大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)_實(shí)驗(yàn)測量與數(shù)據(jù)處理

1、2011.09.16測量不確定度與數(shù)據(jù)處理測量不確定度與數(shù)據(jù)處理主要內(nèi)主要內(nèi)容容1-1實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)測量的基本知識測量的基本知識1-3有效數(shù)字及其運(yùn)算有效數(shù)字及其運(yùn)算1-2實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)測量不確定度的評定測量不確定度的評定注意：注意：大多數(shù)的測量結(jié)果不但有數(shù)值而且有大多數(shù)的測量結(jié)果不但有數(shù)值而且有單位單位。物理測量：運(yùn)用各種物理儀器和物理方法物理測量：運(yùn)用各種物理儀器和物理方法把待測未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)單位同類量作比較，把待測未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)單位同類量作比較，即待測量是該計(jì)量單位的多少倍即待測量是該計(jì)量單位的多少倍一一 物理測量的基本概念物理測量的基本概念凡是可以直接用計(jì)量儀器和測量量進(jìn)行比較，便可獲得測量結(jié)

2、果的，該測量屬于直接測量直接測量。間接測量間接測量。直接測量與間接測量是相對的。直接測量與間接測量是相對的。2. 直接測量是測量的基礎(chǔ)。直接測量是測量的基礎(chǔ)。p 由同一觀察者用同一儀器、同一方法、同一環(huán)境測量n次，所得測量值為x1、x2.xn，則把這樣在同一種條件下的重復(fù)測量稱為等精度測量等精度測量。p 在不同條件（觀察者、儀器、方法、環(huán)境）下的重復(fù)測量稱為不等精度測量不等精度測量。u 精密度u 準(zhǔn)確度u 精確度二、測量結(jié)果分析的基本概念二、測量結(jié)果分析的基本概念算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望n1i1ixnxp算術(shù)平均值算術(shù)平均值 隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)，等于隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)，等于

3、“試驗(yàn)結(jié)果的各個(gè)可能值與其相試驗(yàn)結(jié)果的各個(gè)可能值與其相應(yīng)的頻率應(yīng)的頻率f(x=xi)乘積之和乘積之和”。由于頻率。由于頻率f(x=xi)要試驗(yàn)后才能確定，要試驗(yàn)后才能確定，因而算術(shù)平均數(shù)也必須到試驗(yàn)后才能求出，而且各次試驗(yàn)后，因而算術(shù)平均數(shù)也必須到試驗(yàn)后才能求出，而且各次試驗(yàn)后，所得到算術(shù)平均數(shù)也不一定相同，具有隨機(jī)性。所得到算術(shù)平均數(shù)也不一定相同，具有隨機(jī)性。iifxxn1ip 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望dxxxfxE)()(iiipxE(x)1是連續(xù)的是連續(xù)的x概率概率概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)在大量試驗(yàn)下，頻率在大量試驗(yàn)下，頻率f(x=xi)穩(wěn)定于概率穩(wěn)定于概率p(x=xi),而隨機(jī)變量而隨機(jī)變量x

4、的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值也一定穩(wěn)定于也一定穩(wěn)定于“隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的各個(gè)可能值與其相應(yīng)概率的各個(gè)可能值與其相應(yīng)概率p(x=xi)乘積的總乘積的總和和”，這個(gè)，這個(gè)“總和總和”是一個(gè)常數(shù)，它是算術(shù)平均值的穩(wěn)定值，是一個(gè)常數(shù)，它是算術(shù)平均值的穩(wěn)定值，稱為隨機(jī)稱為隨機(jī)變量變量x的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。p 算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(x)與算術(shù)平均值有緊密聯(lián)系，都是反映隨機(jī)變量與算術(shù)平均值有緊密聯(lián)系，都是反映隨機(jī)變量x的的“平均特平均特征征”這一統(tǒng)計(jì)特征，但它們又有質(zhì)的差別，這一統(tǒng)計(jì)特征，但它們又有質(zhì)的差別， E(x)是一個(gè)客觀存在的理論值，是一個(gè)客觀存在的理論值，而

