高一數(shù)學(xué)-直線與圓的方程——直線與圓的位置關(guān)系(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題二 直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)： 直線和圓的位置關(guān)系的判斷教學(xué)重難點(diǎn)： 直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：第一部分 知識(shí)點(diǎn)回顧考點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷：直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：（1）代數(shù)方法判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況：由，消元得到一元二次方程，計(jì)算判別式，相交；相離；相切；（2）幾何方法如果直線l和圓C的方程分別為：，. 可以用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系:相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。例1 直線xsinycos2sin與圓(x1)2y24

2、的位置關(guān)系是()A相離 B相切 C相交 D以上都有可能答案B 解析圓心到直線的距離d 所以直線與圓相切例2 已知直線l過(guò)點(diǎn)(2,0)，當(dāng)直線l與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是()A(2，2)B(，) C(，) D(，)答案C 設(shè)l的方程yk(x2)，即kxy2k0.圓心為(1,0)由已知有<1，<k<.例3 圓(x3)2+(y3)2=9上到直線3x+4y11=0的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？解：圓(x3)2+(y3)2=9的圓心為O1(3，3)，半徑r=3，設(shè)圓心O1(3，3)到直線3x+4y11=0的距離為d，則d=如圖1，在圓心O1的同側(cè)，與直線3x+4y11=

3、0平行且距離為1的直線l1與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意，又rd=32=1，所以與直線3x+4y11=0平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意. 所以符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)。例4 平移直線xy10使其與圓(x2)2(y1)21相切，則平移的最短距離為()A.1 B2 C. D.1與1答案A解析如圖2，圓心(2,1)到直線l0：xy10的距離d，圓的半徑為1，故直線l0與l1的距離為1，平移的最短距離為1，故選A. 圖 1 圖 2例5 已知曲線5x2y2+5=0與直線2xy+m=0無(wú)交點(diǎn)，則m的取值范圍是 1<m<1 .例6 直線a(x+1)+b(y+1)=0與圓x2+y2

4、=2的位置關(guān)系是（ C ）（A）相離 （B）相切 （C）相交或相切 （D）不能確定考點(diǎn)二：圓的切線的求法： 直線與圓相切，切線的求法：（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，切線方程為；（2）若點(diǎn)在圓上時(shí)，切線方程為；（3）斜率為且與圓相切的切線方程為；斜率為且與圓相切的切線方程的求法：先設(shè)切線方程為，然后變成一般式，利用圓心到切線的距離等于半徑來(lái)列出方程求；（4）點(diǎn)在圓外面，則切線方程為，再變成一般式，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線距離等于半徑，解出，注意若此方程只有一個(gè)實(shí)根，則還有一條斜率不存在的直線，務(wù)必要補(bǔ)上.例7 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，7)與圓x2+y2=25相切的切線方程.解法一：設(shè)切線的斜率為k，由點(diǎn)斜式有y

5、+7=k(x1)，即，y=k(x1)7，將上述方程代入圓方程x2+k(x1)72=25整理得(k2+1)x2(2k2+14k)x+k2+14k+24=0， =(2k2+14k)24(k2+1)(k2+14k+24)=0，由此方程解出k，再代回y+7=k(x1)，可得切線方程，好了，到此打??！從過(guò)程可以看到：利用此法求切線方程，一般地講，過(guò)程冗長(zhǎng)，計(jì)算、書(shū)寫量大而繁雜，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，通常情況下不采用. 解法二：設(shè)所求切線斜率為k，所以所求直線方程為y+7=k(x1)，整理成一般式為kxyk7=0，所以 ，化簡(jiǎn)為12k27k12=0，所以k=或k=. 所以切線方程為4x3y25=0或3x+4y+2

