矩陣及其運(yùn)算習(xí)（課堂PPT）

1、12 由mn個(gè)數(shù) aij ( i=1,2,m;j=1,2,n )排成的m行n列的數(shù)表:稱為m行n列的矩陣. 簡稱 mn 矩陣.簡記為: mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211這mn個(gè)數(shù)aij稱為矩陣A的元素.A=Amn=( aij )mn=( aij ). 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣, 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.一、基本概念3 (1) 行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A, 稱為n階方陣. 也可記作An, n 00000021的方陣, 稱為(2) 形如(或), 其中1, 2, , n不全為零. 記作ding(1, 2, , n) (3) 如果En=diag(1, 2, , n)=di

2、ag(1,1,1), 則稱En為(n階)單位矩陣, 或簡稱單位陣. 簡記為E. (4) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣, mn 階零矩陣記作Omn或O.4 (5) 只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣(或行(列)向量). ,21naaaA ,21 naaaB 2. 兩個(gè)矩陣A=(aij)與B=(bij)為同型矩陣, 并且對應(yīng)元素相等, 即aij = bij ( i=1,2,m; j=1,2, n )則稱矩陣A與B相等, 記作A=B.1. 兩個(gè)矩陣的行, 列數(shù)對應(yīng)相等, 稱為同型矩陣. 設(shè)有兩個(gè)同型的 mn 矩陣A=(aij)與B=(bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij), 記作A+B

3、, 即5矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律(1) 交換律: A+B=B+A.(2) 結(jié)合律: (A+B)+C=A+(B+C).矩陣A=(aij), 稱 A=(aij)為矩陣A的負(fù)矩陣.A+(A)=O, AB=A+(B).5. 數(shù)與矩陣相乘 數(shù)與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij), 記作A或A, 簡稱為數(shù)乘.設(shè)A, B為同型的mn 矩陣, , 為數(shù):(1) ()A = (A).(2) (+)A = A+A.(3) (A+B) = A+B.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律6矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算, 統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算. skkjiksjisjijiijbabababac12211 設(shè)A=(aij)是一個(gè)ms 矩陣, B=

4、(bij)是一個(gè)sn 矩陣, 定義矩陣A與矩陣B的乘積C=(cij)是一個(gè)mn矩陣, 其中6. 矩陣與矩陣相乘( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘積記作C=AB.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1) 結(jié)合律: (AB)C=A(BC);(2) 分配律: A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; (3) (AB)=(A)B=A(B), 其中為數(shù);(4) AmnEn= EmAmn= A;7 把矩陣A 的行列互換, 所得到的新矩陣, 叫做矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作AT.轉(zhuǎn)置矩陣(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) (A)T = AT;(4)

5、 (AB)T = BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 方陣的冪滿足冪運(yùn)算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m為正整數(shù).若A是n 階方陣, 則Ak為A的k次冪, 定義為A1 = A, Ak+1 = AkA1, ( k為正整數(shù) )8 由n 階方陣A 的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A 的行列式, 記作 | A | 或 detA .方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì)(1) | AT | = | A |;(2) | A | = n| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.設(shè)A為n 階方陣:(1) 如果 AT = A, 稱A為對稱矩陣;

6、 (2) 如果 AT = A, 稱A為反對稱矩陣;(3) 如果 A2 = A, 稱A為冪等矩陣;(4) 如果 A2 = E, 稱A為對合矩陣;(5) 如果 AAT = ATA = E, 稱A為正交矩陣;9 (6) 主對角線以下(上)的元素都為零的方陣稱為上(下)三角矩陣; (7) 行列式 | A | 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij 所構(gòu)成的如下矩陣 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣A 的伴隨矩陣.性質(zhì): AA* = A*A = | A | E. 對于n 階方陣A, 如果存在一個(gè)n 階方陣B, 使得AB = BA = E則稱矩陣A是可逆的(非奇異的, 非退化的),

7、并稱矩陣B為A的逆矩陣. A的逆矩陣記作A-1.10(2) 矩陣A可逆的充要條件是| A | 0.,|11 AAA(3) 若A是可逆矩陣, 則(4) 若 AB = E ( 或 BA = E ), 則 B = A-1.(1) 若A是可逆矩陣, 則A的逆矩陣是唯一的.(5) 若矩陣A可逆, 且 0, 則 A 亦可逆, 且 .111 AA (7) 若矩陣A可逆, 則AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.(6) 若A, B為同階可逆方陣, 則AB亦可逆, 且(AB)-1 = B-1A-1.(8) 若矩陣A可逆, 則有| A-1 |=| A |-1.11逆矩陣的計(jì)算方法:;|11 AAA(3)初