5、算術(shù)平均值是一個(gè)試驗(yàn)值，具有隨機(jī)性。而算術(shù)平均值是一個(gè)試驗(yàn)值，具有隨機(jī)性。其中，其中，11iip(2) 測量列及測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差測量列及測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差111212nVnxxniiniixp測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差p測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差nnnxxxniix112(3) 正態(tài)分布正態(tài)分布u概率密度函數(shù)：概率密度函數(shù)：21exp21)x(f(x)u正態(tài)分布曲線：正態(tài)分布曲線：特點(diǎn)：特點(diǎn)：l單峰性單峰性l對稱性對稱性l有界性有界性l抵償性抵償性xf(x)概率含量概率含量68.3%概率含量概率含量99.7%xxx3x31、定義：、定義：由于測量誤差的存在而對

6、測量值不能肯定的程度，由于測量誤差的存在而對測量值不能肯定的程度，它是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一個(gè)參數(shù)，它是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一個(gè)參數(shù)測量值測量值測量不確定度測量不確定度用測量的算術(shù)平均值來表示用測量的算術(shù)平均值來表示 pux測量結(jié)果nxxxxn212、分類、分類A類評定類評定B類評定類評定 pux測量結(jié)果表示真值在量值表示真值在量值uxux ,之中，顯然，量之中，顯然，量值范圍越窄，則測量不確定度越小，用測量值表值范圍越窄，則測量不確定度越小，用測量值表示真值的可靠性就越高示真值的可靠性就越高111212nVnxxniiniixnnnxxxniix1122. 求測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差求測量列平均值

7、的標(biāo)準(zhǔn)偏差1.用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，測量值分布滿足正態(tài)分布當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，測量值分布滿足正態(tài)分布xx置信概率置信概率68.3%xf(x)因此為達(dá)到同樣的置信概率，應(yīng)把測量偏差范圍擴(kuò)因此為達(dá)到同樣的置信概率，應(yīng)把測量偏差范圍擴(kuò)大，乘上一個(gè)大，乘上一個(gè) 因子，即：因子，即：xxxvptxvptxvpt 但實(shí)驗(yàn)測量中，次數(shù)有限所以測量值不滿足正態(tài)但實(shí)驗(yàn)測量中，次數(shù)有限所以測量值不滿足正態(tài)分布，而是遵循分布，而是遵循 分布。分布。三種概率下的不同自由度三種概率下的不同自由度v的的tvp值值(v=n-1)0.990.950.68765432vtp0.990.

8、950.68 191498vtpnttuxvpxvpA所以直接測量量不確定度所以直接測量量不確定度A類評定為：類評定為：CkupB儀置信概率置信概率p與置信因子與置信因子kp的關(guān)系表的關(guān)系表p0.500 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997kp0.67511.651.9622.583儀器名稱儀器名稱米尺米尺游標(biāo)游標(biāo)卡尺卡尺千分千分尺尺物理天平物理天平秒表秒表誤差分布誤差分布正態(tài)分布正態(tài)分布均勻均勻分布分布正態(tài)正態(tài)分布分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分正態(tài)分布布C33333誤差分布與置信系數(shù)誤差分布與置信系數(shù)C的關(guān)系的關(guān)系3儀Bu1）不確定度是正態(tài)分布或近似高斯分布）不

9、確定度是正態(tài)分布或近似高斯分布P=68.3%3儀Bu2）均勻分布）均勻分布P=68.3%3）三角形分布）三角形分布6儀BuP=68.3%四四 總不確定度的合成總不確定度的合成22BAuuuuxx測量結(jié)果測量結(jié)果:P=68.3%注意：注意：A、B類不確定度的合成時(shí)，兩者概率需一致。類不確定度的合成時(shí)，兩者概率需一致。v測量不確定度用測量不確定度用一位或二位一位或二位數(shù)表示均可。如果作為數(shù)表示均可。如果作為間接測量的一個(gè)中間結(jié)果（中間過程）不確定度最好間接測量的一個(gè)中間結(jié)果（中間過程）不確定度最好用二位。用二位。對不保留數(shù)字一律對不保留數(shù)字一律“只進(jìn)不舍只進(jìn)不舍”，如，如ux=0.32，取取0.4

10、。v測量值末位與不確定度末位相對齊來確定。對測量值末位與不確定度末位相對齊來確定。對保留數(shù)字末位采用保留數(shù)字末位采用“4舍舍6入，入，5湊偶湊偶”規(guī)則。規(guī)則。如：如：直接測量結(jié)果不確定度書寫表示直接測量結(jié)果不確定度書寫表示注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)不確定度的其它表示不確定度的其它表示相對不確定度：相對不確定度：沒有單位，用百分?jǐn)?shù)表示，它沒有單位，用百分?jǐn)?shù)表示，它更能反映測量的準(zhǔn)確程度更能反映測量的準(zhǔn)確程度所取位數(shù)所取位數(shù)0-10%取一位取一位10%-100%取取二二位位定義：表示不確定度ux在整個(gè)測量值 中所占百分比，用符號“E”來表示x%100 xuEx例題一例題一1）用量程）用量程025mm，最小分

