常微分方程在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用實(shí)用教案

1、第一節(jié) 常微分方程(wi fn fn chn)的基本概念與分離變量法 第二節(jié) 一階線性微分方程(wi fn fn chn)與可降階的高階微分方程(wi fn fn chn) 第三節(jié) 二階常系數(shù)(xsh)線性微分方程 第1頁/共52頁第一頁，共53頁。第一節(jié) 常微分方程的基本概念與分離(fnl)變量法 一、微分方程(fngchng)的基本概念1. 微分方程(fngchng) 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程(fngchng)稱為微分方程(fngchng)。 注：在微分方程(fngchng)中，如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，則方程(fngchng)稱為常 微分方程(fngchng)，簡稱微分方程(fngc

2、hng)。2. 微分方程(fngchng)的階 微分方程(fngchng)中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程(fngchng)的階.第2頁/共52頁第二頁，共53頁。一般(ybn)地，n 階微分方程的一般(ybn)形式為： 3. 微分方程的解、通解 （1）若某函數(shù)代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，則這個(gè)函 數(shù)為該微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的解, 顯然 y = x2 + C 也是方程（1）的解. （2）如果微分方程的解中所含獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階 數(shù)，這樣(zhyng)的解稱為微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程（1）的通解. 4微分方

3、程的初始條件和特解 （1）確定通解(tngji)中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件； 第3頁/共52頁第三頁，共53頁。一般(ybn)地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為： （2）由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解，稱為(chn wi)微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.第4頁/共52頁第四頁，共53頁。中含有一個(gè)任意常數(shù)C，而所給方程(fngchng)又是一階微分方程(fngchng)， 是所給方程(fngchng)的通解. 中含有兩個(gè)任意(rny)常數(shù)，而所給方程又是二階的， 第5頁/共52頁第五頁，共53頁。二、分離變量(binli

4、ng)法 1定義 形如 的方程稱為(chn wi)可分離變量的方程. 特點(diǎn) - 等式右端可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中(qzhng)一個(gè)只是x 的函數(shù)，另一個(gè)只是y的函數(shù)2解法 設(shè)第6頁/共52頁第六頁，共53頁。當(dāng)g(y)0時(shí)，兩端積分(jfn)得通解 注 (1)當(dāng)g(y)=0時(shí)，設(shè)其根為y =，則y =也是原方程(fngchng)的解； 解 分離(fnl)變量，得 ydy = -xdx , 第7頁/共52頁第七頁，共53頁。 說明：在解微分方程(wi fn fn chn)時(shí)，如果得到一個(gè)含對(duì)數(shù)的等式，為了利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將結(jié)果進(jìn)一步化簡，可將任意常數(shù)寫成klnC的形式，k的值可根據(jù)實(shí)際情況來確

5、定，如例2中取k=1/2. 第8頁/共52頁第八頁，共53頁。例5 設(shè)降落傘從跳傘臺(tái)下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘 離開塔頂(t = 0)時(shí)的速度為零。求降落傘下落速度與時(shí)間的函 數(shù)關(guān)系.解 設(shè) 降落傘下落速度為v(t)時(shí)傘所受空氣阻力為-k （負(fù)號(hào)(f ho)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反（k為常數(shù)） 傘在下降過程中還受重力P = mg作用， 由牛頓(ni dn)第二定律得 于是(ysh)所給問題歸結(jié)為求解初值問題 第9頁/共52頁第九頁，共53頁。第10頁/共52頁第十頁，共53頁。 由此可見，隨著(su zhe)t的增大，速度趨于常數(shù)mg/k，但不會(huì)超過mg/k，這說明跳傘后，開始階段是

6、加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng). 第11頁/共52頁第十一頁，共53頁。第二節(jié) 一階線性微分方程(wi fn fn chn)與可降階的高階微分方程(wi fn fn chn) 一、一階線性微分方程(wi fn fn chn) 1定義： 形如 的方程，稱為一階線性微分方程(wi fn fn chn)，其中P(x)、Q(x)是已知的連續(xù)函數(shù), Q(x)稱為自由項(xiàng)特點(diǎn)： 方程中的未知函數(shù)y及導(dǎo)數(shù) 都是一次的 2分類若 Q(x)= 0, 即 稱為一階線性齊次微分方程若Q(x)0, 則方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程第12頁/共52頁第十二頁，共53頁。3一階線性齊次方程(fngchng)的解法 類

