2018高中數(shù)學(xué)初高中銜接讀本專題3.2二次函數(shù)的最值問題高效演練學(xué)案

1、x=第 2 講二次函數(shù)的最值二次函數(shù)y二ax2bx c (a = 0)是初中函數(shù)的主角，所蘊(yùn)含的函數(shù)性質(zhì)豐富，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)當(dāng)自變量x在某個范圍內(nèi)取值時，求函數(shù)y的最大(小)值，這類問題稱為最值問題問題最值問題在實際生活中也有廣闊的應(yīng)用.【知識梳理】1.二次函數(shù)解析式的三種形式:一般式：2y=ax+bx+c(a* 0).頂點式：y=a(xn)i+n(a*0)，頂點坐標(biāo)為(rm n).零點式：y=a(xxi)(xX2)(a*0),Xi,X2為f(x)的零點.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式y(tǒng)=ax+bx+c(a0)y=ax+bx+c(a0)圖象|0 時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上

2、；頂點坐標(biāo)為(，)，對稱軸為直線x=2a 4a；當(dāng)xv時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x 時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)2a2a2ax衛(wèi)時，函2a數(shù)取最小值y=4acb4a2(2).當(dāng)av0 時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為(-一，-)，對稱軸為直線x=2a 4abbb；當(dāng)xv -時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x -時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)2a2a2ab2a時，函數(shù)取最大值4a【高效演練】x=31. 二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x= 2，最小值為一 1，則它的解析式是y=_.2【解析】設(shè)y=a(x 2) - 1(a0),1當(dāng) x= 0 時，4a 1 = 1,a=2，所

3、以y= 2(x 2)2 1 = 2x2 2x+ 1.12【答案】產(chǎn)2 2x+ 1.2. 已知函數(shù) y=x2+ 2ax+ 1 a(x 0 , 1)有最大值 2,貝U a=_.【解析】函數(shù)f(x) = x2+ 2ax+ 1 a= (xa)2+a2a+ 1，其圖象的對稱軸方程為x=a.當(dāng) a1 時，f(x)max=f(1) =a,所以a= 2.綜上可知，a = 1 或 a = 2.【答案】1 或 2.23. 已知函數(shù) y=x - 2x+3,求下列情況下二次函數(shù)的最值(1)2wxw3;(2)-2wxw2.【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù) y=x2- 2x+3 的圖象和性質(zhì)，分析當(dāng) 2wxW3時，y 遞增，進(jìn)

4、而可得 y 的最大值、 最小值；(2)根據(jù)二次函數(shù) y=x2-2x+3 的圖象和性質(zhì)，分析當(dāng)-2wxw2.時，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得 y 的最大值、 最小值.【解答】y =匕- 1)卻 2,對稱軸 x=l,(1)當(dāng) 2*3時，y隨 x増犬而増大X=3 日寸： ymax=6 x=2 日寸：ymjn=3 J(2)-2X2 時，當(dāng)-2X1 時 9 y隨増大而減小在遞減，當(dāng)時；y隨増大而増大遞增，.X2 0 寸；yiE=llX=1 時；ymi(L=2 ”4【點評】熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求取最值的關(guān)鍵。4.二次函數(shù) y=ax2+bx+c(1 )若 a=1, b= - 1, c= - 2,求此拋物

5、線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo).(2) 若 a=1, b= - 4m c=1 - 2m 當(dāng)-1 xv1 時，拋物線與 x 軸有一個公共點，求 m 的取值范圍.(3) 若 a=1, b= -4m, c=3,當(dāng)-1 x 0; x= - 1 時，y 0;2x=1 時，y0;3x=1 時，y 0; x= - 1 時，y 0.(3 )將 a=1, b=- 4m, c=3 代入解析式，令 0; x= - 1 時，y 0，列不等式組解答即可.【解析】 將RT# b=- b e 2代入驚式得,y=x2-x- 2令尸 6 則原式可化為以-x-2=0，即(x+1) (x-2) =0解得乳=-1, x=2.則拋物纟戔與 x軸

6、交點坐標(biāo)為(-b 0),令 x-0,則尸-2,則拋物線與 y軸交點坐標(biāo)為 C0, -2力故拋物線與坐標(biāo)軸的交點為：(-1, 0), (2, 0), (0, -2);(2 )將 a=1, b=- 4m, c=1 - 2m 代入解析式得，2y=x - 4mx+1- 2m,當(dāng)-1 x0，解得m=1 _討5.4 l+4m+l-2in05l-4m+12m.l+4m+l-2niCl3_ l-4m+l-2ni0l+4m+l-2in_, m- 1 或 m= :時當(dāng)-1vx 1 時，拋物線與 x 軸有一個公共點.342(3 )將 a=1, b= - 4m c=3 代入解析式得，y=x - 4mx+3,當(dāng)-1vx

