數列求和方法歸納

1、數列求和方法歸納.公式法（等差：Sn今"，嚀d ；等比：Sn普）1. (1)已知 log3 x一，求 X X2 X3log 2 3Xn 的前n項和.解：由log 3 Xlog 2 30g3 Xlog 3 2 X 1由等比數列求和公式得：2SnXX2X3Xnx(1 Xn)1 X12(I_ I 12n已知數列an，滿足.a1.2. a33n，求 Ta23an=4值。解：由已知:"1.a nSnSn 12(n1)，an4( n令bnan4( n1)n1(2+3+4+.+n+1)=4n (n3)2n(n2a22| anSnn2 3n1)2，,則電匹-an,23n 13).、倒序相加

2、法（a1 an a2 an 1川）+ gyn ,求 Sn o2. (1)已知 lg (Xy )=a , Sn = lg x n +lg (Xn-Iy)+lg( X n-2y2) +Sn = IgXn + lg( Xn-Iy)+ lg( n-2y2) + +lgyn Sn = Ig yn + lg(yn-1) + lg(yn-22) + +lg Xn把 兩式 相加得2Sn = (n+1)lg (Xy)n =n (n+1)lgxy=an (n+1)Sn a n(n 1).2(2)求 Sin 1 Sin 2 Sin 3Sin 88 Sin 89 的值299O2解：設 S Sin 1 Sin 2 Si

3、n 3Sin 88 Sin 89 S2 CCSin 89Sin2 882 Sin3 Sin 2 2.2 .Sin 1 .又因為 Sincos(90),s in2 XCOS2 X 1 ,+得2S(Sin 21cos21 )(Sin 22cos2 2 )2(Sin 89cos2 89 ) = 89S= 44.5.分組法求和(等差+等比，正負交錯)3.(1)求數列-1 2 X+X,2 -2X +2n,，X2+-n ，的前n項和。解:設數列的前n項和為Sn ,則 Sn-1 2=X+X+2 -2 2 X +X+n-n 2+ X +X2-2 c4-4 C2n -2n C=x +x +2 + x +x +2

4、 + x +x +224X +X +2n-2-4-2n C+x + x +x + +x +2n當X 1時,2 2n ,x x -1Sn=-yX -1-2-2n,2n /x X -1X -1+2+2n=x-2-12n+2*X +1 2n 2+2n2n(x2-1)當X= 1時,Sn =4 n。已知數列an的前n項和Sn2n n ,C,設 bn 22Ian1)nan ,求bn前2n項和。解：當n=1時，a12時，anSnSnn ,則 anbn2n ( 1)nn ,S2n(22222n)(2n)2(1 22n)2(1 22n) n。四.錯位相減法:(an (Xny)qnSn(Ann 1B)qBq, A

5、X,Bq 1；)4. ( 1)求和:Sn13x5x2 7x3(2nn 11)xX 1)解：XSn 1x3x25x37x4(2n1)xn.一得(1 X)Sn1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1(2n1)xn得：(1 X)Sn2x1 xn1(2n1)nSn(2n 1)x(2n 1)n (1 x)(1 x)2(2)求數列解：設Sn462 ,2 ,422222ISn2n,歹6歹6前n項的和.一得(1Sn尹1評n 22n 12nn2n-22nr 2* 1 J22T23222n12n2n尹五裂項相消：(anIcn n)ann(n k)k(n解:(1)1求數列1.2：2'3'的前n項和

6、.an.n 1, n,則=(.2 、-1)(、3.2)(n11In)=n 11(2)在數列an中, 12nT7 U2求數列bn的前an1 n 1又bnnn 1anan 1n項的和.1解： an2nnbn28(-)n n 1n 1n 1n 12nn 12 2數列bn的前n項和Sn18(1 J(1I)(3 1)(-1 1)2233 4nn 1n1 1122.3=8(1 丄)n 18nn 1已知公差不為O的等差數列an前n項和Sn, S3a46 ,且a1,a4,a13成等比數列,1求的前n項和Tn ,并證明:SnTn解：由題2a43a13 2d2a1a13,即卩 a1(a1a1 3d12d)I 6(

7、a1Sn na1n(n-) d n2 2n，令bn12Sn111 1則Tn bb2b3bn =-(1-232 41 1,則 a1 =3，d=2,故 an 2n 1， 3d)2J 1(1 丄)，n2 2n 2 n n 21 11 13- 5n n 2)1因為數列Tn為單調遞增數列，則當n=1時，T1 -最小值，當n3時，Tn43 Tn 4成立。已知數列an為等差數列,a110, a2為整數,且SnS4，求的前n項和Tn。解:a50ai,即60ai令bnan an 1(13則Tn13710411 1匚(二:3d4d0，則晉d<3n )(10=1(13n) 3(10-3n110 3n 13-3

8、n13 3n11)=1( 1310-3nan an 1an 1311O)3n已知數列an為等差數列,a19,a2為整數,且SnS5，anan 1的前n項和Tn，4求證：Tn9a504d0 t99解: 50即,則d<， d 2， an 11 2n。aa15d0-45令bn1 1/1=( -an an 12 -2n),則11 2nTnI(IIII 2(7-57Ill1 1 1 19 2n-11-2n)_2( -2n1反比例函數對稱軸為 X-,則當n=4時取最大值,2(6 )已知數列滿足Sn2an n,求其前n項和anan 1",證明:Tn1 。解:Sn2an n ,Sn2an兩式相減，an2an11, an2(an 11),則 annan 21,bn1n12n 1 1則Tn122 12 1122 112n,單調遞增2數列， 一 Tn 1。3六絕對值:(當 am>0, am1<o,則TnSn,nSn2Sm , n當 afm<0, afm1>