第四章積分及其應(yīng)用PPT課件

1、 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 4.3 積分的基本公式積分的基本公式 第四章第四章 積分及其應(yīng)用積分及其應(yīng)用 4.4 換元積分法換元積分法 4.2 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 4.5 分部積分法分部積分法 4.6 無(wú)限區(qū)間上的反常積分無(wú)限區(qū)間上的反常積分 4.7 積分學(xué)的應(yīng)用積分學(xué)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 教學(xué)建議教學(xué)建議 一一.平面圖形的面積平面圖形的面積 4.7 積分學(xué)的應(yīng)用積分學(xué)的應(yīng)用 二二.已知邊際函數(shù)求總函數(shù)已知邊際函數(shù)求總函數(shù) 三三.消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余.dd)(babaxyxxfA由定積分由定積分的幾何意的幾何意義知義知yxo

2、ab由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線)(xfy),0)(xf直線直線 , axbx)(ba所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積 為為 AAB和和 軸軸x)(xfy ?A面積面積 一一. 平面圖形的面積平面圖形的面積 baxxfAd)( 則圖中陰影部則圖中陰影部分的面積為分的面積為caxxfd)(abox)(xfy ycd若若)(xf有正有負(fù)有正有負(fù),在區(qū)間在區(qū)間 上上,badcxxfd)(.d)(bdxxf由兩條連續(xù)曲線由兩條連續(xù)曲線),(xfy兩條直線兩條直線 , axbx)(ba所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積 按如下方法求得按如下方法求得: A),(xgy(1)在區(qū)間在區(qū)間 上上

3、,若有若有 , ba),()(xfxg則面積的計(jì)算公式為則面積的計(jì)算公式為 ya)(xfy )(xgy.d)()(baxxgxfA?A面積面積xob由兩條連續(xù)曲線由兩條連續(xù)曲線),(xfy兩條直線兩條直線 , axbx)(ba所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積 按如下方法求得按如下方法求得: A),(xgy),()(xfxg則面積的計(jì)算公式為則面積的計(jì)算公式為 .d)()(baxxgxfA(2)在區(qū)間在區(qū)間 上上,若若, ba不具有條件不具有條件 .d)(dcyyfAxo由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線)(yx),0)(y直線直線 , cydy)(dc 所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面

4、積 為為 A和和 軸軸yABycd)(yx?A面積面積由兩條連續(xù)曲線由兩條連續(xù)曲線),(yx兩條直線兩條直線 , cydy)(dc所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積 為為 A),(yx.d)()(dcyyyAxoy)(yx)(yxcd?A面積面積參閱該圖參閱該圖 根據(jù)根據(jù) 已知條件已知條件 畫出草圖畫出草圖選擇積分變量選擇積分變量并并 確定積分限確定積分限: 直接判定或直接判定或解方程組解方程組 確定曲線的交點(diǎn)確定曲線的交點(diǎn) 用相應(yīng)的用相應(yīng)的公式公式計(jì)算面積計(jì)算面積.用定積分求平面圖形面積的程序用定積分求平面圖形面積的程序xo練習(xí)練習(xí)1求由曲線求由曲線2xy 與直線與直線2xy所圍圖

5、形的面積所圍圖形的面積.2xy y2xy21解解 的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo). 的交點(diǎn)的交點(diǎn) 與與ABAB解方程組解方程組,2xy . 2xy得得, 11x. 22x顯然積分下限為顯然積分下限為 , 11x積分上限為積分上限為 . 22x212d)2(xxxA.29)322(2132xxx畫畫(1)草草圖圖 (2) 選選 為為 積分變量積分變量x為確定積分限為確定積分限,應(yīng)求曲線應(yīng)求曲線與直線與直線2xy2xy(3)用定積用定積分求面積分求面積練習(xí)練習(xí)2及直線及直線, 0 x所圍圖形的面積所圍圖形的面積.解解 (1)畫草圖畫草圖. (2) 若選若選 作積分變量作積分變量,x積分下限為積分下限為 , 0

