(shù)n個自變量個自變量. n元函數(shù)在幾何上表示元函數(shù)在幾何上表示n+1維空間上的一般曲面維空間上的一般曲面. 二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念15:58:2626注意注意 (1) 多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如2222azyx 在討論過程中通常將其拆成幾個單值函數(shù)后在討論過程中通常將其拆成幾個單值函數(shù)后再分別加以討論再分別加以討論.(2) 多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如多元函數(shù)也有

22、分段函數(shù)，如 0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf(3) 點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù)能表示所有的函數(shù).(4) 函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算(略略)二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念15:58:2627 (5)一元函數(shù)的一元函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性、奇偶性奇偶性、周期性周期性等等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性有界性的定義仍然適用的定義仍然適用. .二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念15:58:2628(2) 多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如 0 00 ),(222222yxy

23、xyxxyyxf(3) 點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù)能表示所有的函數(shù).(4) 函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算(略略)三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 AxfxxAAxfxxxxfxx )(lim)()( 0000時時的的極極限限，記記為為為為，則則稱稱常常數(shù)數(shù)無無限限趨趨近近時時，附附近近有有定定義義，若若在在設(shè)設(shè)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一去心的某一去心),(000yxP時時當(dāng)當(dāng)0 00 0yyxx,方式方式趨于趨于定點(diǎn)定點(diǎn) 時時, ),(000yxP,),(lim00Ayxfyyxx .),(lim),(),(Ayxf

24、yxyx 0 00 0或或記作記作的的極限極限，則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù) z = f (x, y)常數(shù)常數(shù) A, 函數(shù)值函數(shù)值 f (x, y) 趨于一個趨于一個確定確定如果如果動點(diǎn)動點(diǎn) P(x, y) 在該鄰域內(nèi)以在該鄰域內(nèi)以任意任意鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義, 1.定義定義（一）二元函數(shù)的極限（一）二元函數(shù)的極限 ( (二重極限二重極限) )15:58:2629指當(dāng)指當(dāng)P (x, y) 以以任意方式與方向任意方式與方向趨趨于定點(diǎn)于定點(diǎn)P0(x0, y0), 二元函數(shù)極限的說明二元函數(shù)極限的說明： (2)對于二元函數(shù)極限的對于二元函數(shù)極限的不存在不存在, 以不同路徑趨于點(diǎn)以不同路徑趨于點(diǎn) 時

25、時, ),(000yxP在某一路徑上點(diǎn)在某一路徑上點(diǎn)P (x, y) 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) 的極限不存在的極限不存在,),(000yxP則可以斷定函數(shù)在則可以斷定函數(shù)在 點(diǎn)的極限不存在點(diǎn)的極限不存在.),(000yxP),(0 00 0yxxy特征特征.即極限趨近方式具有即極限趨近方式具有任意性任意性于于A. 函數(shù)都無限接近函數(shù)都無限接近（1）對于二元函數(shù)極限的）對于二元函數(shù)極限的存在存在是是或或函數(shù)趨于不同的值函數(shù)趨于不同的值;則有則有若當(dāng)點(diǎn)若當(dāng)點(diǎn) P (x, y)（兩種路徑）（兩種路徑）三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限15:58:2630 例例1 1 考察函數(shù)考察函數(shù) 在在 處的極限是處的極

26、限是否存在否存在. . x y -1.0-0.5-0.5-0.2-0.20 00.20.20.50.51.01.0-1.0-1.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.00-0.5-0.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.60-0.2-0.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920 0-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.00-1

27、.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.000.20.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920.50.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.601.01.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.002222),(yxyxyxf )0,0(做出函數(shù)在點(diǎn)做出函數(shù)在點(diǎn) 附近的函數(shù)值表，如下附近的函數(shù)值表，如下)0 , 0(函數(shù)函數(shù) 在在 處的

28、極限不存在處的極限不存在. .),(yxf)0 , 0(三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 15:58:2631 例例1 1 證明函數(shù)證明函數(shù) 在在 處的極限處的極限不存在不存在. .2222),(yxyxyxf )0 , 0(讓讓 沿直線沿直線 而趨于而趨于 ，),(yxkxy )0 , 0(22220limyxyxkxyx 它將隨它將隨k 的不同而具有不同的值的不同而具有不同的值. .極限極限 不存在不存在. .222200limyxyxyx 證證則有則有 2211kk )1()1(lim22220kxkxx 因此，因此，三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限15:58:2632小 結(jié)

29、三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限一、平面區(qū)域與一、平面區(qū)域與n n維空間維空間二、二元函數(shù)的定義、定義域、圖形二、二元函數(shù)的定義、定義域、圖形 作業(yè) P302 1(2)P302 1(2)，2 2（1 1）；）； 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念15:58:263334第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性15:58:26二二. .多元函數(shù)極限的概念及極限不存在的判定多元函數(shù)極限的概念及極限不存在的判定（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意

30、性任意性）復(fù)習(xí)一一. .區(qū)域、多元函數(shù)的概念區(qū)域、多元函數(shù)的概念, ),.,(nxxxfu2 21 1 點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù)能表示所有的函數(shù).2 2 n, ),(yxfz Dyx ),(Ayxfyyxx ),(lim0015:58:263536第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 國國. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性15:58:26例例2 2 討論函數(shù)討論函數(shù)222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy 解解 當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿 x 軸軸趨于趨于(0,0)

31、時時, 0,0)xy（ 當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿 y軸趨于軸趨于(0,0)時時, 當(dāng)當(dāng)(x, y)(0, 0)時的極限。時的極限。)0,0( yx),(limyxfyx0 00 0),(lim0 00 0 xfx 0 00 0 xlim,0 0 ),(limyxfyx0 00 0),(limyfy0 00 0 ,0 0 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限15:58:2637當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿 y=kx( ) 趨于趨于(0,0)時時,.0 k當(dāng)當(dāng)k取不同值時取不同值時,),(lim00yxfyx取不同值，取不同值，222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy ),(lim00y

32、xfyx22220limxkxkxkxyx 21kk .),(lim00不不存存在在故故yxfyx三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限15:58:2638確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法： （2）找兩種不同趨近方式，找兩種不同趨近方式，此時也可斷言此時也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)若極限存在若極限存在,但兩者不相等，但兩者不相等，例例3 3 證明證明 不存在不存在 26300limyxyxyx 處極限不存在處極限不存在),(0 00 00 0yxP15:58:2639例例3 3 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6

33、263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：15:58:2640不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：15:58:26412. 2. 二元函數(shù)極限的計(jì)算二元函數(shù)極限的計(jì)算 對于未定型，不再有對于未定型，不再有LHospital法則，須化法則，須化成確定型成確定型. 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似類似的性的性質(zhì)與運(yùn)算法則質(zhì)與運(yùn)算法則. . 計(jì)算二元函數(shù)的極限時，常把二元函數(shù)極限計(jì)算二元函數(shù)的極限時，常把二元函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題，再利用轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題，再利用四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則、夾逼定理夾逼定理、作、作變量代換變量代換、兩個重要極限兩個重要極限、無窮小無窮小替換替換、對函數(shù)作、對函數(shù)作恒等變換約去零因子恒等變換約去零因子、還可利用、還可利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性多元初等函數(shù)的連續(xù)性. 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限15:58:2642解解:例例4 4 求求