向量中的中點轉化與極化恒等式

1、極化恒等式【一 .式子結構分析】rr 2r 2r rr 2，同理可以有：rr 2r 2r rr2.1.aba2abbaba2abb兩個式子相加可得：r2r2rr 2rr22 ababab,這個說明平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和， 也等于鄰邊的平方和的兩倍，由此可得三角形的中線長公式：ma12 b2c2a2 （必修五課2本 20頁）.rr 2r2r rr2，同理可以有：rr 2r2r rr 2.2.aba2abbaba2abb兩個式子相減可得：一題考查了 .rrrr2rrababab42,這個叫 極化恒等式 ， 2017 年全國甲卷理科選擇最后r2r 2這樣的式子，一般r2r2rr r

2、r3. 很多時候我們也會遇到 abab(ab)( ab ) ，類似于平方差公式，實質上同 2 差不多【二、極化恒等式】和數學上很多經典的公式定理一樣，極化恒等式也并沒有那么神秘，甚至說是很基本 . 回憶必修四 105 頁例 2rr 2r2r rr2，同理可以有：rr 2r2r rr2.aba2abbaba2abbr2r2rr 2rr兩個式子相加可得： 2 ababab2,這個說明平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和， 也等于鄰邊的平方和的兩倍，由此可得三角形的中線長公式：ma12 b2 c2a2 （必修五課2本 20頁）.兩個式子相減可得：考查了 .rrrr 2rrababab42,這個叫

3、 極化恒等式 ，2017 年全國甲卷理科選擇最后一題極化恒等式的幾何意義是:向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線 ”與“差對角線 ”平方差的1r r1(AD2BC2).，即 a b44在三角形中，也可以用三角形的中線來表示，即r rAM212，他揭示了三角形的中線與邊長的a bBC4關系 .下面通過幾道題目，來分析極化恒等式 的妙用 .ABC 中， M 是 BC 的中點， AM3,BCuuur uuur4.在10 ，則 AB AC _.uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2uuuur 2uuur 2解析：ABAC( ABAC)BC16AB AC4AM4事

4、實上， 類似的問題時有看到，只是很多時候用其他的方法取代了“極化恒等式 ”，或在無意中使用 “極化恒等式 ”.ABC 中， D 是 BC 的中點， AB2, ACuuuruuur在3，則 ADBC_.uuuruuur解析：uuuruuurABACuuuruuur1uuur 2uuur 25ADBC2( ABAC )( ABAC).22MN2uuuur uuur5.在 RtABC 中， CA CB 3， M，N 是斜邊 AB 上的兩個動點，且，則 CM gCN 的取值范圍為 _.uuuuruuuruuuuruuur 2uuuuruuur 2解析：設 MN 的中點為 D，則1gCMCNCMCNCM

5、 CN41uuuruuuur 2uuur 2122CDMNCD4, 642uuuruuuruuur類題： ABC 中，AC BC，AB 3，AC1，D 為 BC 的中點， F 為線段 AD 上任意一點， 求 AF g FBFC的最大值 .uuuruuuruuuruuuruuurggg解析：AFFBFC，AF 2FD2AF FD因 AFFDAD3，故當 AFFD3uuuruuuruuur32時， AF g FBFC取最大值.26.（ 2017 年高考全國卷理12）uuuruuuruuurABC 是邊長為已知2 的等邊三角形， P 為平面 ABC 內一點，則 PA ( PBPC) 的最小值是A.2

6、B.3C.4D.123解法分析思路一：建系，將向量運算坐標化解法 1：如圖1，建立平面直角坐標系xOy ， A 0,3，B 1,0 ，C 1,0，設 P x, y，uuurx,3yuuuruuur1x,y1x,y2 x,2y ，所以則 PA， PBPCuuuruuuruuur22 y y3 2 x2y333 ，PAg PB PC 2x2222當且僅當 x0， y332，即 P 為 AO 的中點時取等號，則所求最小值為，選 B.2yAPxBOC圖 1uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur uuuur思路二：取 BC 中點 M，將 PBPC 轉化為 2PM ，

