數(shù)學(xué)模型A實(shí)驗(yàn)報(bào)告模板2

1、重 慶 交 通 大 學(xué)學(xué) 生 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)課程名稱 數(shù)學(xué)模型 專 業(yè) 年 級(jí) 2012級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名 陶 芳 學(xué) 號(hào) 631222020130 開 課 時(shí) 間 20152016學(xué)年第2學(xué)期 假設(shè)合理優(yōu)良中差建模求解全面優(yōu)良中差結(jié)果分析完善優(yōu)良中差文檔清晰優(yōu)良中差綜合成績(jī)教師姓名蔣偉儲(chǔ)蓄所的服務(wù)員數(shù)量問(wèn)題一摘要目前，眾多經(jīng)營(yíng)機(jī)構(gòu)都想取得經(jīng)營(yíng)的最優(yōu)化，也就是是取得利益最大化，儲(chǔ)蓄所服務(wù)員雇傭優(yōu)化問(wèn)題主要是如何在經(jīng)營(yíng)管理中科學(xué)選擇全時(shí)、半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量從而使自己的經(jīng)營(yíng)成本達(dá)到最低。 就第一問(wèn)而言，我們對(duì)同時(shí)雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員時(shí)工作時(shí)間段和服務(wù)員數(shù)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在第二問(wèn)

2、中，半時(shí)服務(wù)員數(shù)量為零，通過(guò)第一問(wèn)的分析基礎(chǔ)，計(jì)算此時(shí)儲(chǔ)蓄所雇傭服務(wù)員的每天總費(fèi)用達(dá)到最大。我們認(rèn)為如果條件允許下儲(chǔ)蓄所應(yīng)該多雇傭半時(shí)服務(wù)員。在第三問(wèn)中，半時(shí)服務(wù)員數(shù)量沒有限制，我們通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)在這種情況下儲(chǔ)蓄所雇傭服務(wù)員的每天總費(fèi)用達(dá)到最低關(guān)鍵字：雇傭總費(fèi)用最低，功能函數(shù)二問(wèn)題重述某儲(chǔ)蓄所每天的營(yíng)業(yè)時(shí)間是上午9：00到下午5:00.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每天不同時(shí)間段所需的服務(wù)員數(shù)量如下：儲(chǔ)蓄所可以雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員。全時(shí)服務(wù)員每天報(bào)酬100元，從上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之間必須安排1小時(shí)的午餐時(shí)間。儲(chǔ)蓄所每天可以雇傭不超過(guò)3名的半時(shí)服務(wù)員，每個(gè)半時(shí)服務(wù)員必須

3、連續(xù)工作4小時(shí)，報(bào)酬40元。問(wèn)該儲(chǔ)蓄所該如何雇傭半時(shí)和全時(shí)兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi)用？如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費(fèi)用？三基本假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明決策變量：假設(shè)該儲(chǔ)蓄所每天雇傭的全時(shí)服務(wù)員中在12:00-1:00之間吃中飯的有名，在1:00-2:00之間吃中飯的有名；雇傭的半時(shí)服務(wù)員中從9:00,10:00,11:00,12:00,1:00開始工作的分別為四問(wèn)題分析第一問(wèn)：因?yàn)槿珪r(shí)工數(shù)越少，越省錢，半時(shí)工數(shù)量受限制，所以我們可以看出，因?yàn)橄挛缱詈髢尚r(shí)要求人數(shù)最多，所以這時(shí)要用半時(shí)工，還有中午的時(shí)候，由于全時(shí)工要休息一小時(shí)并且12-1點(diǎn)要6人大于1

4、-2點(diǎn)所需人數(shù)。所以可以認(rèn)為部分半時(shí)工從12點(diǎn)開始工作。 第二問(wèn)：不用半時(shí)工時(shí)，全時(shí)工要滿足中午兩個(gè)小時(shí)人數(shù)夠，而且下午最后一小時(shí)人數(shù)夠。 第三問(wèn):半時(shí)工人數(shù)不限制則全部雇傭半時(shí)工最省錢。目標(biāo)函數(shù)：五模型的建立與求解s.t. 求解得到最優(yōu)解六.模型的評(píng)價(jià)與擴(kuò)展1.模型的優(yōu)點(diǎn) 1通過(guò)處理數(shù)據(jù)，巧妙地應(yīng)用了優(yōu)化模型，對(duì)A與b1，b2，b3，b4，b5的變化過(guò)程行實(shí)時(shí)跟蹤處理和合理解釋。 2運(yùn)用功能強(qiáng)大、對(duì)非線性問(wèn)題很好LINGO優(yōu)化軟件處理數(shù)據(jù)，快捷高效，所得結(jié)果較為可靠。 3根據(jù)題目信息將半時(shí)服務(wù)員分為五種，不僅簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，而且使問(wèn)題考慮的更加全面。 2.模型的缺點(diǎn) 1求解雇傭總費(fèi)用是一個(gè)優(yōu)

