數(shù)值分析第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題答案

1、精品文檔第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分(1) 定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：h hf(x)dx Aif( h) Af(0) Af(h)；2h(2) 2hf(x)dx Aif( h) Aof(0) Af(h);1(3) 1f (x)dx f( 1) 2f (xi) 3f d)/3;h .,2 , 0 f(x)dx hf(0) f(h)/2 ah f (0) f (h);解：求解求積公式的代數(shù)精度時(shí)，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗(yàn)證性求解。h(1)若(1) hf

2、(x)dx A 1f ( h) A0f (0) Af(h)令f (x) 1 ,則 2h A Ao A令f (x) x,則 0 A1h Ah令 f (x) x2 ,則2h3 h2Al h2A 3從而解得A 3hA1 1h 3A lh 1 3令 f (x) x3 ,則hh f (x)dx：x3dx014歡在下載A1f ( h) A0f (0) A1f(h) 0h故 h f (x)dx A if (h) A0f(0) Af(h)成立。令 f (x) x4hh f (x)dxhx4dxh2h55Aif( h)Aof(0)2 5 A1f (h) -h53故此時(shí)，Aif (h) Ao f (0) Aif(

3、h)hh f (x)dxh故 h f (x)dx A if ( h) A0 f (0) Af(h)具有3次代數(shù)精度。2h2hf(x)dx Aif( h) A0f (0) Af(h)令 f (x)4h AiAoA令 f (x)x,則0 Aih Ah令 f (x) x2 ,則16 322h h A h A 3從而解得4h38h3Ai8h3令 f (x) x32h2hf(X)dx2h 3x dx 02hAif ( h)A0f(0) A1f(h) 02h故 2卜 f(x)dxA 1f ( h) A0f (0) Af(h)成立。令 f (x) x4 ,2h2hf(x)dx2hx4dx 64h52hAif

4、( h)A0 f (0)516 h5Ai f (h) h 3故此時(shí)，2h2hf(x)dx因此，2hf( x)dx2hAif(Aif(h)h)Aof (0) Ai f(h)A3f(0) Af(h)具有3次代數(shù)精度。11 f (x)dxf(1) 2f (x1) 3f (x2)/3令 f (x)11f(x)dx 2 f( 1)2 f (x1) 3f (x2)/ 3f(x)x,則243x2f(x)1 2x123x2從而解得x 0.2899-或0.6899x2 0.5266x20.1266令 f (x) x3 ,則11 f (x)dx1x3dx1f ( 1) 2f (x1) 3f(x2)/ 3 01故f

5、(x)dx f( 1) 2f(x1) 3f (x2)/ 3 不成立。因此，原求積公式具有 2次代數(shù)精度。h(4)若 0 f(x)dx h f (0)f(h)/ 2 ah2f (0) f (h)令f (x) 1 ,則 h0 f (x)dx h, hf(0) f(h)/2 ah2f(0) f (h) h 令f (x) x,則hh1 2f (x)dx xdx h002_2 _12h f (0) f(h)/2 ah2 f (0) f (h) -h22f (x)dxhx2dx0-h33h f (0) f (h)/ 2 ah2 f (0)_1 32f (h)-h3 2ah22故有1 31 32h h 2a

6、h321a 一12令 f (x) x3 ,則h0 f(x)dxhx3dx01h4412 .hf(0) f(h)/2 / f (h)1h4 1h4 1h4244令 f (x) x4 ,則h0 f (x)dxh “1Kx dx h051 .51 ,51 ,5f (h) -h-h h236故此時(shí)，h0 f (x)dx h f(0)12 hf(0) f(h)/2 ”"0)1 2 .f(h)/2 行h2f(°)f(h)， h _一一 一 一 12 一一 一因此0f(x)dx hff(h)/2 受f f(h)具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：1 x0 Kdx

7、，n 8;110;1(1 ex)"-dx,n0 x1、xdx,n 4;(4) ；4 sin2 d ,n 6;解：1 - x(1)n 8,a 0,b 1,h -,f(x) -284 x復(fù)化梯形公式為hT8 2f(a) 27f (xk)f(b)0.11140復(fù)化辛普森公式為S8 6ff(x 1)k 一 2f西)f(b) 0.11157(2)n 10,a0,b1 .1,h 而f(x)(11X)2復(fù)化梯形公式為T(mén)102f(a)f (xk)f(b)1.39148復(fù)化辛普森公式為f(xk 1)k2f(xk) f(b) 1.45471hSWf(a) 46 (3)n 4,a 1,b 9,h 2, f

