數學解題思維策略

1、第一講數學解題思維策略高考數學代數推理題一、數學解題的思維過程數學解題的思維過程是指從理解問題開始， 從經過探索思路， 轉換問題直至解決問題， 進行回顧的全過程的思維活動在高考試卷中，有一類問題常以高中代數的主體內容函數、方程、不等式、數列及其綜合部分為知識背景，并與高等數學知識及思想方法接軌，這就是代數推理題這類問題立意新穎， 抽象程度高，是數學問題的典型代表 具體說來，其思維過程一般分為三步： 首先要領會題意 （審題）弄清題目的條件是什么？結論是什么？如果條件和結論是用文字表達的， 則把它翻譯成數學語言；其次要明確方向在審題的基礎上，運用所學知識和數學思想方法，明確解題目標與方向；最后要規(guī)

2、范表述采用適當的步驟，合乎邏輯地進行推理和運算，并正確地表述在這里，第一步是關鍵，這就是我們通常說的審題二、如何審題？1、理清題意審題，就是明確題目的已知和未知，是解題的第一步，這一步不要怕慢從近年高考命題的特點來看，試卷容量有減少的趨向，目的也就是要突出對考生的能力檢查，增加思考量，倡導多給考生一點思考和探索的時間其實，題目本身就是“怎樣解這道題”的信息源，所以審題一定要逐字逐句看清楚，可以 從語法結構、邏輯關系和數學含義三方面來理清題意 2、條件啟發(fā)解題手段，結論誘導解題方向解題實踐表明， 條件往往預示可知并啟發(fā)解題手段， 結論則預告需知并誘導解題方向 可以按照條件列出所有的解題手段表解，

3、 根據結論寫出可能的解題方向， 并尋找出它們之間的聯系， 這樣做的另一個好處是，可以將題目進行分解，避免失分3、挖掘隱蔽條件對于條件，一定要用足用夠解題過程中的關鍵之處，往往是題目未明顯寫出的，即隱蔽給予的一方面，解題時如果遇到“盲點” ，可以回過頭來分析是否用足用夠條件；另一方面，也只有細致的審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這也說明，審題一定不要怕慢例 1（2005 年成都一診22 題）對于函數f ( x) ，若存在 x0 R ，使 f ( x0 )x0 成立，則稱 x0 為函數 f ( x) 的不動點已知 f ( x)ax2(b 1)x b1(a0) 若對 b R ，f ( x) 恒

4、有兩個相異的不動點，求實數a 的取值范圍；在的條件下，若y fx的圖像上 A、B 兩點的橫坐標是函數 fx的不動點，且 A、B 兩點=()( )關于直線 y kx (a24a4)對稱，求 b 的最小值條件分析 條件呈包含關系，子條件在結論二中列出前提條件解題手段：信息遷移（數學含義）三個“二次”結合（數形結合）；子條件解題手段：隱蔽條件；對稱性（數形結合）垂直、中點（點差法）結論分析 兩個結論結論一解題方向：不等關系；結論二解題方向：利用單調性求最值練習：1、設21b ，已知1時， f ( x) 的最小值是 8 f ( x)2(log 2x)2a log 2 xx2求 a b ；求在的條件下，

5、 f ( x)>0 的解集 A；設集合B x | xt |1 ,x，且 AB，求實數 t 的取值范圍2R答案： a b4； A x | 0 x1或 x 2 ； t1或5t38282、定義在 R上的函數 f(x滿足：如果對于任意x1, x2x1x2)2)R ，都有 f (2則稱函數 f ( x) 是 R 上的凹函數已知二次函數f ( x) ax2x(aR, a0) 求證：當 a0時，函數 f ( x) 是凹函數；如果 x 0,1, | f ( x) | 1，試求實數 a 的取值范圍答案：略；實數 a 的取值范圍為 2,0)三、若干具體的解題策略1 f ( x1 )f ( x2 ) ，為了使

6、解題的目標和方向更明確， 思路更加活潑， 進一步提高探索的成效， 我們必須掌握一些具體的解題策略 一切解題的策略的基本出發(fā)點在于變換， 即把面臨的問題轉化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察， 發(fā)現原題的解題思路， 最終達到解決原題的目的基于這樣的認識，常用的解題策略有熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化和間接化等策略1、熟悉化策略熟悉化策略，就是將陌生的題目變?yōu)樵浗膺^的比較熟悉的題目， 進而利用已有的知識、 經驗或解題模式，順利地解出原題 可以在分清題目條件和結論的基礎上，通過變換題目的條件、 結論及其聯系上下功夫聯想回憶基本知識和題型通過聯想回憶， 找出現有問題和熟悉問題之間