11、度值為，最小分度值為0.01mm，最大允差，最大允差為為 0.004mm的螺旋測量微器測量鋼絲的直徑的螺旋測量微器測量鋼絲的直徑6次，數(shù)據(jù)次，數(shù)據(jù)如下：如下：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953, ，求直，求直徑的徑的A,B類不確定度，并完整表示不確定度測量結(jié)果。類不確定度，并完整表示不確定度測量結(jié)果。解：解：mmDDnDiinii9525. 3611611因測量次數(shù)為因測量次數(shù)為6次，查表得次，查表得t0.68=1.11，mmnnDDttuniipxpA007. 030101011. 11612mmuB0014. 03004. 03儀總不確定度合

12、成總不確定度合成mmuuUBA002. 00014. 00007. 02222D測量結(jié)果的不確定度表示測量結(jié)果的不確定度表示)68. 0(002. 0925. 3pmmUDDD相對不確定度為相對不確定度為%05. 0%100952. 3002. 0%100DUED螺旋測量微器的誤差為正態(tài)分布，螺旋測量微器的誤差為正態(tài)分布，C=3 表示間接測量值與各直接測量值之間的關(guān)系式稱為表示間接測量值與各直接測量值之間的關(guān)系式稱為不確定度傳遞公式。不確定度傳遞公式。nxxxxfN,321nxnxxxNUxfUxfUxfUxfU321321nxnxxxNUxfUxfUxfUxfNUlnlnlnln321321

13、1）常用函數(shù)不確定度的算術(shù)合成）常用函數(shù)不確定度的算術(shù)合成p 絕對不確定度傳遞公式：絕對不確定度傳遞公式：p 相對不確定度傳遞公式：相對不確定度傳遞公式：例如：例如： N=A+B N=AB2）常用函數(shù)不確定度的幾何合成）常用函數(shù)不確定度的幾何合成p 絕對不確定度傳遞公式絕對不確定度傳遞公式2222121nxnxxNUxfUxfUxfUp 相對不確定度傳遞公式相對不確定度傳遞公式22221lnlnln21nxnxxNUxfUxfUxfNU算術(shù)合成的不確定度傳遞公式簡單算術(shù)合成的不確定度傳遞公式簡單但得到的是可能的最大偏差但得到的是可能的最大偏差例如：例如： N=A+B N=AB3）運(yùn)算順序的選擇

14、）運(yùn)算順序的選擇v函數(shù)為和與差關(guān)系函數(shù)為和與差關(guān)系-先計(jì)算絕對不確定度，先計(jì)算絕對不確定度，后計(jì)算相對不確定度后計(jì)算相對不確定度v函數(shù)為積與商關(guān)系函數(shù)為積與商關(guān)系-先計(jì)算相對不確定度，先計(jì)算相對不確定度，后計(jì)算絕對不確定度后計(jì)算絕對不確定度一、有效數(shù)字一、有效數(shù)字定義：定義：測量數(shù)據(jù)中所有可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。？有效數(shù)字的最后一位是估讀的，為可疑數(shù)字。雖然可有效數(shù)字的最后一位是估讀的，為可疑數(shù)字。雖然可疑數(shù)字不是準(zhǔn)確的，是誤差所在的位，但仍反映了被測疑數(shù)字不是準(zhǔn)確的，是誤差所在的位，但仍反映了被測量大小的信息，所以還是有意義的。量大小的信息，所以還是有意義的。估讀位前的幾位數(shù)