6、x上限為上限為 .2x(3) 由圖形可知由圖形可知, 需用直線需用直線求由曲線求由曲線,sinxyxy cos2xxoy1xycosxysin244x把圖形分成兩塊把圖形分成兩塊.24d)cos(sinxxx40d)sin(cosxxxA2440)sincos()cos(sinxxxx).12( 2練習(xí)練習(xí)3求由拋物線求由拋物線xy22所圍圖形的面積所圍圖形的面積.y解解 (1)畫草圖畫草圖. (2)為確定積分限為確定積分限,解方程組解方程組得得與直線與直線04yx04yxoxxy221A2A,22xy . 04xy, 2, 211yx. 4, 822yx (3)若選取若選取 為積分變量為積分

7、變量,顯然顯然,圖形圖形介于直線介于直線 和和 之間之間. x0 x8x不是有兩條不是有兩條曲線曲線,而是而是有三條曲線有三條曲線. 21AAA8220d)4(2d)2(2xxxxxx) 2, 2 ( P228)42322(02322222323xxxx以直線以直線2x將圖形分塊將圖形分塊 .1863563168) 4 , 8 (Q練習(xí)練習(xí)3求由拋物線求由拋物線xy22所圍圖形的面積所圍圖形的面積.y解解 (1)畫草圖畫草圖. (2)為確定積分限為確定積分限,解方程組解方程組得得與直線與直線04yx04yxoxxy22,22xy . 04xy, 2, 211yx. 4, 822yx (3)若選

8、取若選取 為積分變量為積分變量,顯然顯然,圖形圖形介于直線介于直線 和和 之間之間. y2y4y有兩條曲線有兩條曲線,) 2, 2 ( P28) 4 , 8 (Q22yx4yx422d2)4(yyyA24)642(32yyy6882664168.18y04yxoxxy22有兩條曲線有兩條曲線,) 2, 2 ( P28) 4 , 8 (Q22yx4yx0由練習(xí)由練習(xí)3看看,選取為積分變量較好選取為積分變量較好.一般一般地地,用定積分求面積時(shí)用定積分求面積時(shí),應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x取積分應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x取積分變量變量,盡量使圖形不分塊和少分塊盡量使圖形不分塊和少分塊(必須分必須分塊時(shí)塊時(shí))為好為好. 不是有兩條曲線

9、不是有兩條曲線,而是有三條曲線而是有三條曲線. 8) 4 , 8 (Qy) 2, 2 ( P21A2A04yxxy22ox0 做題用定積分求幾何圖形的面積做題用定積分求幾何圖形的面積,可選取可選取 為積分變量為積分變量,也可也可選取選取 為積分變量為積分變量. xy 二二. 已知邊際函數(shù)求總函數(shù)已知邊際函數(shù)求總函數(shù) 總收益函數(shù)總收益函數(shù))(QRR 由總函數(shù)由總函數(shù)經(jīng)微分法經(jīng)微分法 由邊際函數(shù)經(jīng)積分法由邊際函數(shù)經(jīng)積分法總成本函數(shù)總成本函數(shù)邊際收益函數(shù)邊際收益函數(shù)QRMRdd邊際成本函數(shù)邊際成本函數(shù)QCMCdd 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為 總函數(shù)總函數(shù) 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為 邊際函數(shù)邊際函數(shù) QRMRddQCMCdd得

10、得0) 0 (CC得得)(QCC 0)0 (RQMRQRd )()(,QMCQCd )()(,由邊際函數(shù)由邊際函數(shù) 經(jīng)積分法經(jīng)積分法邊際收益函數(shù)邊際收益函數(shù)QRMRdd邊際成本函數(shù)邊際成本函數(shù)QCMCdd 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為 邊際函數(shù)邊際函數(shù) 可得可得baQMR d)(總收益的改變量為總收益的改變量為baQMC d)(總成本的改變量為總成本的改變量為產(chǎn)量由產(chǎn)量由 個(gè)單位改變到個(gè)單位改變到 個(gè)單位時(shí)個(gè)單位時(shí),ab 求求(1)產(chǎn)量由產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)百臺(tái)時(shí),總收益增加多少總收益增加多少? 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為1萬(wàn)元萬(wàn)元,邊際收益和邊際成本邊際收益和邊際成本,