7、的相似之處和相同的知識點， 充分利用相似問題中的方式、方法和結論，從而解決現有問題全方位、多角度分析題意全方位分析題意，即把題目的所有條件都要分析透， 并找到各條件間以及條件和結論間的聯系，從中找出熟悉的解題手段；多角度分析題意，就是要善于從不同的側面、不同的角度去認識， 根據自己的知識和經驗，適時調整分析問題的視角，找到自己熟悉的解題方向恰當構造輔助元素通過構造輔助元素，如構造數列、構造圖形或幾何量、構造等價性命題等，改變題目的形式，變陌生題為熟悉題例 （2003年成都一診20題）已知數列an的前 n項和為 Sn，p 為非零常數，滿足條件：2a1； Snan Sn 1 pan 1( n2)；

8、3=1=4 +lim Snn2求證：數列 an 是等比數列；求數列 an 的通項公式；若 bn nan，求數列bn 的前 n 項和Tn b1b2bn=條件分析 條件呈包含關系，子條件分項列出子條件、聯想回憶：anSn Sn 1( n2)；=子條件聯想回憶：等比數列前n 項和的極限值存在，則公比q 的絕對值小于 1結論分析 三個結論結論一根據定義證明；結論二求出公比；結論三聯想回憶： 數列 bn 的通項是等差、 等比數列的通項積， 可用錯位相減法求前n 項和 解題評析 證明：Snan Sn 1 pan 1( n 2)，=4 + an=Sn Sn 1 =4an pan 1 ，（點評：應用 an S

9、n Sn 1）=( n 2 ) 3 an=pan 1 p 0 且 a1=1，an 10(n 2)，anp (常數 )，故數列 an是首項 a1，公比qp的等比數列 an 13=13（點評：應說明 an10(n2) ）解：lim Sn3 ，n2p|且 a13，0 |1p2313（點評：應用無窮遞縮等比數列前n 項和的極限 ）p ，q1=13數列 an 的通項為 an( 1 ) n 1 nn3解： bnnan1 ，323nTn b1b2bn1 132n331123n1nTn332333n13n 3，得3 1 ( 1 )n 1n ( 1 ) n 2233（點評：使用錯位相減法求數列前 n 項和 ）

10、Tn 9 3 ( 1 ) n 13n ( 1 )n 44323練習：1、數列 an 的前 n 項和記作為 Sn，已知 1 anSn(1)n 2寫出 an 的通項公式，并證明；對于給出的正整數 k，當 n>k 時，liman kA，且 A ( 0.1,0.001) ，求 k 值nSn k1答案： ann(n1)； k=2, 3, 4 2n 12、一計算裝置有一數據入口A 和一個運算結果的出口B將自然數列 n( n1) 中的各數依次輸入 A 口，從 B 口得到數列 an 結果表明：從 A 口輸入 n=1 時，從 B 口得到 a11 ；當 n23時，從 A 口輸入 n，從 B 口得到的結果 a

11、n 是將前一結果 an 1 先乘以自然數列 n( n1) 中的第 n1 個奇數，再除以自然數列 n( n 1) 中的第 n 個奇數+1從 A 口分別輸入 2 和 3 時，從 B 口分別得到什么數？猜測并證明當入口 A 輸入自然數列 n( n 1) 時，從 B 口得到的數列 an 的通項公式；為滿足計算需要，工程師對裝置進行了改造，使 B 口出來的數據 an 依次進入 C 口進行調整，結果為一列數據 bn 若 bn1，則非零常數 p、q 滿足什么關系式，才能使 C 口所得數列( pnq)an bn 為等差數列？答案： 1和 1； an1； p2q 1535(2 n 1)(2n1)3、一個正三棱錐

12、，其側棱長為1，且三條側棱兩兩垂直，求該三棱錐的外接球的表面積答案：3 2、簡單化策略簡單化策略，就是當我們面臨的是一道結構復雜、難以入手的題目時， 要設法將其轉化為一道或幾道比較簡單、 易于解答的新題， 以便通過對新題的考察， 啟迪解題思路， 以簡馭繁，解出原題簡單化是熟悉化的補充和發(fā)揮 一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉 因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已解題中， 實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有：尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當分解結論等尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件就多數結構復雜的題目的生成背景而論， 大多是由一

