二項式定理在數(shù)列求與中的應(yīng)用

1、二項式定理在數(shù)列求和中應(yīng)用 班級：數(shù)學(xué)1403姓名： 王琪 學(xué)號:144043378 / 8 二項式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用 【摘要】 本文利用二項式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合組合不等式，推導(dǎo)出形如的前n項和的公式,并給出求更高次求和公式的一般方法?！娟P(guān)鍵詞】 二項式定理 組合數(shù) 方程的根 系數(shù)一、項式定理和楊輝三角介紹：1,二項式定理： 其中叫做二項式系數(shù)。2,楊輝三角： 二項式定理的應(yīng)用非常廣泛, 也很重要, 主要表現(xiàn)在兩個方面: 一是它所揭示的方法富有啟發(fā)性; 二是它與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密.學(xué)習(xí)與掌握它, 既有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想和抽象思維的能力, 也有利于其今后進一步的學(xué)習(xí).二項式定理在中國

2、被稱為“賈憲三角或“楊輝三角，一般認為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng).它記載于楊輝的?詳解九章算法?1261之中.在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作?算數(shù)之鑰?1427中也給出了一個二項式定理系數(shù)表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同.在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算數(shù)書的封面上刻有此圖，但一般稱之為“帕斯卡三角形.因為帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)果. 而在1664年和1665年間，也就是由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前夕，牛頓就開始了二項式定理的研究，值得注意的是，牛頓只處理了二項式的自乘冪是分數(shù)或負數(shù)的情況.牛頓第一次提到二項式定理是在1676年6月13日他寫給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的

3、一封信中，此后牛頓對于該定理進行不斷的推理、猜測和證明，最終建立了二項式定理.牛頓在建立了二項式定理以后，馬上就拋棄了他以前用于求積的插值法，而把這個定理當(dāng)做確定曲線下方面積的一個最簡單最直接的方法來使用.隨著時間的推移，二項式定理被越來越多的人運用，直到今天，二項式定理已經(jīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要局部，也是當(dāng)今高考的難點之一.二項式定理是在處理有關(guān)兩個元素和的方冪的問題時常?？紤]到的一個重要公式，是組合數(shù)學(xué)中一個根底而重要的定理，在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多數(shù)學(xué)分支中都可見其蹤影. 二、二項式的性質(zhì)二項式定理：.理解二項式定理應(yīng)注意：1二項式中，是第一項，是第二項，順序不能變；2展開式中有項

4、(比指數(shù)多1)；3是二項式系數(shù)；4的指數(shù)降冪，的指數(shù)是升冪，兩者的指數(shù)的和等于；5二項式展開時要注意各項的符號規(guī)律；6注意二項式定理的可逆性.二項式定理除了要注意以上幾點外還具有一些性質(zhì)：性質(zhì)一 的二項展開式中，與首末兩端“等距離的兩項的二項式系數(shù)相等，即.性質(zhì)二 二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，.性質(zhì)三 的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于，即 令即得，或用集合的子集個數(shù)的兩種計算方法結(jié)果相等來解釋.性質(zhì)四 的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即令即得.三、重要組合恒等式:1,證明： =證 畢 2，證明數(shù)學(xué)歸納法： 當(dāng)時 上式 左

5、邊=1 右邊是，所以是正確的。 假設(shè)上式對正確 即 那么就有 再有組合不等式1可得 故綜上所述 對于所有大于r的正整數(shù)n2式都是成立的。四、 一元n次多項式根與系數(shù)的關(guān)系 對于多項式 假設(shè)是它的n個根那么有一下等式成立： 所有i個不同的根的乘積的和 五、應(yīng)用舉例為了方便應(yīng)用，2式也可以寫成當(dāng)r=1，2，3，4的時候上式也就是： 六、歸納總結(jié)命題一：證明：兩式相減有：命題二：由乘法的定義可知：n個1相加的結(jié)果為n。命題三：證明：由二項式定理知：，從而：即：由此可得：即：命題四：證明：由二項式定理可知：，從而即：由此可得：即：命題五： 證明：由二項式定理可知：，從而即：由此可得：即： 命題六：證明：由二項式定理可知：，從而即：由此可得：下面我們討論一般情況下數(shù)列的和，即：由二項式定理可知：，從而有可得：即：至此，我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和。推論 假設(shè)多項式他的根分別是，那么他的展開式中的系數(shù)是同理展開式中的系數(shù)是：二項式定理有著廣泛的應(yīng)用，如果不能夠準確把握其本質(zhì)，那么可能導(dǎo)致無法預(yù)測的結(jié)果.二項式定理多出現(xiàn)在高考題中，其中比擬突出的就是利用二項式的通項公式解決特定項問題，除此之外，二項式定理在整