7、型： 可分離(fnl)變量的微分方程其中(qzhng) C 為任意常數(shù). 4一階線性非齊次方程的解法 用常數(shù)變易法 第13頁/共52頁第十三頁，共53頁。 在方程（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解的基礎(chǔ)上進(jìn)行(jnxng)變易,假設(shè)方程（1）有如下形式的解： 其中(qzhng) C（x）為待定函數(shù) 第14頁/共52頁第十四頁，共53頁。于是(ysh)方程(1)的通解為：（4）式稱為(chn wi)一階線性非齊次方程（1）的通解公式上述求解方法稱為(chn wi)常數(shù)變易法 用常數(shù)變易法求一階線性非齊次方程(fngchng)的通解的一般步驟為：(1)先求出非齊次線性方程(fngchng)所對(duì)應(yīng)的齊次方

8、程(fngchng)的通解；(2)根據(jù)所求出的齊次方程(fngchng)的通解設(shè)出非齊次線性方程(fngchng)的解將所求 出的齊次方程(fngchng)的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù)C(x)即可；(3)將所設(shè)解帶入非齊次線性方程(fngchng)，解出C(x)，并寫出非齊次線性 方程(fngchng)的通解 第15頁/共52頁第十五頁，共53頁。 式對(duì)應(yīng)(duyng)的齊次方程為 將方程分離(fnl)變量得 兩邊(lingbin)積分得 即 所以齊次方程的通解為： 將上述通解中的任意常數(shù)C換成待定函數(shù)C(x)，將其待入方程得 第16頁/共52頁第十六頁，共53頁。將C(x)代入式 得原方

9、程(fngchng)的通解： 第17頁/共52頁第十七頁，共53頁。例3在串聯(lián)電路(dinl)中，設(shè)有電阻R，電感L和交流電動(dòng)勢E = E0sint， 在時(shí)刻t = 0時(shí)接通電路(dinl)，求電流i與時(shí)間t的關(guān)系（E0,為常 數(shù)）解設(shè)任一時(shí)刻t的電流為i 我們知道，電流在電阻(dinz)R上產(chǎn)生一個(gè)電壓降uR = Ri， 由回路(hul)電壓定律知道，閉合電路中電動(dòng)勢等于電壓降之和，即在電感L上產(chǎn)生的電壓降是 第18頁/共52頁第十八頁，共53頁。式為一階非齊次線性方程(xin xn fn chn)的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中 利用(lyng)一階非齊次線性方程之求解公式得通解： 第19頁/共52頁第十

10、九頁，共53頁。二、可降階的高階微分方程(wi fn fn chn) 特點(diǎn)：方程y(n) = f(x)的右端僅含有自變量解法：將兩端(lin dun)分別積分一次，得到一個(gè)n-1階微分方程;再積分 一次，得到n-2階微分方程，連續(xù)積分n次，便可得到該 方程的通解 解 將所給方程(fngchng)連續(xù)積分三次，得 第20頁/共52頁第二十頁，共53頁。特點(diǎn)：方程右端不含未知函數(shù)(hnsh)y解法：令y = t，則y= t，于是原方程可化為以 t 為未知函 數(shù)的一階微分方程t= f(x ,t) 第21頁/共52頁第二十一頁，共53頁。解 令y= t，則y= t， 代入原方程(fngchng)得 分

11、離(fnl)變量得 兩邊(lingbin)積分得 即再積分得 第22頁/共52頁第二十二頁，共53頁。例6 如圖，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于x軸上A(1,0)點(diǎn)處的敵艦發(fā) 射制導(dǎo)魚雷，魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦設(shè)敵艦以常速v0沿平行于 y 軸的直線(zhxin)行駛，又設(shè)魚雷的速率為2v0，求魚雷的航行曲線方程 解 設(shè)魚雷的航行曲線方程為 y = y(x)， 在時(shí)刻，魚雷的坐標(biāo)為P(x,y)，敵艦 的坐標(biāo)為Q(1, v0t) 因?yàn)?yn wi)魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦，所以 第23頁/共52頁第二十三頁，共53頁。令y= p，方程(fngchng)可化為 這是不顯含y的可降階微分方程,根據(jù)(gnj)題意，初始條件