8、等變換法(下一章介紹).(2)伴隨矩陣法:(1)待定系數(shù)法;矩陣的分塊, 主要目的在于簡化運(yùn)算及便于論證.分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似11. 分塊矩陣12矩陣的分塊，主要目的在于簡化運(yùn)算及便于矩陣的分塊，主要目的在于簡化運(yùn)算及便于論證論證分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似相類似13例1: 設(shè),1111111111 nnnnnnnnnnnnnA計(jì)算A2 項(xiàng)式, 并驗(yàn)證 f(A) = O., dcbaA例2: 設(shè)試將 f() = | EA |寫成的多例3: 設(shè)A, B都是n 階可逆矩陣, 證明D =為可逆矩陣, 并求D1. BCOA.,1

9、1 EOBAEZDCBAYECAOEX例4: 設(shè)A, B, C, D都是n 階方陣, A是非奇異的, E是n 階單位陣, 并且(2) 證明:. |1BCADADCBA (1) 求矩陣積XYZ;14例1: 設(shè),1111111111 nnnnnnnnnnnnnA 1111111111nnnnA解: 由于計(jì)算A2 .15 1111111111222nnnAn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn= A.所以, 1111111111nnnn即 A2 = A, 所以A為冪等矩陣.16解:dcbaAEf |)(由此得:項(xiàng)式, 并驗(yàn)證 f(A) = O., dcbaA例2: 設(shè)試將 f() =

10、| EA |寫成的多= 2 (a+d) + ( ad bc ).f(A) = A2 (a+d) A + ( ad bc )E. 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca.0000 bcadbcaddadcdacbdabadadbccdacbdabbca002222得證 f(A) = O.17,222112111 XXXXD例3: 設(shè)A, B都是n 階可逆矩陣, 證明D =為可逆矩陣, 并求D1. BCOA必證: 由于A, B都是n 階可逆矩陣, 即| A | 0, | B | 0,則 | D |= | A | | B | 0,所以D為可逆矩陣.設(shè)其中Xij 均為n

11、階矩陣(i , j = 1,2). XXXXBCOADD222112111 221221111211BXCXBXCXAXAX. EOOE其中E為n 階單位矩陣.18由矩陣相等的定義有: EBXCXOBXCXOAXEAX221221111211.11111 BCABOAD從而得, X11= A-1, X12= O, X21= B-1C A-1, X22= B-1. 故同理可得: 設(shè)A, B都是n 階可逆矩陣, , BOCAD(1) 若;11111 BOCBAAD則(2) 若, OBACD則.11111 CBAABOD19.,11 EOBAEZDCBAYECAOEX 例4: 設(shè)A, B, C, D

12、都是n 階方陣, A是非奇異的, E是n 階單位陣, 并且(2) 證明:. |1BCADADCBA (1) 求矩陣積XYZ;解(1): 根據(jù)分塊矩陣的乘法, 得 EOBAEDCBAECAOEXYZ11 EOBAEBCADOBA11.1 BCADOOA20|,|11BCADABCADOOAXYZ 解(2): 根據(jù)(1)的結(jié)果, 得又由于| XYZ | = | X | Y | Z |,而| X | = | Z | = 1,所以有. |1BCADADCBA 21例5: 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明:(1) 若| A | = 0, 則| A* | = 0; (2) |A*| = | A |n1

13、.證明(1): 當(dāng)A = O時(shí), | A |的所有代數(shù)余子式均為0,從而A* = 0, 故| A* | = 0.當(dāng) A O且| A | = 0時(shí), 用反證法證明.假設(shè)| A* | 0, 則有A*(A*)1 = E,由此得A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1 = | A |E(A*)1 = O,這與A O矛盾,故當(dāng)| A | = 0時(shí), | A* | = 0.證明(2): 當(dāng)| A | = 0時(shí), 則由(1)得| A* | = 0, 從而| A* | = | A |n1成立.當(dāng)| A | 0時(shí), 由 AA* = | A | E 得,| A | | A* | = | AA* |

14、 = | A | E | = | A |n,由| A | 0得, | A* | = | A |n1.22例例6.)0(的逆矩陣的逆矩陣求求 bcaddcba解解方法一用定義求逆陣方法一用定義求逆陣,43211 xxxxA設(shè)設(shè)得得由由,1EAA 23,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa則有則有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得24.11 acbdbcadA注注., 元元方方程程組組矩矩陣陣的的各各列列的的同同而而常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)分分別別為為單單位位個(gè)個(gè)系系數(shù)數(shù)相相實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)上上是是求求解解的的逆逆依依定定義義求求nnA25.,:,的的逆逆矩矩陣陣即即可可得得的的每每一一個(gè)個(gè)元元素素去去除除最最后后用用符符號號再再將將次次對