多元線性回歸模型公式

1、、多元線性回歸模型 在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個（多于兩個）要素之間也存在著相互影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立 假設(shè)某一因變量 y 受 k 個自變量 x1, x2 ,., xk 的影響，其 n 組觀測值為（ ya, x1a, x2a,., xka ），a 1,2,., n 。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：ya01x1a2 x2ak xka式中：0 , 1k 為待定參數(shù)；a 為隨機變量。如果 b0,b1,.,bk 分別為 0, 1, 2., k的擬合值，則回歸方程為?=b0 b1x1 b2x2 . bkxk （）式中：b0 為

2、常數(shù)；b1, b2 ,., bk 稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù) bi（i 1,2,., k ）的意義是，當(dāng)其他自變量 xj（ j i ）都固定時，自變量 xi每變化一個單位而使因變量 y 平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理，i(i 0,1,2,., k )的估計值 bi (i0,1,2,., k )應(yīng)該使yaa12 yayaa1b0 b1x1ab2 x2 a2bk xkamin ()有求極值的必要條件得Qbjn2ya yab0a 1n2ya ya xja 0( ja10()1,2,.,k)將方程組（）式展開整理后得：nnnnnb0(x1a )b1 (x2a )b2 .(xka ) bkyaa1a

3、1a1 a 1nnnnn( x1a )b0(x12a )b1 (x1ax2a )b2 .(x1axka )bkx1a yaa1a1a1a1a1nnnnn( x2a )b0(x1ax2a)b1( x22a )b2 .(x2axka )bkx2ayaa1a1a1a1a1nnnnn( xka )b0(x1axka)b1( x2a xka)b2(xka )bkxkayaa1a1a1a1a1）方程組（）式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：則正規(guī)方程組（）式可以進一步寫成矩陣形式Ab B (3.2.15 ')求解（ 3.2.15 '）式可得：1 T 1 Tb A 1B (XTX)

4、 1X TY ()如果引入記號：. Lkk bk則正規(guī)方程組也可以寫成：L11b1L12 b2 . L1k bkL1yL21b1L22 b2 . L2 k bkL2y(3.2.15 '')Lk1b1Lk2b2b0 y b1 x1 b2 x2bk xk（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進行顯著性檢驗。與前 面的一元線性回歸分析一樣，因變量 y的觀測值 y1, y2 ,., yn 之間的波動或差異，是由兩個 因素引起的，一是由于自變量 x1, x2 ,., xk 的取之不同，另一是受其他隨機因素的影響而引起 的。為了從 y 的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進行方差分析，也就是 將 y 的離差平方和 ST 或（ Lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和 U與剩余平方和 Q：在多元線性回歸分析中，回歸平方和表示的是所有 k 個自變量對 y 的變差的總影響，它可 以按公式計算，而剩余平方和為以上幾個公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。它們所代表的意義也相似，即 回歸平方和越大，則剩余平方和 Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性回 歸分析中，各平方和的自由度略有不同，回歸平方和 U的自由