13、些簡單題目經適當組合并抽去中間環(huán)節(jié)而構成的因此， 應盡可能從題目的因果關系入手， 尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯系的系列題，以實現復雜問題簡單化分類考察討論某些題目，其解題的復雜性在于它的條件、結論（或問題）包含多種不易識別的可能情形對于這類問題，選擇恰當的分類標準， 把原題分解成一組并列的簡單題， 有助于實現復雜問題簡單化簡化已知條件，恰當分解結論如果解題的復雜性來自于條件或結論的抽象概括， 可以考慮將條件進行簡單化處理， 或嘗試把結論分解為幾個簡單的部分，以便各個擊破，解出原題 例 3 已 知 等 比 數 列 xn 的 各 項 為 不 等 于 1 的 正 數 ， 數

14、列 yn 滿 足 yn log xn a 2(a 0且 a 1) ，設 y3 18 ， y6 12 求數列 yn 的前多少項和最大，最大值為多少？試判斷是否存在自然數M，使當 n>M時， xn1恒成立？若存在，求出相應的M，若不存在，請說明理由；令 anlog xn xn 1 (n13, nN ) ，試判斷數列 an 的增減性 條件分析 三個條件 第一個條件解題手段：等比數列；第二個條件解題手段：兩個數列間的關系等比數列的對數；第三個條件解題手段：第二個數列具體化 結論分析 三個結論，皆屬探索性命題 結論一最值探索；結論二有界性探索；結論三單調性探索 解題關鍵 數列是定義在正整數集上的函

15、數解題評析（I ）設等比數列 xn 的公比為 q(q1) ，則yn22 loga xn log xnayn 1ynxn 12 log a q ，2(log a xn 1 log a xn ) 2log axn數列 yn 為等差數列，設公差為 d（點評：挖掘隱含條件數列 yn 為等差數列 ）y318 ， y6 12 ，dy6 y32 ，3yny3 (n 3) ( 2) 24 2n 設數列 ynyk0k 12， 前 k 項和最大，則11yk 10 前 11 項和及前 12 項和為最大，其和為132（ II ） xna12 n , n N 若 xn 1，即 a12 n 1，當 a>1 時， n

16、<12，不等式不成立；當 0<a<1 時， n>12，不等式成立 （點評：分類考察討論）存在 M12, 13, 14,，當 n>M時， xn1恒成立 12 ( n 1)（ III） anlog xnxn 1log a12n a12( n 1)log a a12 nn11 log a an12an 1ann10n1110(n13)，n11n12(n11)(n12) n>13 時，數列 an 為遞減數列練習：1、若函數253) 的最大值為1，求a的值y sinxa cos xa(0x822答案： a3 2、已知 c20 設 P：函數x在 R上單調遞減； ：不等式

17、x | x 2c | 1的解集為如果Py cQR和 Q有且僅有一個正確，試求c 的取值范圍答案： c11,) (0, 23、設函數 f ( x)ax2bxc ，對一切 x 1,1，都有 | f ( x) |1 ，求證：對一切 x 1,1 ，都有 | 2ax b | 43、直觀化策略直觀化策略，就是當我們面臨的是一道內容抽象、 不易捉摸的題目時， 要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題， 以便憑借事物的形象把握題中所涉及的各對象之間的聯系， 從而找到原題的解題思路圖表直觀有些數學題，內容抽象，關系復雜，給理解題意增添了因難， 常常會由于題目的抽象性和復雜性，使正常的思維難以進行到底 . 對于這

18、類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，將有助于抽象內容形象化，復雜關系條理化， 使思維有相對具體的依托， 便于深入思考，發(fā)現解題線索圖形直觀對某些涉及數量關系的題目，用代數方法求解，計算量偏大這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關數量以恰當的幾何分析，以拓寬解題思路，找到簡捷、合理的解題途徑圖象直觀不少涉及數量關系的題目， 都與函數的圖象密切相關 如果靈活運用函數圖象的直觀性，常?？梢砸院嗰S繁，獲得簡便、巧妙的解法例 4某摩托車生產企業(yè)， 上半年生產摩托車的投入成本1 萬元 / 輛，出廠價為 1.2 萬元 / 輛，年銷售量為 1000 輛，本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度投入

