武漢工程大學工程電磁場第三章恒定電場

1、第三章第三章 恒定電場恒定電場23-1 3-1 導電媒質中的恒定電場、局外電場導電媒質中的恒定電場、局外電場3-2 3-2 電流密度、歐姆定律及焦爾電流密度、歐姆定律及焦爾- -楞次定律的微分形式楞次定律的微分形式3-3 3-3 恒定電場的積分形式定理恒定電場的積分形式定理3-4 3-4 媒質分界面上的邊界條件媒質分界面上的邊界條件3-5 3-5 恒定電場中基本定理恒定電場中基本定理的微分形式與拉普拉斯方程的微分形式與拉普拉斯方程3-6 3-6 導電媒質中的恒定電場與電介質中靜電場的導電媒質中的恒定電場與電介質中靜電場的比擬比擬3-7 3-7 接地電阻的計算接地電阻的計算 第第3 3章章 恒定

2、電場恒定電場恒定電場也是由電荷引起的。與靜電場有所不同，這些電荷恒定電場也是由電荷引起的。與靜電場有所不同，這些電荷對觀察者來說是有相對運動的。它們雖在空間有宏觀的運動，但對觀察者來說是有相對運動的。它們雖在空間有宏觀的運動，但在導電媒質中的分布情況卻是不隨時間而改變的。也就是場域中在導電媒質中的分布情況卻是不隨時間而改變的。也就是場域中各處電流密度的分布是不隨時間而改變的。各處電流密度的分布是不隨時間而改變的。3 要在導線中維持恒定電流，必須要在導線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將依靠非靜電力將B B極板的正電荷抵抗電極板的正電荷抵抗電場力搬到場力搬到A A極板。極板。這種提供非靜電力將這

3、種提供非靜電力將其它形式的能量轉為電能裝置稱為電其它形式的能量轉為電能裝置稱為電源。源。1.電源電源恒定電流的形成恒定電流的形成3-1 3-1 導電媒質中的恒定電場、局外電場導電媒質中的恒定電場、局外電場 恒定電流場恒定電流場是恒定電場作用在導電媒質中所引起的電荷是恒定電場作用在導電媒質中所引起的電荷流動的物理過程。流動的物理過程。2.恒定電流場恒定電流場qE4 電源電動勢與有無外電路無關，它是電源電動勢與有無外電路無關，它是表示電源本身的特征量。且與搬移電荷的表示電源本身的特征量。且與搬移電荷的數量無關，即與電源的電流大小無關。數量無關，即與電源的電流大小無關。3.電源電動勢與局外場強電源電

4、動勢與局外場強設局外場強為設局外場強為電源電動勢與局電源電動勢與局外場強外場強 Vl dEBA0dqFdqFEqlim00電源電動勢為電源電動勢為BAeleldEldE 因此局外場因此局外場 E E0 0 是非保守場。是非保守場。 局外場只存在于電源之中局外場只存在于電源之中5dSdISIslim0 (3-3)(3-3) 3-2 3-2 電流密度、歐姆定律及焦爾楞次電流密度、歐姆定律及焦爾楞次定律的微分形式定律的微分形式1 電流密度矢量電流密度矢量 其方向為該點正自由電荷運動的方向，即該點電場強度矢其方向為該點正自由電荷運動的方向，即該點電場強度矢量量 的方向。的方向。E2 歐姆定律的微分形式

5、歐姆定律的微分形式E (3-4)(3-4) ：媒質的電導率，單位為西門子每米（媒質的電導率，單位為西門子每米（S/mS/m）SSdI 63 焦爾定律的微分形式焦爾定律的微分形式 導電媒質中有電流時，必伴隨功率損耗，其功率的體密度為導電媒質中有電流時，必伴隨功率損耗，其功率的體密度為Ep（W/m3）焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式 電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即RIUIP2（W）焦耳定律的積分形式焦耳定律的積分形式7RE2120lnRRRRUEo12ln222121RRdRREdRURRRRo12lnRRRUEo例例3-13-1 圓柱形電容器內導