7、則 PAg PBPCPAg2PM2PAgPM ，怎uuuruuuur么求 PAgPM 的最小值呢？如圖 2，設 AM 的中點為 N，則uuur uuuur1uuuruuuur 2uuuruuuur 21uuur2uuur2uuur 233PAgPMPAPMPAPM2PNMAPN444，uuur 2uuur uuuur4當且僅當，即 P 與 N 重合（ P 為 AM 的中點）時取等號，故3PN0PA PM 的最小值為，所求最小g4值為 233，選 B.42uuuruuuuruuuruuuur1uuuruuuur2uuuruuuur2注：（ 1）轉化 PA PM 時用到了極化恒等式PAgPMPAP

8、MPAPM，其一般形式g4r r1 rr 2rruuur uuuur2為ababPAgPMa b；（2）也可這樣轉化：g4uuur uuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuur 2uuur 2 uuur 23PAgPMPNNA g PNNMPNNA g PNNAPNNAPN.4APNBMC圖 2類題：已知動點 M 是腰長為2 的等 腰直 角三角形ABC （C 為 直角） 的三 邊上的 動點 ，則uuuruuuruuuur(MA + MB ) MC 的取值范圍是（）A1B0,41,4D 2,4,0C22答案： Cuuuuruuuuruuuruuuruuuu

9、r解析：取 AB 中點 D， CD 中點 E，則 ( MA+MB ) MC2MD MC21uuuuruuuur 2uuuuruuuur 2uuur 2uuur 2uuur 21MDMCMDMC1 4MECD2ME42如圖，在凸四邊形中，uuuruuur，BDuuuruuur， O 是的中點，且AO3OC，則7. *ABCDABAD6 BD6uuur uuurCB CD 等于（）118C228A B 3D 593uuuruuuruuuruuur2uuuruuur解析： ABAD( AB+AD)( ABAD)4uuur uuuruuuruuur2uuuruuur2uuurCB CD(CB +CD

10、)( CBCD )CO42uuur 2uuur 2uuur 24 AODB4AO96222.938. * （ 2013 年浙江高考理）ABC 中 P0 是邊 AB 上一定點，滿足P0 B1AB ，且對于邊 AB 上任取4uuur uuuruuur uuur的一點P，恒有，則 ()0PB PCP0B PCA ABC900B BAC900C ABACD ACBC【答案】 D解析： 法 1：【將式子轉化為與某一個變量有關系的式子，即函數式.由已知條件，當PB1AB 時，函數式子取最大值】4設 PBx, BCa，作 CHAB ，則 BHa cosB .Cuuuruuuruuuruuuruuuruuur

11、 2uuuruuurx2xa cosB則PB PCPB (PBBC)PBBP BC由題意，當且僅當x11BH1有最小值 .ABa cosB2AB 時，上式H24此時， H 也為 AB 的中點，故ACBC .法 2：由題意，設H，在 AB 上任取一點P，設|AB |=4，則|P0B|=1，過點 C 作 AB 的垂線，垂足為HP0=a，則由數量積的幾何意義可得， PB ?PC =|PH | PB |=(|PB |- (a+1)| PB |， P0 B?P0C=- |P0H |P0B|=- a，于是 2- (a+1)|00| PB|PB |+a0恒成PB ?PC P B?P C恒成立，相當于 (|P

12、B |- (a+1)| PB | a-恒成立，整理得立，只需 ?=(a+1)2- 4a=(a- 1)20即可，于是 a=1，因此我們得到HB=2 ，即 H 是 AB 的中點，故 ABC是等腰三角形，所以 AC=BC法 3：如圖建系，設 B(b,0), C ( xC , yC ), P( x,0) ，yCuuur uuurPB PC x2(b xC )xbxC ，當且僅當 xbxCbxCbAB2時，上式取最小值，此時2，故 AC BC.Px4法 4：以 AB 中點為坐標原點建系也可，同法2.rrrrrr法 5: 極化恒等式4ab=(ab)2( ab)2uuuruuuruuuruuuruuuruu