19、成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0< x<1) ，則出廠價相應的提高比例為0.75 x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6 x，已知年利潤(出廠價 投入成本 )年銷售量 寫出本年度預計的年利潤 y 與投入成本增加比例 x 的關系式；為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x 應在什么范圍內？試題分析 列表如下：成本（萬元 / 輛）出廠價（萬元 / 輛）銷售量（輛）去年11.21000今年x1.2(1+0.75x)1000(1+0.6x)1+解題評析 依題意和上表數據有y1.2 (10.75 x) 1(1x)1000(1 0.6x)(0 x1) ，整理得 y60

20、x220x 200(0x1) （點評：布列關系式時，不僅要緊扣題意，還要注意自變量x 的取值范圍，特別是應用題的定義域必須同時滿足解析式有意義和實際問題有意義，只有準確寫出定義域方可避免解答過程的失誤或答案的失誤 ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當將 y 的關系式代入，解不等式組得0 x1 3x 應滿足x答：為保證本年度的利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例0< <0.33例 5設 | z|=1 ，且 arg z (, 3) ，求 arg zi 的值 22zi試題分析 利用復平面，將復數與點及向量對應，以便展開幾何上的定形分析解題評析 設 z、i 、 i 在復平面上

21、對應的點分別為P、A、Barg z (,3 )，22P 點在左半單位圓上，如圖，AP 、 BP 分別表示對應復數 z i 、z i+由復數除法的幾何意義知， arg zi 表示 BP 逆時針方向旋轉到 AP 方向ziyAPOx的最小正角，B又ziAB是圓的直徑，故 argiz2（點評：本題可利用復數z 的三角形式或共軛復數的性質求解，但如果調整思維視角， 由“數”的方向轉到“形”的角度去觀察，就可簡捷地解答此題）例方程x+lgx=3和 xx的兩實根分別為 x1、x2，則 x1x26+10 =3+ =_解題評析3由 x+lgx，得lgx=3 x由 xx，得x x=3+10 =310 =3分別作出

22、 y=lg x， y=10x 及 y=3 x 的圖象，并注互為反函數，直線y=x 與 y=3 x 互相垂直，可知y意 y=lg x 與 y=10xx1x2 xM，如圖+ =2由 yx,得M(3, 3)，y3 x,2 2 x1+x2 =2xM=3（點評：看似無法求解的問題通過圖象分析找到了巧妙的解法4、特殊化策略A1MBO 1x）特殊化策略，就是當我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時， 要注意從一般退到特殊， 可以考慮是否滿足一些特殊的條件， 或考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題， 以從特殊問題的研究中，發(fā)現解答原題的方向或途徑例7設二次函數f ( x) x 2bxc(b, cR)

23、，對任意實數、 ，恒有 f (sin )0 ，且f (2 cos)0 求證 bc1 ；求證 c3 ；若 f (sin) 的最大值為 8，求 b、c 的值 試題分析 注意到1sin1及 12cos3 ，實施特殊化策略（賦值法）可解解題評析 1sin1，且 f (sin )0 ，f (1)0又12cos3，且 f ( 2cos) 0，f (1)0（點評：特殊化策略 ） f (1) 0 ，即 1+ b+c=0（點評：賦值法 ） b c 1 f (3)0 ，即 9 3b c0 ，由（ I ）， b c1 ，c 3 （點評：注意利用的結論） f (sin)sin2( 1c) sinc(sin1 c) 2

24、c(1 c) 2 22c 3 ， 1c2 ， f (sin) 的最大值為8，2當 sin1 時， f (sin)8 ，即 1 bc 8 （點評：配方定軸看單調 ）解方程組 1bc8,bc1.得 b 4 ，c=3練習：、設函數 fx是定義在 R 上的增函數， f(1)=aa，且f x)mf(mx mR，求 f ( x) 并1( )( >0)(),證明a>1答案： f (x)ax 、已知函數定義域為R，對于任意實數x1 , x2都滿足 f (x1x2 )f ( x1)f ( x2 ) ，當 x 0 時，2f ( x)0 判斷 f ( x) 的奇偶性和單調性；當0, 時，f (cos23