6、體的外半徑為圓柱形電容器內導體的外半徑為R1 1，外導體的內半徑為，外導體的內半徑為R2 2，其間電介質并非理想的絕緣介質，其電容率為，其間電介質并非理想的絕緣介質，其電容率為，電導率為，電導率為，若于內導體至外導體間施以恒定電壓，若于內導體至外導體間施以恒定電壓U0 0，求單位長度上流，求單位長度上流過介質的電流及功率消耗。過介質的電流及功率消耗。 解解 設內導體單位長度上電荷為設內導體單位長度上電荷為，則其所激發(fā)的電場強度為，則其所激發(fā)的電場強度為120120ln22lnRRURRRRUSdIS81220212020ln22ln21RRURdRRRRUdVEdVPPVVRR2ln1200R

7、RIUR單位長度上所消耗的功率單位長度上所消耗的功率單位長度上的絕緣電阻單位長度上的絕緣電阻 （3-103-10）9StqISd（3-113-11）3-3 3-3 恒定電場的基本定理恒定電場的基本定理1 電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程 在任意恒定電場中，作任意閉合曲在任意恒定電場中，作任意閉合曲面面S，由電荷守恒定律得，由電荷守恒定律得 圖圖3-3 3-3 穿過閉合曲面穿過閉合曲面的電流密度線的電流密度線在恒定電流場中，在恒定電流場中，0tqSSd0（3-123-12）恒定電場的電流連續(xù)性方程的積分形式恒定電場的電流連續(xù)性方程的積分形式1000dVSdVS高斯公式恒定電場是一個無源場，電流線是連

8、續(xù)的。恒定電場是一個無源場，電流線是連續(xù)的。0電流連續(xù)性方程的微分形式電流連續(xù)性方程的微分形式 電流的連續(xù)性方程說明了恒定電流場具有電流的連續(xù)性方程說明了恒定電流場具有什么性質？什么性質？11 在恒定電場中，電場的分布恒定，它的能量狀態(tài)亦是恒定在恒定電場中，電場的分布恒定，它的能量狀態(tài)亦是恒定的。的。2 環(huán)路定理環(huán)路定理0 E環(huán)路定理的微分形式環(huán)路定理的微分形式ll dE0恒定電場的環(huán)路定理的積分形式恒定電場的環(huán)路定理的積分形式0)(0SdEl dEsl斯托克斯公式 環(huán)路定理說明了恒定電流場具有什么性質？環(huán)路定理說明了恒定電流場具有什么性質？恒定電場能否引入電位函數？恒定電場能否引入電位函數？

9、 上式中的電場強度能否包括局外電場？上式中的電場強度能否包括局外電場？12 恒定電場是無源無旋場。恒定電場是無源無旋場。小結：恒定電場（電源外）的基本方程小結：恒定電場（電源外）的基本方程0Sds0l dEcE00 EEp(1)(1)恒定電場中是否存在泊松方程？恒定電場中是否存在泊松方程？(2)(2)恒定電場基本定理可以推出電路理論中的什么定律？恒定電場基本定理可以推出電路理論中的什么定律？1302E當媒質均勻時 則得 0023 恒定電場的拉普拉斯方程恒定電場的拉普拉斯方程通常將無旋又無源的場稱之為調和場。調和場滿足拉普拉斯通常將無旋又無源的場稱之為調和場。調和場滿足拉普拉斯方程。而滿足拉普拉