13、ur22如圖，取線段BC 的中點 M ，則 4PB PC=(PBPC)2( PBPC)24PMBC ，uuuruuuruuuur要使得 4PBPC 的值最小， 只需 4 PM2取最小值 .因為 P 是線段 AB 上動點， 所以只有當PMABuuuur時， PM 取得最小值，且點P 與點 P0 必須重合， M 是線段 BC 的中點，只有AC=BC 時才能成立 .rrrrrr9.* （ 2012 年安徽卷）若平面向量a,b 滿足 2ab 3，則 ab 的最小值是 _.r r1rr 2rr 21rr29解析： 2a b4(2 ab)(2 ab)4(2 ab).r4r9 .所以 ab 8uuuruuu

14、r設 P 是半徑為AB10.1 的圓上一動點，若該圓的弦3，則 APAB 的取值范圍是 _ .答案：3333,22uuur uuur變式（經典好題）：已知圓半徑為1，圓上的弦 AB 長為 1，P 為圓上的動點， PA PB 的最大值是 （）3313C.33D.13A.B.222222解： 法 1：全部與圓心聯系起來，基本定義uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur 2uuuruuuruuur uuur設 AB 中點為 D ， PA PB=(POOA) (POOB)PO2PO ODOA OB1uuuruuur133 cosuuuruuur，2PO OD22PO, ODuuur u

15、uuruuuruuur33 cos PO, OD1,1， PA PB 的范圍為 3,3.22法 2：建立坐標系，需要用到輔助角公式以 O 點為原點， OA 為 x 軸建立平面直角坐標系，則A(1,0), B(1 ,3 ) ，22（也可設點 A(3 ,1), B(3 ,1 ) ）2222設 P(cos,sin),02uuur(1cos,sinuuur( 1cos , 3 sin ),，則 PA), PB22uuuruuur(1cos)( 1cos) (sin)(3sin )PA PB2233 cos3 sin33(3 cos1 sin)33sin()22222223 1 sin()3333sin

16、()33 ，1，22323uuur uuur3, 3故 PA PB的范圍為 33.22法 3：建立坐標系， 設點 A(3,1),B( 3,1) ， P( x, y) ，2222uuuruuur33xPA PB2法 4：轉化為求三角形的面積的最大值，使用余弦定理和基本不等式uuuruuuruuuruuurAPBuuuruuur03uuuruuurPA PBPAPB cosPAPB cos302PAPB ，uuuruuur222PAPBABPA PB1根據余弦定理和基本不等式PAPB cos300，22法 5：轉化為求三角形的面積的最大值，使用余弦定理和基本不等式求3 uuuruuurP 到 AB

17、 距離的最大值PAPB 的最大值也即求三角形的面積的最大值，也即求點2法 6：與三角形中點聯系起來uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur設 AB 中點為 D ， 則 PA PB=(PDDA) (PDDB) =(PDDA) (PDDA)uuur 2uuur 2uuur 21PDDAPD4uuur3 ,1uuur uuur3, 3易知， PD 的范圍是 13，故 PA PB的范圍為 33.222211.* （ 2011 年浙江卷）已知直線AB 與拋物線y24x 交于點 A, B ，點 M 為 AB 的中點， C 為拋物線uuuuruuuuruuruuur上

18、一個動點，若C0 滿足 C0 A C0Bmin CA CB，則下列一定成立的是（）uuuuurA. C0MABB. C0Ml ，其中 l 是拋物線過 C0 的切線C.C0A C0 BD. C0M AB答案D解析如圖所示， 極化恒等式CA·CB (AM CM ) ·(BM CM ) 221 2 CM (BM AM) ·CM AM·BMCM 4AB ，當直線AB 一定時，當且僅當 |CM |取得最小值時，使得D.只有當 CM l 時， |CM |取得最小值，故選CA·CB取最小值，【注】本題實質上就是求拋物線上一點到其內一點距離的最小值下面用兩種方