8、 (x) .x,復(fù)化梯形公式為h3T4 f(a) 2 f (xk) f(b) 17.227742k 1復(fù)化辛普森公式為 6f(a)/2) 23f(xk) f(b) 17.32222k 1(4)n 6,a 0,b , h 一, f (x).4 sin2636復(fù)化梯形公式為h 5T6 f(a) 2f(xk) f(b) 1,035622k 1復(fù)化辛普森公式為h50 -f(a) 4 f(x 1)6k 0 k 252f(xk)f(b) 1,03577k 13。直接驗(yàn)證柯特斯教材公式（證明：柯特斯公式為bb af （x）dx-7 f （X。）a902。4）具有5交代數(shù)精度。32f(Xi) 12f(X2)

9、32f(兄)7f(乂)bb af (x)dx a90ba7 f(X0) 32 f (X1) 12 f (X2)9032 f 函)7f(X4) b a令f (x) x,則ba f(x)dxxdx 1(b22a2)k7f(x0)32f(X1)12f(X2)32 f(X3)7f(x4)i(b2a2)令 f (x) x2 ,則ba f(x)dx21x dx (b333、a )ba7 f(xo) 32 f (X1) 12 f (X2)9032f(必)7 f (刈)1(b3a3)令 f (x) x3 ,則f (x)dxb 3 x dxaba7 f(xo) 32f (xi) 12f (x2)32f(x3)

10、7f (刈)90144;(b a)令 f (x) x4 ,則f (x)dx4155x dx (b a )5ba7 f(xo) 32f(x1)12f(x2)32f(必)7f(刈)90a5)令 f (x) x5 ,則ba f(x)dxx5dx 16(b6a6)166-(b a ) 6ba7 f(xo) 32f(x1)12f d) 32fm)7f 函) 90令 f (x) x6 ,則h .ba.0 f (x)dx- 7 f (xo)32fQ) 12f N)32f (xj7f (x4)90因此，該柯特斯公式具有 5次代數(shù)精度。14。用辛普森公式求積分e xdx并估計(jì)誤差。0解：辛普森公式為b aa b

11、S bf(a) 4f(-) f(b)62此時(shí)，a 0,b 1, f(x) e x,從而有111S -(1 4e 2 e ) 0.632336誤差為R(f)高丁)4f(4)()1180124e0 0.00035,(0,1)5。推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:ba f(x)dx(ba)f (a)ba f(x)dx(ba)f(b)f ()2f ()2(b a)2；(b a)2；bf (x)dx a(ba)f(-2b)小 a)3；24證明:(1)Q f(x)f(a) f ()(xa),(a,b)兩邊同時(shí)在a,b上積分,ba f(x)dx即(b a)f(a)b)a(x a)dxba f(x)dx(b a)f(

12、a)(2)Q f(x)f(b) f (2 )(b)(b a)2x),(a,b)兩邊同時(shí)在a, b上積分,ba f(x)dx即(b a)f(a)b)a (b x)dxba f(x)dx(b a)f(b)(3)Q f(x)f(號(hào))2f (貸(b a)2、/ a b.)(x -)2(a,b)兩連邊同時(shí)在a,b上積分，得bf (x)dx a即bf (x)dx aa b (b a)f()a b (b a)f()(%)ba(Xa)3；a b2-)dx山b(x2 aa b.2 .)dx26。若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分I °exdx,問(wèn)區(qū)間0,1應(yīng)人多少等分才能使截?cái)嗾`差不超15過(guò)2 10 5?若改用

13、復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間0,1應(yīng)分多少等分?解：采用復(fù)化梯形公式時(shí)，余項(xiàng)為Rb-ah2f ( ),(a,b)121又 Q Iexdx0故 f (x) ex, f (x)xe ,a0,b 1.1 oRn(f)”f若 Rn(f)1510 5,則2265h210 5e當(dāng)對(duì)區(qū)間0,1進(jìn)行等分時(shí),h 1 n故有e 10 5 212.85因此，將區(qū)間213等分時(shí)可以滿(mǎn)足誤差要求 采用復(fù)化辛普森公式時(shí)，余項(xiàng)為R(f)b a / h 4 r (4)麗(2) f (),(a,b)又Q f(x)f (x)Rn(f)xe ,h4|f(4)( )|2880若 Rn(f)1510 5,則2105當(dāng)對(duì)區(qū)間0,1