10、斯方程的位函數，則稱之為調和函數。方程。而滿足拉普拉斯方程的位函數，則稱之為調和函數。14nn21 (3-14 )(3-14 )ttEE21(3-15)(3-15)不同導電媒質交界面處，恒定電場的折射定理：不同導電媒質交界面處，恒定電場的折射定理：3-4 3-4 媒質分界面上的邊界條件媒質分界面上的邊界條件1.不同導電媒質交界面上的邊界條件不同導電媒質交界面上的邊界條件(1)(1)邊界條件邊界條件設有媒質電導率分別為設有媒質電導率分別為 的交界面，可得的交界面，可得21, 上式說明，在不同導電媒質交界面處，電流密度矢量上式說明，在不同導電媒質交界面處，電流密度矢量 的法線分量連續(xù)。的法線分量連

11、續(xù)。 在不同導電媒質交界面處，恒定電場強度在不同導電媒質交界面處，恒定電場強度 的切線分的切線分量連續(xù)。量連續(xù)。E2121tantan12n121215圖圖3-4 3-4 電流由電導率電流由電導率大的媒質流入電導率小大的媒質流入電導率小的媒質的媒質 在實際問題中，經常存在兩在實際問題中，經常存在兩種媒質的電導率數值相差極大的種媒質的電導率數值相差極大的情形，這時當電流由電導率大的情形，這時當電流由電導率大的媒質區(qū)域流向交界面時，不管其媒質區(qū)域流向交界面時，不管其與界面的交角如何，離開交界面與界面的交角如何，離開交界面進入電導率小的媒質區(qū)域的電流進入電導率小的媒質區(qū)域的電流密度線幾乎與界面垂直，

12、這是因密度線幾乎與界面垂直，這是因為當為當 之故。之故。2121,(2)(2)分析分析16圖圖3-5 3-5 電流由導體電流由導體流入土壤流入土壤 在電力工程中，為了保證設備及人在電力工程中，為了保證設備及人身安全，必須設置專門的金屬接地裝置，身安全，必須設置專門的金屬接地裝置，圖圖(3-5)(3-5)為簡單的接地棒接地裝置。若其為簡單的接地棒接地裝置。若其材料為鋼，則其電導率約為材料為鋼，則其電導率約為5 5106S/m106S/m，如取地的土壤電導率為如取地的土壤電導率為2 210-2S/m10-2S/m，當，當鋼中電流密度鋼中電流密度與交界面法線的交角與交界面法線的交角118989595

13、9時，得時，得2323。由此可見，。由此可見，當電流從電導率高的接地體流入電導率當電流從電導率高的接地體流入電導率低的土壤時，土壤中的電流密度線幾乎低的土壤時，土壤中的電流密度線幾乎完全垂直于接地體表面，這時可以近似完全垂直于接地體表面，這時可以近似認為接地體表面為等位面。認為接地體表面為等位面。(3)(3)邊界條件的應用邊界條件的應用171.具有漏電電流的兩非理想電介質交界面的邊界條件具有漏電電流的兩非理想電介質交界面的邊界條件(1)(1)非理想介質非理想介質 在處理非理想介質邊界條件時，既要考慮其導電性，又要在處理非理想介質邊界條件時，既要考慮其導電性，又要考慮其特有的介質性能?？紤]其特有

14、的介質性能。 在新的情況下，不能斷定交界面處是否有自由電荷存在，在新的情況下，不能斷定交界面處是否有自由電荷存在，因而增添一個描述靜電場交界面處的連接條件，即因而增添一個描述靜電場交界面處的連接條件，即nnDD12 幾乎所有電介質的電導率都不為零，都是非理想介質，它幾乎所有電介質的電導率都不為零，都是非理想介質，它們在電場的作用下，內部均將引起漏電電流（們在電場的作用下，內部均將引起漏電電流（ ）。）。E18交界面處才不存在自由面電荷。交界面處才不存在自由面電荷。(2)(2)邊界條件的推導邊界條件的推導nnnnnnnnttEEEEDDEE11222211122121可見只有在下式成立的情況下可