19、法來證明，法 1：幾何分析法， 只需證明 CM 不與 l 垂直時，有比CM 還要短的 .這一招太聰明了，如果直接證明CM 最短很不好證 .設過點 C 的切線為 l,此時 C M 不與 l 垂直，作 MHl ，交拋物線于點 C1 .則 MCMHMC1 MC .法 2：求導運算CM 2( x x0 )2( y y0 )2x22x0 x x02y22 y0 y y02y22y2y22y 22x02y222y22f ( y)22x02 y0 y y022x0x02 y0 y y02f ( y)y32(1x0 ) y2 y00時，上式有最小值？【注】此處如何整理出CM CA 時，yy011 ，整理得 y

20、32(1x0 ) y 2y0 0 ，兩條件相同 .xx0y12. 已知圓 O 的半徑為 2， P, Q 是圓 O 上任意兩點，且POQ600， AB 是圓 O 的一條直徑，若點Cuuur(1uuuruuuruuruuur滿足 OC)OPOQ ，則 CA CB 的最小值是（）A 1B 2C 3D 4uuruuuruuur(1uuuruuurCO24解析：由 OC)OPOQ得，點 C在PQ上， CA CB易得當且僅當 C為 PQ 中點時， CO 有最小值1 .變式： 已知圓 O的半徑為2， P, Q 是圓 O 上任意兩點，且POQ600 ， AB 是圓 O 的一條直徑，若點uuur(uuuruuu

21、ruur uuurC滿足OC1)OPOQ ，則CA CB 的最小值是（）A 1B 2C 3D 4uuuruuuruuur(uuuruuur(1uuuruuur解析：設 OPOP ，所以 OC1)OPOQ)OPOQ ，uuruuurCO24點C在PQ上，CA CB易得當且僅當 C 為 PQ 中點時， CO 有最小值3 .【三 . 三角形向量中線公式和中點轉化】13. * 點O是ABC 的三邊中垂線的交點，a，b，c 是角 A，B，C 的對邊，已知 b22bc20,1 b 3，uuur uuur則 BC gAO 的范圍是 _解析： O 是ABC 的外心，設BC 中點為 M ，則 OMBCuuuru

22、uuruuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuruuur 1uuuruuur122)2b .BC gAOBC g( AMMO )BC gAM( ACAB) g( ACAB)(bcb22因為 b22b c20 ，所以 c22bb20，所以 0b2，又1b3，所以 1b 2 .uuuruuur0，2） .所以 BC gAO 的范圍是（14. 已知圓 C : x2y21 ，點 P( x0 , y0 ) 是直線 l : 3x2 y40上的動點， 若在圓 C 上總存在兩個不同uuuruuuruuur的點 A,B，使 OAOBOP ，則 x0 的取值范圍是（）A (0, 24)B (24 ,0

23、)C (0, 13 )D (0, 13 )13132412答案： Auuuruuuruuur【解析】 法 1：如圖， OAOBOP ； OP 與 AB 互相垂直平分，圓心到直線AB 的距離x022y021； x02y024 ；又 3x02 y04 0 ； y023 x0 ，23 x0224代入得： x0224 ；解得0x0；213 x0 的取值范圍是 (0, 24) 故選： A 13法 2： OP=2 時，是臨界狀態(tài)，求出即可 .15.* 在 ABC 中，D 是 BC 邊上任意一點 （D 與 B ，C 不重合），且 AB22+ BDDC ，則 ABCAD一定是（）A 直角三角形B銳角三角形C等腰三角形D等邊三角形AB22uuur 2uuur 2解析：類似于平方差公式，AD 表示成向量的平方ABAD，可以轉化運算uuur 2 uuur 2uuuruuuruuur 2uuur 2uuuruuuruuuruuuruuur0，故是等腰，選C.AB