6、5=0.解法三：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，所求切線方程為x0x+y0y=25，將坐標(biāo)(1，7)代入后得x07y0=25，由，解得，或 故所求切線方程為4x3y25=0或3x+4y+25=0.例8 已知圓C：x2y22x4y30.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對(duì)值相等，求此切線的方程解析切線在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等， 切線的斜率是±1.設(shè)切線方程為yxb或yxc，分別代入圓C的方程得2x22(b3)x(b24b3)0或2x22(c1)x(c24c3)0，由于相切，則方程有等根， 即b3或b1，c5或c1.故所求切線方程為：xy30，xy10，xy50，xy10.例9 直線x+y

7、=m與圓x2+y2=m(m>0)相切，則m=（ D ）（A） （B） （C） （D）2例10 由點(diǎn)P(1，2)向圓x2+y2+2x2y2=0引的切線方程是 5x+12y+19=0和x=1 .例11 直線a(x+1)+b(y+1)=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是（ C ）（A）相離 （B）相切 （C）相交或相切 （D）不能確定考點(diǎn)三：直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式（1）平面幾何法求弦長(zhǎng)公式：如圖所示，直線l與圓相交于兩點(diǎn)A、B，線段AB的長(zhǎng)即為直線l與圓相交的弦長(zhǎng).設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為AB，則有，即AB= .（2）解析法求弦長(zhǎng)公式：如圖所示，直線l與圓相交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B

8、(x2，y2)，當(dāng)直線AB的傾斜角存在時(shí)，聯(lián)立方程組，消元得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，求得x1+x2和x1x2.于是，這樣就求得。例11 直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，5)，且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦長(zhǎng)為4，求l的方程.解：設(shè)|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長(zhǎng)|AB|的一半，在RtAHO中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2，所以 |OH|=，即, 解得k=，k=2，所以直線l的方程為x2y+5=0，或2xy5=0.例12 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁為了避免求

9、交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程又過(guò)、兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛例13 圓心為(1，2)、半徑為2的圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為（ A ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）4例14 直線x+y=1被圓x2+y22x2y7=0所截得線

10、段的中點(diǎn)是（ A ）（A）(，) （B）(0，0) （C） （D）例15 已知圓C：x2+y22x+4y4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解法一：假設(shè)存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)。 設(shè)l的方程為y=x+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OAOB知，kOA·kOB=1，即x1x2+y1y2=0.由，得2x2+2(b+1)x+b2+4b4=0。 x1+x2=(b+1)，x1x2=，y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=, x1x

11、2+y1y2=0. b2+3b4=0，解得b=4或b=1故存在這樣的直線.，它的方程是y=x4或y=x+1。解法二：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y+2)2=9，假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為(a，b)。由于CMl， kCM·kl=1，即， b=a1.直線l的方程為yb=xa，即xy+ba=0， ，因?yàn)橐訟B為直徑的圓C過(guò)原點(diǎn)，所以|MA|=|MB|=|MO|，而|MB|2=|CB|2|CM|2=，|OM|2=a2+b2， = a2+b2，代入消元得2a2a3=0， a=或a=1，當(dāng)a=，b時(shí)，此時(shí)直線l的方程為xy4=0；當(dāng)a=1，b=0時(shí)，此時(shí)直線l的方程為xy+1

12、=0。故這樣的直線l是存在的，它的方程為xy4=0或xy+1=0。例16 在RtABO中，BOA=90°，|OA|=8，|OB|=6，點(diǎn)P為它的內(nèi)切圓C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、O的距離的平方和的最大值和最小值.解：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，則A(8，0)，B(0，6)，內(nèi)切圓C的半徑r=，所以圓心坐標(biāo)為C(2，2)，所以內(nèi)切圓C的方程為(x2)2+(y2)2=4，設(shè)P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、O的距離的平方和為d，則d=(x8)2+y2+x2+(y6)2+x2+y2=3x2+3y216x12y+100=3(x2)2+(y2)

