彈塑性力學(xué)學(xué)習(xí)筆記

1、彈塑性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)：作用在同一點(diǎn)所有不同外法線方向微面上的應(yīng)力矢量的集合 如何求任意一個(gè)已知外法線方向（l,m,n）的截面上的應(yīng)力分量（）？T是作用在斜面上的合力, 由四面體的平衡可以得到:6 二 Tn 二 Txl Tym Tzn取相互垂直的三條邊，作為三個(gè)坐標(biāo)軸，和一個(gè)法線方向角為l,m,n的斜面圍成一個(gè)四面體,Tx =6 +gyxm + izx na可yxJxTy =Exyl +bym +zy nTyhy巧JmTz+iyzm +z nOz丿Jln丿那么，該外法線方向（l,m,n）上的力大小T= Jt：2 2Ty +TzTx ,Ty ,Tz ,分別為T在x軸，y軸和z軸上的分量。又，我們可以

2、知道微面上合外應(yīng)力T在法向上的投影:所以，又可以知道切應(yīng)力的大小 變換坐標(biāo)軸，怎樣用一個(gè)和新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向一致的單元體上的應(yīng)力來(lái)表示原先該點(diǎn)的 應(yīng)力狀態(tài)？ 設(shè)新坐標(biāo)軸是（X，y: Z）,舊坐標(biāo)系是（x, y, z）這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是把原先某點(diǎn)在新坐標(biāo)系坐標(biāo)軸正向?yàn)橥夥ň€的的平面上的應(yīng)力分解（投 影）到新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)軸上去。設(shè)原先在（x，y, z）坐標(biāo)系下用單兀體表示的應(yīng)力狀態(tài)是:-xxyxzyx-yyzzxzy二 z現(xiàn)在在新坐標(biāo)系下（z）用新坐標(biāo)系下的單元體表示的應(yīng)力狀態(tài):tj r T .xyxT r F a xy yzxxzy zzyCTz則，我們可以先通過-xxyxzyxCyyzzx&

3、#39;zyaz，求以x、y、z 坐標(biāo)軸為外法線的截面上的應(yīng)力以X為例: 在以X坐標(biāo)軸為外法線的截面上的應(yīng)力為:可yx2£、Ty=巧xy巧zy«12E丿5宀13a1 2«13 '農(nóng)11«2 2«2 3Ty«212«3 3 ；丿嚴(yán)31那么，“丿3：'1222>32：'1323>33X/ >> yxv zx0( 1*1yzy®12v yz口 zx務(wù)11«12°1x打yxxy*C<21a2223T(Jxyy所以，芒31 32a33> /TTI

4、 * xz曾 yz又,Si '吟2<ai 3 )ITyX*TzX*1、Ty=J* ay *0R丿I%，TyZ*Jvjx*丿fC rT r fT r rxvyxvzx01*1Ot 120(. 1 3CTTTx豎yx豎zx11 Ot 1 2 Ot 1 3T r rCJ rT f r“xyy*zyC<2 1 色 2% 3TCJTvxyy豎 zy2*1 2*223<Txr S az31 a32 33 JTTCJJxzyzz丿ft 31a3*2 a 33 J將上面的矩陣兩邊轉(zhuǎn)置，同理可得y I z 方向上的應(yīng)力分量，將他們合并得:如何求解一元三次方程：盛金公式一元三次方程 aX

5、A3 + bXA2 + cX + d=0, (a, b, c, d R,且 aO。重根判別式：A=b 3ac;B=bc 9ad;C=c 3bd,總判別式： =B 4AC。當(dāng) A=B=0 時(shí)，盛金公式( WhenA=B=O , Shengjin ' Formula )：X仁 X2=X3= b/(3a)= c/b= 3d/c。當(dāng) =B- 4AC>0 時(shí)，盛金公式( WhenX =B 4AC>0 , Shengjin ' formula )： X1=( b (Y1 + Y2)/(3a);X2 , 3=( 2b + Y1 + Y2±3 (Y1 Y2)i)/(6a)

6、;其中 Y1 , 2=Ab + 3a ( B±(B 4AC)/2 , i= 1。當(dāng) =B- 4AC=0 時(shí)，盛金公式( WhenX =B 4AC =0 , Shengjin ' formula)： X1= b/a+ K; X2=X3= K/2 ,其中 K=B/A , (A工0。當(dāng) =B- 4AC<0 時(shí)，盛金公式( When =B 4AC<0 , Shengjin ' formula )：X1= ( b 2Acos( B /3)/(3a);X2 , 3= ( b + A(cos( 0 /3) ± 3sin( 0 /3)/(3a) 其中 B =ar

7、ccosT， T= (2Ab 3aB)/(2A) ， (A>0 ， 1<T<1) 。盛金判別法Shengjin 'Dsistinguishing Means ：當(dāng)A=B=0時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根； ：當(dāng) =B 4AC>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根； ：當(dāng) =B 4AC=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)兩重根； ：當(dāng) =B 4AC<0時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。盛金定理Shengjin 'Tsheorems當(dāng)b=0, c=0時(shí)，盛金公式無(wú)意義；當(dāng) A=0時(shí)，盛金公式無(wú)意義；當(dāng)AW0時(shí)，盛金公式無(wú)意義；當(dāng) T V -1或T > 1時(shí)，盛金公

8、式無(wú)意義。當(dāng)b=0, c=0時(shí)，盛金公式是否成立？盛金公式與盛金公式是否存在AW0的值？盛金公式是否存在 TV -1 或 T> 1 的值？盛金定理給出如下回答：盛金定理1:當(dāng)A=B=0時(shí)，若b=0，則必定有c=d=0 (此時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根0,盛金公式仍成立) 。盛金定理2:當(dāng)A=B=0時(shí)，若b0,則必定有c0(此時(shí)，適用盛金公式解題)。盛金定理3 :當(dāng)A=B=0時(shí)，則必定有 C=0 (此時(shí)，適用盛金公式解題)。盛金定理4:當(dāng)A=0時(shí)，若B0,則必定有 > 0 (此時(shí)，適用盛金公式解題)。盛金定理5 :當(dāng)A V 0時(shí)，則必定有 > 0 (此時(shí)，適用盛金公式解題)。盛金定理

9、6 :當(dāng) =0時(shí)，若B=0，則必定有 A=0 (此時(shí)，適用盛金公式解題)。盛金定理7:當(dāng) =0時(shí)，若B0,盛金公式一定不存在AW0的值(此時(shí)，適用盛金公式解題) 。盛金定理 &當(dāng)< 0時(shí)，盛金公式一定不存在AW0的值。(此時(shí)，適用盛金公式解題)。盛金定理9:當(dāng)< 0時(shí)，盛金公式一定不存在TW1或TA1的值，即T出現(xiàn)的值必定是 -1 V TV 1 。顯然，當(dāng)AW0時(shí)，都有相應(yīng)的盛金公式解題。當(dāng) =0(d豐(時(shí)，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表 達(dá)形式較簡(jiǎn)明， 使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重 根判別式A=bA2 3ac； B=bc 9ad； C=cA2 3bd是最簡(jiǎn)