15、見只有在下式成立的情況下n11122（3-223-22）1122（3-233-23）19圖圖3-6 3-6 架空輸電線的電場架空輸電線的電場3.導電媒質與理想電介質交界面的邊界條件導電媒質與理想電介質交界面的邊界條件 在通常情況下，導體表面電在通常情況下，導體表面電場強度的法線分量場強度的法線分量EnEn比切線分量比切線分量EtEt大得多，因而在絕緣媒質中，大得多，因而在絕緣媒質中，電場強度線仍然近似垂直于導體電場強度線仍然近似垂直于導體表面。因而，導電媒質與理想電表面。因而，導電媒質與理想電介質交界面的邊界條件為：介質交界面的邊界條件為：021nn(3-24)(3-24)ttEE21(3-2

16、5)(3-25)nnED22(3-26)(3-26)20圖圖3-7 3-7 例例3-23-2圖圖例例3-23-2 同軸電纜其內導體外半徑為同軸電纜其內導體外半徑為R1R1，填充有兩層非理想電介質，填充有兩層非理想電介質，介質分界面的半徑為介質分界面的半徑為R2R2，它們的電容率分別為，它們的電容率分別為11及及22，電導率，電導率分別為分別為11和和22，外導體的內半徑為，外導體的內半徑為R3R3。設內外導體間加電壓。設內外導體間加電壓U0U0，試求兩介質中的電場強度及介質分界面的自由電荷面密度。試求兩介質中的電場強度及介質分界面的自由電荷面密度。 解解 設同軸電纜單位長度由內導體流到外設同軸

17、電纜單位長度由內導體流到外導體的漏電流為導體的漏電流為I0I0，由電流的連續(xù)性可知，由電流的連續(xù)性可知流過單位長度上任一半徑為流過單位長度上任一半徑為R R（R1R1R RR3R3）的圓柱面上電流均為的圓柱面上電流均為I0I0，又由同軸電纜的，又由同軸電纜的對稱性，知同一圓柱面上各點電流密度矢對稱性，知同一圓柱面上各點電流密度矢量應為徑向，且大小相等。量應為徑向，且大小相等。21內外導體間電壓為內外導體間電壓為RI202（R2RR1）Enn,211012RIE 2022RIE （R1RR2)（R2RR3)2123112202010110lnln22232213221RRRRIdRRIdRRId

18、REdREURRRRRRRRRI201因此因此 （R1RR2）R=R2222311220210lnln2RRRRUI于是，可由已知的電壓于是，可由已知的電壓U0U0求出求出I0 I0 代入上式得到代入上式得到RRRRRUE231122021lnlnRRRRRUE231122012lnln（R1RR2)（R2RR3)22311221221011122lnlnRRRRRUn23圖圖3-8 3-8 例例3-33-3圖圖例例3-33-3 厚度為厚度為h=4=4mm的薄鋼片，其形狀、尺寸、電極位置和的薄鋼片，其形狀、尺寸、電極位置和電位如圖所示，若鋼的電導率為電位如圖所示，若鋼的電導率為5 510106

19、 6S/ /m，R1 1=30mm=30mm，R2 26060mm，求電極之間的電阻。，求電極之間的電阻。0111222222222ddrdzdddrrrrr解解 用拉普拉斯方程來求解。選用拉普拉斯方程來求解。選用圓柱坐標系，用圓柱坐標系， 僅與坐標僅與坐標 有關，有關，而與而與r、z坐標無關，拉普拉斯方坐標無關，拉普拉斯方程簡化為程簡化為 24邊界條件邊界條件0200，U02012UCUC21CC直接積分得直接積分得002UUerUergradE0211200ln2221RRhUhdrrUSdISRR通過薄鋼片截面的電流通過薄鋼片截面的電流erUE02電流密度為電流密度為25120ln2RR