25、)f (4 m2m cos)0 對所有的均成立，求實數 m的取值范圍2答案：略；(422,) 3、在ABC 中，若 c2a2b2 ，則 ABC 為直角三角形，且 C為直角現在請你研究：若 cnanbn (n2, nN ) ，則 ABC 為何種形狀的三角形？答案：銳角三角形5、一般化策略一般化策略，就是當我們面臨的是一道 計算比較復雜 或內在聯系不甚明顯 的特殊問題時， 應設法把特殊問題一般化， 從而找出一個能夠揭示事物本質屬性的一般情形的方法、 技巧或結果， 以順利解出原題 例8 （ 2002理 ） 已 知 函 數 f ( x)x2， 那 么 f (1) f (2) f ( 1 ) f (3)

26、1x22f ( 1) f (4)f ( 1 ) _34練習：1、已知函數 f ( x) a1xa2 x2a3x3Lan xn , n N，且 a1, a2 ,L ,an 構成一個數列 an ，滿足f (1) n2 求數列 an 的通項公式，并求 liman之值；nan 1證明10 f ( ) 13答案： an 2n1， lim an1 ；略nan12、已知橢圓 x2y2a2 (a0) 和點 A( 1,1)， B(2,4) 若線段 AB 與橢圓沒有公共點，求實數2a 的取值范圍6答案： a(0,)(23,) 6、簡接化策略間接化策略，就是當我們面臨的是一道從正面入手復雜繁難， 或在特定場合甚至找

27、不到解題依據的題目時，就需要改變思維視角， 從結論（或問題）的反面進行思考， 以便化難為易解出原題 . 所謂正難則反，說的也就是這個意思例 9函數f ( x)1的定義域為，且 lim f (n)0( nN )bxRn1 a2a求證：，b ；>0<0若 f (1)4 且 f (0)1 , 求證： f (1)f (2)f (n)n11 (n N ) 522n 12解題評析 f ( x) 的定義域為 R， 1 a 2bx0 ，即 a2 bx ，由 x R ，有 a 0（點評：定義域優(yōu)先 ）若a，則 fx)=1，與lim f ( n)0矛盾=0(n（點評：正難則反）a，>0111(0

28、2 b1)limf ( n) lim1bn1(2 b1)nna 2a0( 2 b1)（點評：分類討論 ） 2 b 1，即 b<0故 a>0， b<0f (0)11 ，1a2a=1又 f (1)14，1 2b5 2b1 ， b2 4（點評：待定系數法 ）f ( x)14x111 2 2 x1 4x14 x當 kN 時， f (k) 11k11k ，1422（點評：一般化策略 ）f (1)f (2)f ( n)n(1121)222222n11n4 (12n)111n2n 1212練習：1、若二次函數 f ( x)4x22( p2) x2 p2p1在區(qū)間 1,1上至少存在一點，使0

29、，mf (m)求實數 p 的取值范圍答案： p( 3,3) 212、某正態(tài)總體的概率密度函數是偶函數，而且該函數的最大值為，求總體落入區(qū)間2( 1.2,0.2) 之間的概率（參考數據：(0.2) 0.5793 ， (1.2)0.8849 ）答案： 0.4642 、盒子里裝有若干個球，每個球都記有從1開始的一個號碼，設號碼為n 的球重 n21535n3（克）假設盒子的容量最多可裝 35 個球，而且符合條件的球無一例外的都被裝入盒中， 這些球以等可能性（不受重量、號碼的影響）從盒子里取出如果任意取出一球，試求其重量大于號碼數的概率；如果同時任意取出2 球，試求它們重量相同的概率答案： 28 ；43

30、5595四、尋根查祖，提高數學解題能力可以通過以下探索途徑來提高解題能力：1、研究問題的條件時，在需要與可能的情況下，可畫出相應圖形或思路圖幫助思考因為這意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解2、清晰地理解情境中的各個元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的 3、深入地分析并思考習題敘述中的每一個符號、術語的含義，從中找出習題的重要元素，要在圖中標出（用直觀符號） 已知元素和未知元素， 并試著改變一下題目中 （或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現 4、盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點，聯想以前是否遇到過類似題目5、仔細考慮題意是否有其他不同理解題目的條件有無多余的、互相矛盾的內容？是否還缺少條件？6、認真研究題目提出的目標通過目標找出哪些定理、法則、公式同題目或其他元素有聯系7、如果在解題中發(fā)現有你熟悉的一般數學方法，就盡可能用這種方法的語言表示題的元素，以利于解題思路的展開 以上途徑特別有利于開始解題者能迅