專(zhuān)題2.12 有理數(shù)的除法-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（解析版）

1、專(zhuān)題2.12 有理數(shù)的除法-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)除法的法則】有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0【題型1 有理數(shù)除法法則的辨析】【例1】（2020秋許昌期末）如果a+b0，ab0，那么下列各式中一定正確的是（）Aab0Bab0Cba0Dab0【解題思路】直接利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則以及加減運(yùn)算法則判斷得出答案【解答過(guò)程】解：a+b0，ab0，a，b同為負(fù)數(shù)，ab0，故選：B【變式1-1】（2020秋鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在下列各題中，結(jié)論正確的是（）A若a0，b0，則ba0B若ab，則ab0C

2、若a0，b0，則ab0D若ab，a0，則ba0【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則和除法法則進(jìn)行判斷【解答過(guò)程】解：A兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；Bab，ab0，該選項(xiàng)正確，符合題意；C兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；Dab，a0，1ba，ba1，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意故選：B【變式1-2】（2020秋錦江區(qū)校級(jí)期中）若a+b0，ab0，ab0，則下列結(jié)論正確的是（）Aab，b0Ba0，b0Ca0，b0且|a|b|Da0，b0且|a|b|【解題思路】直接利用有理數(shù)的除法運(yùn)算、加法、減法運(yùn)算法則以及絕對(duì)值的性質(zhì)分別分析得出答案【解答過(guò)程】解：ab0，ab，ab0，a0b，

3、a+b0，|a|b|故選：C【變式1-3】（2020秋秀峰區(qū)校級(jí)月考）已知a，b為有理數(shù)，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）若a+b0，ab0，則a0，b0若a+b0，ab0，則a0，b0且|a|b|若a+b0，ab0，則a0，b0若a+b0，ab0，則a0，b0且|b|a|A1B2C3D4【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的加法法則以及有理數(shù)的除法法則分別分析得出即可【解答過(guò)程】解：若a+b0，ab0，則a0，b0，故結(jié)論正確；若a+b0，ab0，則a0，b0且|a|b|或a0，b0且|a|b|，故結(jié)論錯(cuò)誤；若a+b0，ab0，則a0，b0，故結(jié)論正確；a+b0，ab0，則a0，b0且|b|a|或a0，b0且|

4、b|a|，故斯結(jié)論錯(cuò)誤故正確的有2個(gè)故選：B【知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)乘除法的混合運(yùn)算】有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：變除為乘，從左到右【題型2 有理數(shù)乘除法的混合運(yùn)算】【例2】（2021春青浦區(qū)期中）計(jì)算：1.75÷(312)×47【解題思路】原式從左到右依次計(jì)算即可求出值【解答過(guò)程】解：原式=74÷（72）×47=74×（27）×47 =27【變式2-1】（2021春楊

5、浦區(qū)期中）158÷（10）×（103）÷（154）【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則即可求出答案【解答過(guò)程】解：原式=158×110×103×415=16 【變式2-2】（2020秋廣信區(qū)月考）計(jì)算：（1）0.75×0.4×(123)；（2）916÷(112)×1924【解題思路】（1）先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求出即可；（2）先把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求出即可【解答過(guò)程】解：（1）原式=34×25×53=12；（2）原式=916

6、×（23）×1924=1964【變式2-3】（2020秋官渡區(qū)校級(jí)月考）（81）÷94×49÷（16）【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的混合計(jì)算解答即可【解答過(guò)程】解：（81）÷94×49÷（16）=81×49×49×116 1【題型3 有理數(shù)除法的應(yīng)用（含絕對(duì)值）】【例3】（2020秋南沙區(qū)校級(jí)期中）若|abc|abc，且abc0，則|a|a+|b|b+|c|c=（）A1或3B1或3C±1或±3D無(wú)法判斷【解題思路】利用絕對(duì)值的代數(shù)意義判斷得到a，b，c中負(fù)數(shù)有一個(gè)或三個(gè)，