14、進(jìn)行等分時(shí)1 n - h故有1440 n (- e1105)43.71因此，將區(qū)間8等分時(shí)可以滿(mǎn)足誤差要求。7。如果f (x) 0 ,證明用梯形公式計(jì)算積分bf(x)dx所得結(jié)果比準(zhǔn)確值I大，并說(shuō) a明其幾何意義。精品文檔解：采用梯形公式計(jì)算積分時(shí)，余項(xiàng)為f ( )3RT(b a)3,a,b12又Q f (x) 0 且 b aRT 0又 Q RT 1 TI T即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大。其幾何意義為，f (x) 0為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過(guò)10 5(2) xsin xdx0(3) o x . 1 x2dx.解：21 x(1)I 0e dxkT0

15、(k)T1(k)T2(k)丁(k)T300.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此 I 0.7137272(2) I ° xsin xdxkT0(k)T1(k)03.451313 10 618.628283 10 7.-21-4.44692310因此I 0(3) I o x - 1 x2dxkT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)t£)014.2302495111.171369910.1517434210.44379

16、6910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此 I 10.20759229。用n 2,3的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分ex sin xdx. i解： 3 Iex sin xdx.iQ x 1,3,令 t x 2,則 t 1,1用n 2的高斯一勒讓德公式計(jì)算積分I 0.5555556 f( 0.7

17、745967) f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 10.9484用n 3的高斯一勒讓德公式計(jì)算積分I 0.3478548 f ( 0.8611363) f (0.8611363) 0.6521452 f( 0.3399810) f(0.3399810) 10.9501410地球衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是S a 02J10)2sin2 d ,這是a是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離，記h為近地點(diǎn)距離,H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=6371 (km)為地球半徑，則a (2R H h)/2,c (H h)/ 2.我國(guó)第一顆地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=43

18、9(km),遠(yuǎn)地點(diǎn)距離 H=2384(km)。試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)。解：QR 6371,h 439,H2384從而有。1欺速下載精品文檔a (2R H h)/2 7782.5c 22()sin d ac (H h)/2 972.5kT0(k)T1(k)T2(k)01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646SI 1.564646S 48708(km)即人造衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)為 48708km11。證明等式nsin 一 n24 L3!n2 5!n418欠0迎下載試依據(jù)nsin()(n 3,6,12)的值，用外推算法求的近似值。n解若 f (n)

19、nsin , n1315又Q sin x x x x L3!5!此函數(shù)的泰勒展式為f (n) nsin nnn 3!1(-)5 L5! n3!n25!n4 °(k) T n當(dāng) n 3時(shí)，nsin- 2.598076 n當(dāng) n 6時(shí)，nsin - 3 n當(dāng) n 12 時(shí)，nsin - 3.105829 n由外推法可得nT0(n)T1(n)T2(n)32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故 3.1415812。用下列方法計(jì)算積分3dy ,并比較結(jié)果。1 y(1)龍貝格方法；(2)三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。(3)

20、將積分區(qū)間分為四等分, 解3dy I (1)采用龍貝格方法可得1 ykT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有 I 1.098613(2)采用高斯公式時(shí)3dy此時(shí) y 1,3,令x y乙則x 1,1,1x 2f(x)利用三點(diǎn)高斯公式，則I 0.5555556 f( 0.7745967)f (0.7745967) 0.8888889 f

21、 (0)1.098039精品文檔利用五點(diǎn)高斯公式，則I 0.2369239 f( 0.9061798) f (0.9061798) 0.4786287 f ( 0.5384693) f (0.5384693) 0.5688889 f (0) 1.098609(3)采用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式將區(qū)間1,3四等分，得I I1 I2 I3 I422欠°迎下載1.5dy1%x, f(x) dy1 y1.5 y2.5 dy3 dy2 y2.5 yI1dx,f(x)I1 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.4054054I2f(x)I3 f( 0.5773503)f (0.5773503) 0.2231405,一 x 7 作變換y ,則4dx,1x 71 x 7,I2f ( 0.5773503) f (0.5773503) 0.2876712x 9 作變換y ，則 4x 11作變換y ,則4I41六d"f(x)1x 11I4 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.1823204因此，有I 1.098538一， 一 , ,1一 .，一 13.用三點(diǎn)公式和積分公式求f(x)J在x 1.0,1.1 ,和1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤(1 x)差。f(x)的值由下表給出:X1.01.11.2F(x)0.25