13、24x+76，因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)在圓上，所以(x2)2+(y2)2=4， d=884x，因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)是圓C上的任意點(diǎn)，x0，4， 當(dāng)x=0時(shí)，dmax=88；當(dāng)=4時(shí)，dmin=72.例17 已知圓C：(x3)2+(y4)2=4和直線l：kxy4k+3=0.（1）求證：不論k取何值，直線和圓總相交.（2）求k取何值時(shí)，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長(zhǎng).答案：（2）k=1，弦長(zhǎng)為2第二部分 課堂練習(xí)1、直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 解：依題意有，解得.，.2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，的取值范圍是.3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）（A）

14、1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選CPEOyx4、過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路解：設(shè)直線的方程為即根據(jù)有整理得 解得 5、已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo) 解: 直線AC的方程為 即x+2y+6=0 (1)又 BC所直線與x軸垂直 故直線BC的方程為x=6 (2)解(1)(2)得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(6,-6)6、已知方程.（）若此方程表示圓，求的取值范圍；（）若（）中的圓與直線相交于M，N兩點(diǎn)

15、，且OMON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求的值；（）在（）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.解：（） D=-2，E=-4，F(xiàn)= =20-， （） 代入得 ， OMON得出： （）設(shè)圓心為 半徑圓的方程 7、 已知圓，直線。（）求證：對(duì)，直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（）設(shè)與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求此時(shí)直線的方程。解：（）解法一：圓的圓心為，半徑為。圓心C到直線的距離直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；OBMAC方法二：直線過(guò)定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（）當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則，設(shè)，則

16、，化簡(jiǎn)得：當(dāng)M與P重合時(shí)，也滿足上式。故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是。（）設(shè)，由得，化簡(jiǎn)的又由消去得（*） 由解得，帶入（*）式解得，直線的方程為或。第三部分 作業(yè)練習(xí)一、選擇題：1. 已知過(guò)、兩點(diǎn)的直線與直線平行，則的值為（ ）A. -10 B. 2 C.5 D.172. 設(shè)直線的傾角為，則它關(guān)于軸對(duì)稱的直線的傾角是（ ）. B. C. D.3. 已知過(guò)兩點(diǎn)的直線與直線垂直，則的值（ ）A.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若點(diǎn)到點(diǎn)及的距離之和最小，則的值為（ ）A. B. 1 C. 2 D. 5. 不論為何值，直線恒過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)是（ ）A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-

17、2,3) 6. 圓上與直線的距離等于的點(diǎn)共有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3 個(gè) D4個(gè)7. 在RtABC中, A90°, B60°, AB=1, 若圓O的圓心在直角邊AC上, 且與AB和BC所在的直線都相切, 則圓O的半徑是（ ）A. B. C. D. 8. 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是（ ）A. B. C D. 9. 過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（ ）A. B. C. D. 10. 已知點(diǎn)是圓：內(nèi)一點(diǎn)，直線是以為中點(diǎn)的弦所在的直線，若直線的方程為，則（ ）A且與圓相離 B且與圓相交C與重合且與圓相離 D且與圓相離二、填空題：11. 若直線沿x軸正方向平移2個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方

18、向平移1個(gè)單位，又回到原來(lái)的位置，則直線的斜率=_ 12. 斜率為1的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的方程為 13. 已知直線過(guò)點(diǎn)P(5,10),且原點(diǎn)到它的距離為5,則直線的方程為 . 14. 過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是 15. 已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為 三、解答題：16. 求經(jīng)過(guò)直線l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0的交點(diǎn)M,且滿足下列條件的直線方程：()經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ()與直線2x+y+5=0平行; ()與直線2x+y+5=0垂直.17. 已知圓及直線. 當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為時(shí), 求（）的值；（）求過(guò)點(diǎn)并與圓相切的切線方程.18、 已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)P作直線交圓C于A、B兩點(diǎn).（）當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫出直線的方程； （）當(dāng)直線的傾斜角為45º時(shí)，求弦AB的長(zhǎng).直 線 與 圓 復(fù) 習(xí) 題 參 考 答 案題號(hào)12345678910答案BCBABCDBDA11、= 12、