12、為 分離(fnl)變量可解得 從上面兩式消去v0t得： 兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得: 即即第24頁/共52頁第二十四頁，共53頁。所以(suy)而所以(suy)積分(jfn)得以 y(0)= 0代入，得 所以魚雷的航行曲線方程為： 特點(diǎn)： 方程右端不含變量x 第25頁/共52頁第二十五頁，共53頁。從而(cng r)將原方程化為一階微分方程： 代入原方程(fngchng)得 當(dāng)y0，P0時(shí)，分離(fnl)變量得： 兩端積分得： 當(dāng)P 0時(shí)，則y = C（C為任意常數(shù)）， 第26頁/共52頁第二十六頁，共53頁。顯然(xinrn)，它已含在解 所以原方程(fngchng)的通解為： 第27頁/共52頁第二

13、十七頁，共53頁。 第三節(jié) 二階常系數(shù)(xsh)線性微分方程定義(dngy) 形如 的方程，稱為二階常系數(shù)線性微分方程其中(qzhng)p,q為常數(shù) .注 當(dāng)f(x)0時(shí)，方程(1)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程； 當(dāng)f(x)=0時(shí)，即 方程(2)稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程 一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)1齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) 定義：設(shè)y1 = y1(x)與y2 = y2(x)是定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)，如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù) k1 , k2，使得對(duì)于 (a,b) 內(nèi)的任一x恒有第28頁/共52頁第二十八頁，共53頁。k1 y1 + k2 y2 = 0成立，則稱y1與y2在

14、(a,b)內(nèi)線性相關(guān)，否則(fuz)稱為線性無關(guān)由定義知： y1與y2線性相關(guān)的充分(chngfn)必要條件是不恒為常數(shù)(chngsh)，則y1與y2線性無關(guān) 定理1 （齊次線性方程解的疊加原理） 第29頁/共52頁第二十九頁，共53頁。 若y1與y2是齊次線性方程(2)的兩個(gè)(lin )解，則y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且當(dāng)與線性無關(guān)時(shí)，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解證 將y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 與 y2線性無關(guān)， C1和C2是兩個(gè)獨(dú)立的任意(rny)常

15、數(shù), 即 y = C1 y1+C2 y2中所含獨(dú)立的任意(rny)常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程(2)的階數(shù)相同 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齊次線性方程(xin xn fn chn)解的結(jié)構(gòu) 定理2 （非齊次線性方程(xin xn fn chn)解的結(jié)構(gòu)）第30頁/共52頁第三十頁，共53頁。 若yp為非齊次線性方程(fngchng)(1)的某個(gè)特解，yc為方程(fngchng)(1)所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程(fngchng)(2)的通解，則 y = yp+ yc為非齊次線性方程(fngchng) (1)之通解證 將y = yp+ yc代入方程(fngchng)(1)的左端有 所以 yp+ yc 確

16、為方程(1)的解 又 yc 中含有(hn yu)兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)， 所以 y = yp+ yc 中也含有(hn yu)兩獨(dú)立的任意常數(shù)， 故 y = yp+ yc 為方程(1)的通解第31頁/共52頁第三十一頁，共53頁。定理(dngl)3 若y1為方程 y2為方程(fngchng) 則 y = y1 + y2 為方程(fngchng)的解.證： 將y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法其中 p, q 為常數(shù).第32頁/共52頁第三十二頁，共53頁。令方程(fngchng)(2)的解為 （r為待定常數(shù)(chngsh)） 代入方程(fngchng

17、)(2)得 (4) 由此可見，只要r滿足方程(4)，函數(shù) rxye就是方程(2)的解 定義 稱方程(4)為微分方程(2)的特征方程，方程(4)的兩個(gè)根 r1 , r2 稱為特征根 由于特征方程(4)的兩個(gè)根 只能有三種 不同情形，相應(yīng)地，齊次方程(2)的通解也有三種不同的形式 當(dāng)= p2 - 4q 0時(shí)，特征方程(4)有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1 r2 第33頁/共52頁第三十三頁，共53頁。由上面的討論(toln)知道 是方程(fngchng)(1)的兩個(gè)解 又y1與y2線性無關(guān)(wgun)，因此方程(2)的通解為 : 當(dāng)= p2 - 4q = 0時(shí)，特征方程(4)有兩個(gè)相等實(shí)根 r = r1 =