11、8)(QQR,44)(QQC練習(xí)練習(xí)4分別為分別為(單位單位:萬(wàn)元萬(wàn)元/百臺(tái)百臺(tái))(2)產(chǎn)量由產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)百臺(tái)時(shí),總成本增加多少總成本增加多少?(3)產(chǎn)量為多少時(shí)產(chǎn)量為多少時(shí),總利潤(rùn)最大總利潤(rùn)最大?(4)總利潤(rùn)最大時(shí)的總收益、總成本和總利潤(rùn)總利潤(rùn)最大時(shí)的總收益、總成本和總利潤(rùn).解解(1)總收益的增加量為總收益的增加量為 QQQQRd)8(d)(51512015)28(2QQ(萬(wàn)元萬(wàn)元).(2)總成本的增加量為總成本的增加量為 QQQQCd)44 (d)(51511915)84(2QQ(萬(wàn)元萬(wàn)元).求求,8)(QQR,44)(QQC練習(xí)練習(xí)4(3)產(chǎn)量為多少時(shí)產(chǎn)量為多少時(shí)

12、,總利潤(rùn)最大總利潤(rùn)最大?解解(3)QQQQRQRd)8(d )()(,282cQQ.28)(2QQQR而而QQQQCQCd)44(d )()(,842cQQ, 1)0(0CC依題設(shè)依題設(shè)則積分常數(shù)則積分常數(shù) 總成本函數(shù)為總成本函數(shù)為 . 1c. 184)(2QQQC于是于是,利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù) )()()(QCQRQ又由又由 則積分常數(shù)則積分常數(shù) 從而得總收益函數(shù)為從而得總收益函數(shù)為 , 0)0(R. 0c) 184 (8822QQQQ. 18542QQ求求練習(xí)練習(xí)4(3)產(chǎn)量為多少時(shí)產(chǎn)量為多少時(shí),總利潤(rùn)最大總利潤(rùn)最大?解解(3)(續(xù)續(xù)). 18542QQ由由, 2 . 3, 0, 2 . 3,

13、 0, 2 . 30, 0454)(QQQQQ)(Q得得 (百臺(tái)百臺(tái))時(shí)時(shí),利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大. 2 . 3Q該問(wèn)題也可由極值存在的必要條件該問(wèn)題也可由極值存在的必要條件: 另解另解 0)(MCMRQ或或 MCMR 即由即由,448QQ, 0454 Q或或 得得 (百臺(tái)百臺(tái))時(shí)時(shí),利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大.2 . 3Q求求練習(xí)練習(xí)4解解(4)(4)總利潤(rùn)最大時(shí)的總收益、總成本和總利潤(rùn)總利潤(rùn)最大時(shí)的總收益、總成本和總利潤(rùn).28)(2QQQR. 184)(2QQQC將將 代入總收益函數(shù)代入總收益函數(shù) 2 . 3Q中中,可得利潤(rùn)可得利潤(rùn)最大時(shí)的總收益為最大時(shí)的總收益為 48.2022 . 32 . 38) 2