15、字都為可靠數(shù)字估讀位前的幾位數(shù)字都為可靠數(shù)字實(shí)驗(yàn)過程中記錄應(yīng)記幾位數(shù)字？實(shí)驗(yàn)后，處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)數(shù)據(jù)運(yùn)算后要保留幾位數(shù)字？1）在測量數(shù)據(jù)中）在測量數(shù)據(jù)中1、2、9九個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)九個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字都為有效數(shù)字字都為有效數(shù)字2）“0”是特殊數(shù)字，其認(rèn)定應(yīng)注意以下幾種情況是特殊數(shù)字，其認(rèn)定應(yīng)注意以下幾種情況v數(shù)字間的“0”為有效數(shù)字v數(shù)字后的“0”為有效數(shù)字v數(shù)字前的“0”不是有效數(shù)字，它只表示數(shù)量級的大小在測量時(shí)，數(shù)據(jù)不能任意多寫或少寫，即便在測量時(shí)，數(shù)據(jù)不能任意多寫或少寫，即便是是“0”也一樣也一樣注意：注意：1、有效數(shù)字的位數(shù)計(jì)算，從第一位不是、有效數(shù)字的位數(shù)計(jì)算，從第一位不是“0”的的數(shù)字至

16、最后一位數(shù)字至最后一位2、在十進(jìn)制單位中，有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制、在十進(jìn)制單位中，有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制單位的變化無關(guān)單位的變化無關(guān)例如：某長為例如：某長為1.34cm，有效數(shù)字為，有效數(shù)字為3位位1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是單位在變）（只是單位在變）為計(jì)算的方便，對較大或較小的數(shù)值，常用為計(jì)算的方便，對較大或較小的數(shù)值，常用1010n n的形式來書寫（的形式來書寫（n n為正整數(shù)），為正整數(shù)），。有效數(shù)字位數(shù)越多相對誤差越小，準(zhǔn)確度越大有效數(shù)字位數(shù)越多相對誤差越小，準(zhǔn)確度越大有效數(shù)字位數(shù)越少相對誤差越大，準(zhǔn)確度越小有效數(shù)字位數(shù)越少相對誤差越大，準(zhǔn)確度越小v 加減法則加減法

17、則：加減運(yùn)算所得結(jié)果的最后一位，加減運(yùn)算所得結(jié)果的最后一位，保留到所有參加運(yùn)算的數(shù)中末位數(shù)保留到所有參加運(yùn)算的數(shù)中末位數(shù)最大最大的那一位為止的那一位為止例：例：217-14.8=202.2結(jié)果：結(jié)果： 20271.32-0.8+6.3+271=347.82結(jié)果：結(jié)果：348：積和商的位數(shù)與參與運(yùn)算諸項(xiàng)中：積和商的位數(shù)與參與運(yùn)算諸項(xiàng)中有效數(shù)字位數(shù)最少有效數(shù)字位數(shù)最少的那一項(xiàng)相同的那一項(xiàng)相同31.522.1=66.192結(jié)果：結(jié)果： 663 .1017030. 11965. 025987996.5=5193.53102 . 5結(jié)果：結(jié)果：41002.1結(jié)果結(jié)果:03.582537. 628. 92

18、8. 9034336.582537. 628. 9可多加一位有效數(shù)字，由例如：例如：通常通常“小于小于5則舍則舍”，“大于大于5則入則入”，“等于等于5則湊偶則湊偶”即前一即前一位為奇數(shù)則進(jìn)（奇進(jìn)），以成偶位為奇數(shù)則進(jìn)（奇進(jìn)），以成偶數(shù)；若前一位為偶數(shù)則舍（偶舍）數(shù)；若前一位為偶數(shù)則舍（偶舍）例：例：4 . 035. 0351. 2注：注：2.51取一位有效數(shù)字，因?yàn)槿∫晃挥行?shù)字，因?yàn)?后有一位后有一位1，滿足大于，滿足大于5法則，法則，則進(jìn)則進(jìn)4 . 045. 0統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自由度是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自由度是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)， 樣本中獨(dú)立或能自由變化的個(gè)數(shù)，稱為該統(tǒng)計(jì)量的自由度樣本中獨(dú)立或能自由變化的個(gè)數(shù)，稱為該統(tǒng)計(jì)量的自由度. 自由度計(jì)算公式：自由度自由度計(jì)算公式：自由度=樣本個(gè)數(shù)樣本個(gè)數(shù)-樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個(gè)數(shù)，樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個(gè)數(shù)，即即df = n - k（df自由度，自由度，n樣本個(gè)數(shù)，樣本個(gè)數(shù)，k約束條件個(gè)數(shù)）約束條件個(gè)數(shù)）當(dāng)在估計(jì)總體的方差時(shí)，使用的是離差平方和。只要當(dāng)在估計(jì)總體的方差時(shí)，使用的是離差平方和。只要n-1個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)的離差平方和確定了，方差也就確定了；因