18、 r2 我們只能得到方程(1)的一個(gè)解 對(duì)y2求導(dǎo)得 代入方程(2)，得第34頁/共52頁第三十四頁，共53頁。又 r是特征方程的二重根， 因?yàn)閡(x)不是常數(shù)(chngsh)，不妨取u(x)= x， 這樣得到(d do)方程（2）的另一個(gè)(y )解 從而方程（2）的通解為 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有一對(duì)共軛復(fù)根 第35頁/共52頁第三十五頁，共53頁。為了求出方程(2)的兩個(gè)實(shí)數(shù)(shsh)形式的解，利用歐拉公式 將y1與y2分別(fnbi)改寫為 由定理(dngl)1知， 仍是方程(2)的解，這時(shí) 不是常數(shù)， 第36頁/共52頁第三十六頁，共53頁。即綜上，求二階常系數(shù)

19、齊次線性微分方程(wi fn fn chn)通解的步驟如下： 第一步 寫出方程(fngchng)的特征方程(fngchng)第二步 求出特征方程的兩個(gè)(lin )根r1及r2 ;第三步 根據(jù)特征根的不同情況，寫出微分方程的通解 具體如下： 第37頁/共52頁第三十七頁，共53頁。通解形式特征方程的根解 特征方程為 特征(tzhng)根 第38頁/共52頁第三十八頁，共53頁。因此(ync)，方程的通解為 解 特征方程為 特征(tzhng)根 因此(ync)，方程的通解為 解 特征方程為 特征根為 于是方程的通解為 第39頁/共52頁第三十九頁，共53頁。 解 特征方程為 特征(tzhng)根

20、因此方程(fngchng)的通解為 故所求特解為 三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(wi fn fn chn)的求解方法 第40頁/共52頁第四十頁，共53頁。 其中(qzhng)p,q為常數(shù)，f(x)0 它對(duì)應(yīng)(duyng)的齊次方程為： 0(2)ypyqy其中(qzhng)為常數(shù)，Pm(x)為x的m次多項(xiàng)式，即 設(shè)想方程(5)有形如 其中Q(x)是一 個(gè)待定多項(xiàng)式 第41頁/共52頁第四十一頁，共53頁。 代入方程(5)，整理(zhngl)后得到： (6) 當(dāng)2+p+q 0時(shí)，設(shè) (7) 其中(qzhng)b0,b1,bm 為m+1個(gè)待定系數(shù) 將式(7)代入式(6)，比較等式兩邊同次冪的系

21、數(shù)，得到以b0,b1,bm為未知數(shù)的m+1個(gè)線性方程(xin xn fn chn)的聯(lián)立方程組，從而求出b0,b1,bm，即確定Q(x)，于是可得方程(5)的一個(gè)特解為 當(dāng)2+p+q=0且2+ p 0 時(shí)，(即為特征方程的單根) 第42頁/共52頁第四十二頁，共53頁。 那么(n me)式(6)成為 由此可見，Q與Pm(x)同次冪，故應(yīng)設(shè)其中(qzhng)Q m(x)為m次待定多項(xiàng)式 將Q m(x)代入式(6) 確定Q m(x)的m+1個(gè)系數(shù)(xsh)，從而得到方程(5)的一個(gè)特解： 當(dāng) 2+p+q = 0 且2+ p =0 時(shí)，(即為特征方程的重根) 那么式(6)成為 故應(yīng)設(shè) 第43頁/共5

22、2頁第四十三頁，共53頁。將它代入式(6)， 確定(qudng)Q m(x)的系數(shù)所以方程(fngchng)(5)的一個(gè)特解為 綜上所述，我們有如下結(jié)論：二階常系數(shù)(xsh)非齊次線性微分方程 (5) 具有形如 的特解，其中Q m(x)為m 次多項(xiàng)式，k的確定如下： 第44頁/共52頁第四十四頁，共53頁。根據(jù)歐拉公式及前面分析(fnx)的結(jié)果可以推出下面的結(jié)論（討論過程從略）： 其中(qzhng) Q m(x)與R m(x) 均為m次多項(xiàng)式(m = maxl，n)，其系數(shù)待定，而第45頁/共52頁第四十五頁，共53頁。解 原方程(fngchng)對(duì)應(yīng)的齊次方程(fngchng)的特征方程(fngchng