20、hIUR433361013. 110301060ln1041052R因此電極之間的電阻因此電極之間的電阻最后，代入已知數據最后，代入已知數據26dEdl dEU0dUE dUEDdxl dEdxdUsSDSSdDdSqdUSq圖圖3-9 3-9 平板電容器平板電容器電介質中的電場電介質中的電場3-6 3-6 導電媒質中的恒定電場與電介質導電媒質中的恒定電場與電介質中靜電場的比擬中靜電場的比擬1.靜電場與恒定電場的相似關系靜電場與恒定電場的相似關系 實例：一面積為實例：一面積為S的平板電容器，如果兩板間電壓為的平板電容器，如果兩板間電壓為U，就，就能夠求得其中的電場強度能夠求得其中的電場強度 ，

21、電位函數，電位函數 ，電位移矢量，電位移矢量 以及以及極板電荷極板電荷q的表達式。的表達式。ED27圖圖3-10 3-10 平行電極間導平行電極間導電媒質中的電場電媒質中的電場dEdl dEU0dUE dUEdxl dEdxdUsSSdIdUSI 若設想電容器的極板為良導體，而將上述電容器中的電介若設想電容器的極板為良導體，而將上述電容器中的電介質，換以電導率質，換以電導率很小的導電媒質，此時電流密度線可視為與很小的導電媒質，此時電流密度線可視為與板面垂直，在兩極板間仍然施以電場板面垂直，在兩極板間仍然施以電場U，則可求得極板間恒定，則可求得極板間恒定電場的場量電場的場量 、 、 與與I。E2

22、8表3-1 靜電場與恒定電場的主要對應關系無自由電荷分布區(qū)域的靜電場無自由電荷分布區(qū)域的靜電場無局外場區(qū)域恒定電場無局外場區(qū)域恒定電場積分積分形式形式sBABAlSdDql dEl dE0SBABAlSdIl dEl dE00002EDDdivgradEErot微分微分形式形式0002EdivgradEErot邊界邊界條件條件nnttDDEE2121nnttEE212129靜電場的主要靜電場的主要物理量物理量恒定電場的主恒定電場的主要物理量要物理量EEDIq表3-2 靜電場與恒定電場主要物理量的對應關系因而在均勻媒質情況下，當兩種場的邊界條件（邊界形狀因而在均勻媒質情況下，當兩種場的邊界條件（

23、邊界形狀及邊界賦值）完全相同時，它們的及邊界賦值）完全相同時，它們的 場與場與 場是完全相同的，場是完全相同的，而而 場與場與 場則是彼此相似的。場則是彼此相似的。ED30圖圖3-11 3-11 靜電場圖（靜電場圖（a a）與）與恒定電場（恒定電場（b b）類比示意）類比示意2.靜電場與恒定電場的類比靜電場與恒定電場的類比332211（3-483-48） 在非同一媒質情況下，若在非同一媒質情況下，若靜電場中的電介質與恒定電場靜電場中的電介質與恒定電場中導電媒質是分區(qū)均勻的，且中導電媒質是分區(qū)均勻的，且有同一相應的分布區(qū)域，此時有同一相應的分布區(qū)域，此時若兩場中的導體邊界條件亦相若兩場中的導體邊

24、界條件亦相同，欲使兩場的場強相等，由同，欲使兩場的場強相等，由場的連接條件得場的連接條件得 若上述條件中，若靜電場與恒定電場的場強及電位的分布雖若上述條件中，若靜電場與恒定電場的場強及電位的分布雖然彼此不完全相同，但仍然是相似的。運用它們彼此間的相似關然彼此不完全相同，但仍然是相似的。運用它們彼此間的相似關系，將一種場的求解方法過渡到另一種場中來，這種方法稱之為系，將一種場的求解方法過渡到另一種場中來，這種方法稱之為場的場的比擬法比擬法。31圖圖3-12 3-12 兩平行輸電兩平行輸電線間的漏電導線間的漏電導LsLSl dESdEl dESdDUqC0(3-50)(3-50)LsLSl dESdEl dESdUIG(3-4