5、化過(guò)程，并不能在圖表直觀描述每天服務(wù)員數(shù)量的變化趨勢(shì)。 2雇傭總費(fèi)用以天為單位，數(shù)據(jù)量不夠，誤差可能比較大。 3我們只考慮一天不同時(shí)間段所需服務(wù)員數(shù)量，而沒有考慮較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)服務(wù)員數(shù)量七參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)模型（第三版） 作者：姜啟源 謝金星 葉俊八附錄Global optimal solution found. Objective value: 820.0000 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 23 Variable Value Reduced Cost M1 2.000000 100.0000 M2 5.000000 100.000

6、0 N1 0.000000 40.00000 N2 2.000000 40.00000 N3 0.000000 40.00000 N4 0.000000 40.00000 N5 1.000000 40.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 820.0000 -1.000000 2 3.000000 0.000000 3 6.000000 0.000000 4 5.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000

7、9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000（2）Global optimal solution found. Objective value: 1100.000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost M1 5.000000 100.0000 M2 6.000000 100.0000 N1 0.000000 0.000000 N2 0.000000 0.000000 N3 0.000000 0.000000 N4 0.000000 0.0

8、00000 N5 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1100.000 -1.000000 2 7.000000 0.000000 3 8.000000 0.000000 4 7.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 5.000000 0.000000 8 3.000000 0.000000 9 3.000000 0.000000 10 0.000000 -40.00000 11 0.000000 -40.00000 12 0.000000 -40.

9、00000 13 0.000000 -40.00000 14 0.000000 -40.00000（3）Global optimal solution found. Objective value: 560.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost M1 0.000000 100.0000 M2 0.000000 100.0000 N1 4.000000 40.00000 N2 2.000000 40.00000 N3 0.000000 40.00000 N4 0.0

10、00000 40.00000 N5 8.000000 40.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 560.0000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 3.000000 0.000000 4 2.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 5.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000人壽保險(xiǎn)問(wèn)題一摘要當(dāng)人們對(duì)所研究對(duì)象的內(nèi)在特性和各種因素間的關(guān)系有比較充分的認(rèn)識(shí)時(shí)，一般用機(jī)理分析方法建

11、立數(shù)學(xué)模型。但是，如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識(shí)度的限制，則無(wú)法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。那么，通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析去建立模型。在本文中，為了了解一種新止痛劑的療效與病人的性別和血壓之間的關(guān)系，我們搜集了一些原始數(shù)據(jù)，把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來(lái)進(jìn)行測(cè)試，利用統(tǒng)計(jì)回歸分析的方法，通過(guò)比較分析病人用藥的劑量、性別和血壓組別的關(guān)系，預(yù)測(cè)出病人服用該止痛劑后病痛明顯減輕的時(shí)間。該問(wèn)題屬于對(duì)止痛劑療效預(yù)測(cè)的問(wèn)題,我們結(jié)合止痛劑使病人明顯減輕病痛的時(shí)間與用藥劑量以及血壓用圖表描述的方法,建立如下統(tǒng)計(jì)回歸模型:首先對(duì)與和

12、與的關(guān)系,利用表中的數(shù)據(jù)分別作出對(duì)和的散點(diǎn)圖(見圖1和圖2的圓點(diǎn)).從圖1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x1增大時(shí),y有向上彎曲減少的趨勢(shì),圖中曲線用二次函數(shù)模型 (1)擬合的（其中是隨機(jī)誤差）.而在圖2中,當(dāng)增大時(shí),y的變化趨勢(shì)不明顯,暫且用線性模型 (2) 綜合上面的分析,結(jié)合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型: (3)利用MATLAB軟件中的regress命令進(jìn)行求解得到的模型（3）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,的結(jié)果(見表2).經(jīng)過(guò)用圖像處理法檢驗(yàn)該模型結(jié)果精確,不僅本身具有較強(qiáng)的靈活性,而且可以推廣到各種藥品的療效預(yù)測(cè)和某種商品需求量預(yù)測(cè)等多方面.關(guān)鍵詞: 血壓 用藥劑量 回