14、 . 3 (2R(萬(wàn)元萬(wàn)元).將將 代入總成本函數(shù)代入總成本函數(shù) 2 . 3Q中中,可得利潤(rùn)可得利潤(rùn)最大時(shí)的總成本為最大時(shí)的總成本為 08.15182 . 32 . 34) 2 . 3 (2C(萬(wàn)元萬(wàn)元).最大利潤(rùn)為最大利潤(rùn)為 ) 2 . 3 () 2 . 3 (CR)2 .3(4 . 508.1548.20(萬(wàn)元萬(wàn)元).練習(xí)練習(xí)5置置成本的情況下成本的情況下,工廠追求最大利潤(rùn)工廠追求最大利潤(rùn). 假設(shè)在任何時(shí)刻拆除這臺(tái)假設(shè)在任何時(shí)刻拆除這臺(tái)機(jī)器機(jī)器,它都沒(méi)有殘留價(jià)值它都沒(méi)有殘留價(jià)值,使用這臺(tái)機(jī)器可獲得的最大利潤(rùn)是多使用這臺(tái)機(jī)器可獲得的最大利潤(rùn)是多少少?241225)(ttE(萬(wàn)元萬(wàn)元/年年),

15、 22)(ttF(萬(wàn)元萬(wàn)元/年年).加盈利加盈利(追加收益減去追加生產(chǎn)成本追加收益減去追加生產(chǎn)成本)為為在時(shí)刻在時(shí)刻 機(jī)器的追加維修成本為機(jī)器的追加維修成本為 t 分析分析 在不計(jì)購(gòu)在不計(jì)購(gòu)某廠購(gòu)置一臺(tái)機(jī)器某廠購(gòu)置一臺(tái)機(jī)器,該機(jī)器在時(shí)刻該機(jī)器在時(shí)刻 所生產(chǎn)出的產(chǎn)品所生產(chǎn)出的產(chǎn)品,其追其追t 這里追加收益就是總收益對(duì)時(shí)間這里追加收益就是總收益對(duì)時(shí)間 的變化率的變化率,追加成本追加成本就是總成本對(duì)時(shí)間就是總成本對(duì)時(shí)間 的變化率的變化率;而而 就是在時(shí)刻就是在時(shí)刻的追加凈利潤(rùn)的追加凈利潤(rùn),或者說(shuō)是利潤(rùn)對(duì)時(shí)間的變化率或者說(shuō)是利潤(rùn)對(duì)時(shí)間的變化率.tt)()(tFtEt由于由于 是增函數(shù)是增函數(shù), 是減函

16、數(shù)是減函數(shù),這意味著維修費(fèi)用逐年增加這意味著維修費(fèi)用逐年增加,而所得盈利而所得盈利(沒(méi)考慮維修成本時(shí)的利潤(rùn)沒(méi)考慮維修成本時(shí)的利潤(rùn))逐年減少逐年減少. )(tF)(tE 由圖看由圖看,所獲得的最大利潤(rùn)就是有陰影部分面積的數(shù)值所獲得的最大利潤(rùn)就是有陰影部分面積的數(shù)值. 練習(xí)練習(xí)5241225)(ttE(萬(wàn)元萬(wàn)元/年年), 22)(ttF(萬(wàn)元萬(wàn)元/年年).由圖看由圖看,所獲得的最大利潤(rùn)就是有陰影部分面積的數(shù)值所獲得的最大利潤(rùn)就是有陰影部分面積的數(shù)值. y200100to1022)(ttF241225)(ttE解解249225)()(ttFtE(萬(wàn)元萬(wàn)元/年年).由極值存在的必要條件由極值存在的必要

17、條件 0)()(tFtE即即, 0492252 t可解得可解得 10t(只取正值只取正值 ) 使用這臺(tái)機(jī)器使用這臺(tái)機(jī)器,在時(shí)刻在時(shí)刻 的的追加凈利潤(rùn)為追加凈利潤(rùn)為 t續(xù)解續(xù)解練習(xí)練習(xí)5y200100to1022)(ttF241225)(ttE249225)()(ttFtE(萬(wàn)元萬(wàn)元/年年).),10, 0 (t又當(dāng)又當(dāng) ; 0)()(tFtE當(dāng)當(dāng) ),10(t, 0)()(tFtE所以利潤(rùn)最大時(shí)的時(shí)刻是所以利潤(rùn)最大時(shí)的時(shí)刻是 .10t 即到即到10年末年末,使用這臺(tái)機(jī)器可使用這臺(tái)機(jī)器可獲得最大利潤(rùn)獲得最大利潤(rùn),其值為其值為 100d)()(ttFtE1002d49225tt1500(萬(wàn)元萬(wàn)元/

