數(shù)學(xué)分析(1)期末試題A答案

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考2007-2008學(xué)年第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)分析（1）考試試題（A卷）參考答案及評分標準、判斷題（本題共 10小題，每小題2分，共20分）x 7. V 8. x 9. V 10. x1. X 2. X 3. V 4. X 5. V 6.、填空題（本題共 8小題，每空2分，共20分） 1.學(xué)習(xí)資料2.4 co sx2- sx2e2叫23.ex f( f( e) f (xe )4.6 (x - 1)5.-In 二.6.0,17.y =x, y - -xf (n) (Kn)nf(x) = f(xo) f(xo)(x-xo)中 r(x-xo)f (n 1)( . )8.+( (x

2、 -xo)n* ,:介于 x與xo之間.(n 1)!三、計算題（本題共 5小題，第14小題每題5分，第5小題10分，共30分）3.(6)1. 設(shè)y = x e ,試求y .解基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，有(x3) =3x2,(x3) =6x,(x3) =6,(x3)(k)=0, k =4,5,6,(ex嚴=ex,k =1,2,111,6,應(yīng)用萊布尼茲公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x90x 120)e .x = a（t -sint）,2.試求由擺線方程 所確定白函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù).y = a（1 - cost）dy

3、(a(1 - cost) dx (a(t-sint)sint x t二 cot 一，1 - cost 2t12 t2 I cotcsc _d y2222 一_ .一dx (a(t-sint)a(1 -cost)14 tcsc -4a 23.試求f (x) =ln(1 +x2)到x6項的帶佩亞諾型余項的麥克勞林公式解因為23.x x 3ln(1+x)=x+o(x ),23所以f(x) =ln(1 +x2)到x6項的帶佩亞諾型余項的麥克勞林公式為4622 x x6ln(1 x )= x -一 o(x ).234.試求極限解通分后連續(xù)使用兩次洛必達法則，得xe - x -1xx(e -1)xe -1

4、ex(x 1)-1xelim -x 山 ex(x - 2)3分2分3分2分-325.試求函數(shù)y 2x -9x +12x|在-1,3上的最值和極值解32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x2 -9x 12), -1 < x < 0,一2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在閉區(qū)間-1,3上連續(xù)，故必存在最大最小值.-6x2 18x-12, 6x2 -18x 12-1 < x :二 0,0 :二 x < 3,-6(x-1)(x-2),6(x-1)(x-2),令y' = 0,得穩(wěn)定點為x=1,2.又因

5、匚(0) =12, f；(0) =12,故y在x = 0處不可導(dǎo).列表如下x-1,0)0(0,1)1(1,2)2(2,3f (x)不存在+00+f(x)遞減極小值f(0) =0遞增極大值f(1) = 5遞減極小值f (2) = 4遞增極大值為23.所以x = 0和x = 2為極小值點，極小值分別為 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1為極大值點f(1)= 5.又在端點處有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函數(shù)在x = 0處取最小值0,在x = -1處取最大值 2分四、證明題(本題共3小題，每小題10分，共30分).21 .證明不等式ex >1 +x+

6、(x>0) 22、一人v x一證令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = ex - x -1, x 0f (x) -ex -1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0, 3 分當(dāng)x A0時有f "(x) >0,所以f'(x)嚴格遞增，又f (x)在x=0處連續(xù)，所以f (x) > f (0) =0, x >0, 3 分所以f(x)嚴格遞增，又f(x)在x = 0處連續(xù)，所以f (x) > f (0) =0, x>0, 3 分xx2即 e >1+x + ,x >0. 1 分22.設(shè)

7、f為(血，十a(chǎn))上的連續(xù)函數(shù)， 對所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,證明f (x)必 x ；： ：x :.能取到最大值.證 由題設(shè) f(0)>0,取 8=*0，由 lim f(x) = lim f (x) = 0，mX >0,當(dāng) | x |a X 時，2 x二xf(x)<S<f(0). 4 分又f在-X , X 上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理知，f在-X, X能取到最大值 4分且此最大值為f在(叫+如)上的最大值. 2分3.若函數(shù) f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，且 f(0)=0, f(1) = 1, f

8、'(0)= f'(1) = 0,則存在 c(0,1)使得 |f (c)|_2.證法一：vx w (0,1),把f (x)在0, 1兩點處分別進行泰勒展開到二階余項，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) x ,f ,0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4(x-1)2,2!上兩式相減，有f ( 1)f ( 2)(x-1)2.記 | f ”(c)尸max| f 7 -1) |,| f 'J) |,則有1|f (c)|x2 (x-1)21|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.證法二： 在0,1上對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理有f (D = f f (0) =1 , 01 .當(dāng)0 時，在0,可上對f '(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理有1.1 = f 注)f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,與