7、即可得到原式的值【解答過(guò)程】解：|abc|abc，且abc0，abc中負(fù)數(shù)有一個(gè)或三個(gè)，則原式1或3，故選：A【變式3-1】（2020秋句容市期中）已知a、b為有理數(shù)，且ab0，則a|a|+b|b|+ab|ab|的值是（）A3B1C3D3或1【解題思路】根據(jù)同號(hào)得正分a、b都是正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況，利用絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解【解答過(guò)程】解：ab0，a0，b0時(shí)，a|a|+b|b|+ab|ab|=aa+bb+abab=1+1+13，a0，b0時(shí)，a|a|+b|b|+ab|ab|=aa+bb+abab=11+11，綜上所述，a|a|+b|b|+ab|ab|的值是3或1故選：D

8、【變式3-2】（2020秋訥河市期末）若三個(gè)非零有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足|a|a+|b|b+|c|c=1，則|abc|abc= 【解題思路】由|a|a+|b|b+|c|c=1知，a、b、c中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，故能求|abc|abc的值【解答過(guò)程】解：|a|a+|b|b+|c|c=1a、b、c中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另外兩個(gè)為正數(shù)，|abc|abc=1故答案為1【變式3-3】（2020秋旅順口區(qū)期中）若abc0，a+b+c0，則|b+c|a+|a+c|b+|a+b|c= 【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的乘法判斷出負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，再用兩個(gè)字母表示出第三個(gè)字母，然后求解即可【解答過(guò)程】解：abc0，a、b、c有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)

9、數(shù)，a+b+c0，a、b、c只有1個(gè)負(fù)數(shù)，b+ca，a+cb，a+bc，|b+c|a+|a+c|b+|a+b|c=1+1+11，故答案為：1【題型4 有理數(shù)除法的應(yīng)用（新定義）】【例4】（2020秋平陰縣期中）概念學(xué)習(xí)：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（3）÷（3）÷（3）÷（3）等，類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作23，讀作“2的3次商”，（3）÷（3）÷（3）÷（3）記作（3）4，讀作“3的4次商”一般地，我們把n個(gè)a（a0）相除記作an，讀作“a的

10、n次商”根據(jù)所學(xué)概念，求（4）3的值是（）A12B43C14D14【解題思路】利用題中的新定義計(jì)算即可求出值【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意得，（4）3（4）÷（4）÷（4）1÷（4）=14故選：D【變式4-1】（2020秋如皋市期中）有兩個(gè)正數(shù)a，b，且ab，把大于等于a且小于等于b的所有數(shù)記作a，b例如，大于等于1且小于等于4的所有數(shù)記作1，4若整數(shù)m在5，15內(nèi)，整數(shù)n在30，20內(nèi)，那么nm的一切值中屬于整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)【解題思路】根據(jù)已知條件得出5m15，30n20，再得出nm的范圍，即可得出整數(shù)的個(gè)數(shù)【解答過(guò)程】解：m在5，15內(nèi)，n在

11、30，20內(nèi)，5m15，30n20，305nm2015，即6nm43，nm的一切值中屬于整數(shù)的有2，3，4，5，6，共5個(gè)；故選：A【變式4-2】（2020白云區(qū)一模）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一種鍵盤(pán)密碼，每個(gè)字母與所在按鍵的數(shù)字序號(hào)對(duì)應(yīng)（如圖），如字母Q與數(shù)字序號(hào)0對(duì)應(yīng)，當(dāng)明文中的字母對(duì)應(yīng)的序號(hào)為a時(shí)，將a+7除以26后所得的余數(shù)作為密文中的字母對(duì)應(yīng)的序號(hào)，例如明文“X”對(duì)應(yīng)密文“W”按上述規(guī)定，將密文“TKGDFY”解密成明文后是（）ADAISHUBTUXINGCBAIYUNDSHUXUE【解題思路】根據(jù)“明文”與“密文”的