13、歸系數(shù) 置信區(qū)間 病痛減輕時(shí)間二問(wèn)題重述一個(gè)醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛藥的療效，設(shè)計(jì)了一個(gè)藥物試驗(yàn),給患有同種病痛的病人使用這種新止痛劑的以下4個(gè)劑量中的某一個(gè):2g,5g,7g和10g,并記錄每個(gè)病人病痛明顯減輕的時(shí)間(以分鐘計(jì)).為了解新藥的療效與病人性別和血壓存在的關(guān)系,實(shí)驗(yàn)過(guò)程中研究人員把病人按血壓的低中高三檔平均分配來(lái)進(jìn)行測(cè)試.通過(guò)比較每個(gè)病人血壓的歷史數(shù)據(jù),從低到高分3組,分別記作0.25,0.50和0.75.試驗(yàn)結(jié)束后,公司的記錄結(jié)果見下表(性別以0表示女,1表示男). 請(qǐng)你為公司建立一個(gè)模型,根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別,預(yù)測(cè)出服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間.病人

14、序號(hào)病人減輕時(shí)間(min)用藥劑量（g）性別血壓組別135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75表(1)三基本假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明1、 假設(shè)用藥劑量與血壓不相關(guān),二者沒有交互作用.2

15、、 假設(shè)病痛減輕時(shí)間只與用藥劑量血壓有關(guān).3、 -用藥劑量(單位:有四種不同的計(jì)量=25710).4、 -血壓(由低到高分成三組記作=0.250.500.75).5、 -病痛減輕時(shí)間(單位:min).6、 -回歸系數(shù)（）.7、 -統(tǒng)計(jì)量.8、 -概率值.9、 -隨機(jī)誤差.10、 -置信水平.四問(wèn)題分析由于止痛劑在減輕病人的傷痛方面有很大幫助.病人所關(guān)心的是止痛藥的療效也就是病痛減輕時(shí)間長(zhǎng)短,不會(huì)在乎藥物劑量的多少,但作為生產(chǎn)者醫(yī)藥公司來(lái)說(shuō),必須對(duì)病人病痛減輕的時(shí)間用藥的劑量,病人血壓有個(gè)全面的了解才能以質(zhì)量在競(jìng)爭(zhēng)中取勝.我們可以通過(guò)用藥劑量和病人的血壓以及性別對(duì)療效進(jìn)行預(yù)測(cè)并建立模型.從分別對(duì)

16、的散點(diǎn)圖,可以得到兩個(gè)不同的模型 （1） （2）結(jié)合模型（1）和（2）得到如下的回歸模型 （3）五模型的建立與求解51 模型的建立及求解： 在分析服用藥物后病痛明顯減輕的時(shí)間的過(guò)程中,我們把男性和女性分開討論.對(duì)于女性,我們首先利用表的數(shù)據(jù),分別作出(減輕病痛的時(shí)間)對(duì)(藥量)和(血壓)的散點(diǎn)圖（見附錄(1) 中圖1和圖2的圓點(diǎn)）.圖1 y對(duì)x1的散點(diǎn)圖圖2 y對(duì)x2的散點(diǎn)圖從圖1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)增大時(shí),有向上彎曲減少的趨勢(shì),圖中曲線用二次函數(shù)模型 (1)擬合的（其中是隨機(jī)誤差）.而在圖2中，當(dāng)增大時(shí),的變化趨勢(shì)不明顯,暫且用線性模型 (2)綜合上面的分析,結(jié)合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型

17、: (3)直接利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regrss求解其中輸入為模型（3）中的數(shù)據(jù)（維向量,=12）,為對(duì)應(yīng)回歸系數(shù)的數(shù)據(jù)矩陣1 x1 x2 x22,alpha為置信水平,為殘差向量,rint為的置信區(qū)間,stats為回歸模型的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，有3個(gè)值，第一個(gè)是回歸方程的決定系數(shù)(是相關(guān)系數(shù)),第二個(gè)是統(tǒng)計(jì)量值,第3個(gè)是與統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值.得到的模型（3）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,的結(jié)果見表2參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間59.351339.2313,79.4713-8.9039-15.5312,-2.27663.5000-16.3410,23.34100.3556

18、-0.1844,0.8956 表2 (模型(3)的計(jì)算結(jié)果)52 結(jié)果分析 :表2顯示可以看出擬合度并不高,它表示應(yīng)變量(病痛減輕時(shí)間)只有88.53可由模塊確定, 值遠(yuǎn)超過(guò)的臨界值, 遠(yuǎn)小于(為置信水平),因此從整體來(lái)看該模型是可用的.表2的回歸系數(shù)給出了模型(3)中的估計(jì)值,即,.檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn),只有的置信區(qū)間包含零點(diǎn),表明回歸變量(對(duì)因變量的影響)不是很顯著,但由于是顯著的,我們可將變量保留在模塊當(dāng)中.53 止痛藥療效預(yù)測(cè)(病痛減輕時(shí)間預(yù)測(cè)及模型改進(jìn)):模型（3）中的回歸變量和對(duì)因變量的影響是相互獨(dú)立的,及減輕病痛的時(shí)間的值與血壓組別的二次關(guān)系由回歸系數(shù),確定,而不依賴于用藥量.