7、v1 時，二次函數(shù)的值恒大于 1,(-4m) JX30,l+4m+l -加0X解得-1vmv丄或-=vmv 323【點評】此題考查了拋物線與x 軸的交點坐標(biāo)及函數(shù)圖象與不等式組的關(guān)系，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式組是解題的關(guān)鍵.25.已知二次函數(shù) y =ax bx c(a = 0)，其兩根分別為 0,5，且當(dāng)-1 空x乞4時，最大值為 12.(1)求函數(shù)的解析式；當(dāng)t乞x 1時，求函數(shù)的最小值.【解析】因為是二次函數(shù)，兩根分別為0,5,所以可設(shè)y=ax(x 5)(a0),所以當(dāng)-1空x乞4時，的最大值是f( 1) = 6a.由已知得 6a= 12,所以a= 2,所以y= 2x(x 5) = 2x

8、2 10 x.2f 5 255 由(1)知y= 2x 10 x= 2x亍，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=531當(dāng)t+K，即tw時，y在tx玄t 1上單調(diào)遞減，所以h= 2(t+ 1)2 10(t+ 1) = 2t2 6t 8;2當(dāng)tI 時,y 在t乞xt 1上單調(diào)遞增，所以h= 2t2 10t;5355253當(dāng)tvt+ 1，即vtv2 時，y在x= 處取得最小值，所以最小值為 .232t 6t 8,t 266.已知y=ax2 2x(0wx0 時，y=ax 2x的圖象的開口方向向上，且對稱軸為x=-.a1 一11當(dāng) 0-1時，f(x) =ax2 2x的圖象的對稱軸在0, 1內(nèi)，所以y在|

9、0,上遞減,aa當(dāng)a1,即 0a 1，即可.由(1)知，當(dāng)a 0,解得 k2.即卩 k2且 k 1。綜上所述，k 的取值范圍是 k 2。(2Tx1X2,由(1)知 kv2 且 k 工 1。由題意得(k - 1) X1+ (k+2) =2kx1(* ),3y的最大值為，最小值為-3。2【點評】拋物線與 X 軸的交點，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關(guān)系，二次函數(shù)的最值。8.如圖，已知拋物線 y= -X2+2X經(jīng)過原點 O,且與直線 y=x - 2 交于 B, C 兩點.(1)求拋物線的頂點 A 的坐標(biāo)及點 B, C 的坐標(biāo)；求證：/ ABC=90 ;(3)在直線 BC 上方的拋

10、物線上是否存在點P,使厶 PBC 的面積最大？若存在，請求出點 P 的坐標(biāo)；若不存在, 請說明理由;解得：k1= - 1, k2=2 (不合題意，舍去)O 所求k 值為-1o2如圖，Tk1=-1,y=-2x +2x+1=-2(X -1)23+ ,且-22由圖象知：當(dāng) x= - 1 時，y最小=-3;當(dāng)x=1時，y最大=3。221 X 1,2將(*)代入(k - 1) X1+2kx2+k+2=4x1X2中得:2k (X1+X2)=4X1X2。 又Tx2k計 X2=-k -1k+2X1X2=-k 1 2k?2k=4?k+2,k -1k -1 9【答案】A(1, 1) , B(2, 0) , C(-

11、 1 , - 3) (2)見解析(3)(, )24【分析】(1)把拋物線解析式化為頂點式可求得A 點坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式可求得B、(2) 由 A B、C 的坐標(biāo)可求得 A 扌、BC 和 AC,由勾股定理的逆定理可判定 ABC 是直角三角形；(3)過點 P 作 PG/y軸，交直線 BC 于點 G,設(shè)出 P 點坐標(biāo)，則可表示出 G 點坐標(biāo)，從而可表示出則可表示出 PBC 的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時P 點坐標(biāo)【解析】(1)： y=-x2+2x=- (x-1 )2+1,拋物線頂點坐標(biāo) A (1, 1),聯(lián)立拋物線與直線解析式可得.，解得或，y=x-2ly B ( 2, 0),

12、 C (-1 , -3 );(2)證明：由(1)可知 B0), C (-1, -3), A 1, 1),二 AB= (1-2) 3+V=2, BC?= (-1-2)卻(.3)M8, AC?= (-1-1)2+ (-3-1)；.AC?=AB2+BC2.ABC 是直角三甬形,(3)如圖，過點 P 作 PG/y軸，交直線 BC 于點 GC 的坐標(biāo);PG 的3=20,10設(shè) P (t , -t2+2t),則 G (t , t-2 ), 點 P 在直線 BC 上方,22丨29-PG 二 t +2t-(t-2)=-t +t+2=-(t-)+,241331-SPBC=SPGB+SAPGC=PG2-(-1)= PG=-(t)2222 當(dāng) t=時，SAPBC有最大值，此時