18、年年).續(xù)解續(xù)解2p1Q 設(shè)某商品的需求函數(shù)設(shè)某商品的需求函數(shù) 三三. 消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余 1. 消費(fèi)者剩余消費(fèi)者剩余),(1Qp 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為).(QDp poQ市場(chǎng)價(jià)格市場(chǎng)價(jià)格p1,需求量需求量Q1, 收益收益R=Q1p11p 從該圖可以看出從該圖可以看出,實(shí)際上有些顧客愿意接受更高一些的實(shí)際上有些顧客愿意接受更高一些的價(jià)格價(jià)格,如如,對(duì)于價(jià)格對(duì)于價(jià)格p2 (p2 p1),相應(yīng)地有需求量相應(yīng)地有需求量Q2 因?yàn)閮r(jià)格因?yàn)閮r(jià)格p1較低較低,所以他們沒(méi)有花完為此準(zhǔn)備花費(fèi)的所以他們沒(méi)有花完為此準(zhǔn)備花費(fèi)的錢而產(chǎn)生了剩余，這個(gè)剩余就稱為對(duì)于價(jià)格錢而產(chǎn)生了剩余，這個(gè)剩余就稱為對(duì)

19、于價(jià)格p1的的消費(fèi)消費(fèi)者剩余者剩余,記作記作Uc(p1)Uc(p1) Uc(p1)就是在需求曲線下方、矩形上方（圖中青綠就是在需求曲線下方、矩形上方（圖中青綠色陰影）部分的面積色陰影）部分的面積,可由下式計(jì)算可由下式計(jì)算 1011d)()(QcQpQDpU.d)(1101pQQQDQ 2Q)(QDp 設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù)設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù) 三三. 消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余 2. 生產(chǎn)者剩余生產(chǎn)者剩余).(QSp oQ1p 從該圖可以看出從該圖可以看出,實(shí)際上有些生產(chǎn)者能接受更低一些的實(shí)際上有些生產(chǎn)者能接受更低一些的價(jià)格價(jià)格,如如,對(duì)于價(jià)格對(duì)于價(jià)格p2 (p2 p1),相應(yīng)地有

20、供給量相應(yīng)地有供給量Q2市場(chǎng)價(jià)格市場(chǎng)價(jià)格p1,供給量供給量Q1,收益收益R=Q1p1 因?yàn)閮r(jià)格因?yàn)閮r(jià)格p1較高較高,所以他們獲得了超額的收益所以他們獲得了超額的收益,從而產(chǎn)從而產(chǎn)生了剩余，這個(gè)剩余就稱為對(duì)于價(jià)格生了剩余，這個(gè)剩余就稱為對(duì)于價(jià)格p1的生產(chǎn)的生產(chǎn)者剩余者剩余,記作記作Up(p1)Uc(p1) Up(p1)就是在就是在p1以下、供給曲線上方（圖中淺紫色以下、供給曲線上方（圖中淺紫色陰影）部分的面積陰影）部分的面積,可由下式計(jì)算可由下式計(jì)算 1011d)()(QpQQSppU.d)(1011 QQQSpQ1Q2p2QpUp(p1)(QSp 市場(chǎng)市場(chǎng)均衡均衡 在商品經(jīng)濟(jì)中，消費(fèi)者和生產(chǎn)者是一對(duì)在商品經(jīng)濟(jì)中，消費(fèi)者和生產(chǎn)者是一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體矛盾的統(tǒng)一體.價(jià)格戰(zhàn)無(wú)疑將減少生產(chǎn)者剩余價(jià)格戰(zhàn)無(wú)疑將減少生產(chǎn)者剩余 從消費(fèi)者的角度看，希望生產(chǎn)者剩余越少越好，然而生從