19、同樣,的值與的線性關(guān)系系數(shù)和,不依賴于,根據(jù)直覺和經(jīng)驗(yàn)可以猜想,和之間的交互作用會(huì)對(duì)由影響,我們可對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，不妨簡(jiǎn)單的用,的乘積代表他們的交互作用,于是將模型（3）增加一項(xiàng),得到 （4）利用MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱得到的結(jié)果見表3.參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間36.939522.9221,50.9570-5.1686-8.8117,-1.525548.323526.1230,70.5240-7.4706-10.7986,-4.14260.35560.0915,0.6196 表(3)表3與表2的結(jié)果相比,有很大提高為0.9087,說(shuō)明模型比模型有所改進(jìn).并且，所有參數(shù)的置信區(qū)間，特別是，的交互作

20、用項(xiàng)的系數(shù)的置信區(qū)間不包含零點(diǎn)，所以有足夠的理由相信模型比模型更符合實(shí)際.我們從中可以得到女性的減輕病痛的時(shí)間與用藥劑量和血壓組別的關(guān)系為: (5)對(duì)于男性我們用同樣的方法得到模型為 (6) 從表1中所給的數(shù)據(jù)當(dāng)中我們選取1號(hào)女性病人的調(diào)查數(shù)據(jù):, 代入?？傻玫?即另取23號(hào)男性病人的調(diào)查數(shù)據(jù): ,代入模型可得到:即 我們把從模型中得到的數(shù)據(jù),分別與調(diào)查顯示的數(shù)據(jù)1號(hào)病痛減輕的時(shí)間 ,23號(hào)病痛減輕的時(shí)間進(jìn)行比較,存在一定差距但比較接近,說(shuō)明該模型可行并且可進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn). 六.模型的評(píng)價(jià)與擴(kuò)展6.1模型評(píng)價(jià)6.1.1優(yōu)點(diǎn)1.本文的模型在建立的過(guò)程中充分考慮到止痛藥與病人的重要相關(guān)因素，得出

21、我們建立的模型中的最佳模型。2.該模型實(shí)用性強(qiáng)，對(duì)現(xiàn)實(shí)有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義。3.在求解模型時(shí)多次回歸，直到無(wú)異常數(shù)據(jù)，因此該模型準(zhǔn)確度高。對(duì)次我們抽取了1號(hào)女性病人和23號(hào)男性病人的調(diào)查數(shù)據(jù),他們病痛減輕的時(shí)間與從模型中得到的結(jié)果分別進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)模型的結(jié)果與實(shí)際調(diào)查的數(shù)據(jù)非常接近,證明了模型不僅成立并且可行. 6.1.2缺點(diǎn) 1.本文在解決問(wèn)題中使用的數(shù)據(jù)大部分為實(shí)驗(yàn)值，本身存在誤差，我們沒有使用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。2.在模型建立中，所建模型相對(duì)復(fù)雜，與建模要求中模型的簡(jiǎn)單、明了不符。6.2改進(jìn)與推廣 1. 我們建的模型不僅可用于醫(yī)藥公司新藥的推廣，也可用于其它資源的安排，還可用于諸如像工資薪金模

22、型的其它類型的問(wèn)題。 2. 由于題目給出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不是很精確，如果我們能對(duì)統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行改進(jìn)，估計(jì)時(shí)間可以更加精確。3. 這個(gè)模型比較接近現(xiàn)實(shí)，它很有實(shí)用價(jià)值，可以為以后其他新藥的推廣提供參考。七參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)模型（第三版） 作者：姜啟源 謝金星 葉俊八附錄>> x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;>> x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;>> y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;>> x=ones(12,1),x1',x2',(x1.2)'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x)b = 59.3513 -8.9039 3.5000 0.3556bint = 39.2313 79.4713 -15.5312 -2.2766 -16.3410 23.3410 -0.1844 0.8956r = -8.8407 -1.7157 9.4093 1.4044 1.5294 1.6544 3.6789 -5.1961 -3.0711 6.2574 0.3824 -5.4926rint = -16.