12、轉(zhuǎn)化規(guī)則，由“明文”得出“密文”，反之亦然【解答過(guò)程】解：由“明文”與“密文”的轉(zhuǎn)換規(guī)則可得：故選：C【變式4-3】（2020秋銅梁區(qū)校級(jí)期中）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩大類(lèi)：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小明受到啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3整除的余數(shù)把正整數(shù)分成了3類(lèi)：如果一個(gè)正整數(shù)被3整除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類(lèi)，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類(lèi)，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類(lèi)，例如3，6，9等（1）2020屬于 類(lèi)（選填A(yù)或B或C）（2）從A類(lèi)數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù)，它們的和屬于 類(lèi)（選填A(yù)或B或C）從A類(lèi)數(shù)中任意取8個(gè)

13、數(shù)，從B類(lèi)數(shù)中任意取9個(gè)數(shù)，從C類(lèi)數(shù)中任意取10個(gè)數(shù)，把它們都加起來(lái)，則最后的結(jié)果屬于 類(lèi)（選填A(yù)或B或C）；（3）從A類(lèi)數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B中任意取出n個(gè)數(shù)，把它們都加起來(lái)，若最后的結(jié)果屬于C類(lèi)，則關(guān)于下列關(guān)于m、n的敘述中正確的是 （填序號(hào)）m+2n屬于C類(lèi)；|mn|屬于B類(lèi)；m屬于A類(lèi)，n屬于B類(lèi)；m、n屬于同一類(lèi)【解題思路】（1）計(jì)算2020÷3，根據(jù)計(jì)算結(jié)果即可求解；（2）從A類(lèi)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即可求解；從A類(lèi)數(shù)中任意取出8數(shù)，從B類(lèi)數(shù)中任意取出9個(gè)，從C類(lèi)數(shù)中任意取出10數(shù)，把它們的余數(shù)相加，再除以3，根據(jù)余數(shù)判斷即可求解；（3）根據(jù)m，n的余數(shù)之和，舉例，觀

14、察即可判斷【解答過(guò)程】解：（1）2020÷36731，所以2020被3除余數(shù)為1，屬于A類(lèi)；故答案為：A；（2）從A類(lèi)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，如：（1+4）÷312，（4+7）÷332，被3除余數(shù)為2，則它們的和屬于B類(lèi)；從A類(lèi)數(shù)中任意取出8數(shù)，從B類(lèi)數(shù)中任意取出9數(shù)，從C類(lèi)數(shù)中任意取出10數(shù)，把它們的余數(shù)相加，得（8×1+9×2+10×0）26÷382，余數(shù)為2，屬于B類(lèi)；故答案為：B；B；（3）從A類(lèi)數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類(lèi)數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，余數(shù)之和為：m×1+n×2m+2n，最后的結(jié)果屬于C類(lèi)，m+2n

15、能被3整除，即m+2n屬于C類(lèi)，正確；若m1，n1，則|mn|0，不屬于B類(lèi)，錯(cuò)誤；若m1，n1，錯(cuò)誤；觀察可發(fā)現(xiàn)若m+2n屬于C類(lèi)，m，n必須是同一類(lèi)，正確；綜上，正確故答案為：【題型5 有理數(shù)除法的實(shí)際應(yīng)用題】【例5】（2020秋吉安期中）氣象統(tǒng)計(jì)資料表明，高度每增加1000米，氣溫就降低大約5，我省著名風(fēng)景區(qū)廬山的最高峰高于地面約為1200米，若現(xiàn)在地面溫度約為3，則山頂氣溫大約是多少？【解題思路】根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可求出值【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意得：31200÷1000×5363（），則山頂氣溫大約是3【變式5-1】（2021春南崗區(qū)校級(jí)月考）溫度的變化與高度

16、有關(guān)：高度每增加1km，氣溫大約下降5.8（1）已知地表溫度是12，則此時(shí)高度為3km的山頂溫度是多少？（2）如果山頂溫度是6.1，此時(shí)地表溫度是20，那么這座山的高度是多少？【解題思路】（1）根據(jù)題意，列出算式進(jìn)行計(jì)算；（2）先求溫度差，利用溫度差除以5.8，得高度【解答過(guò)程】解：（1）依題意，得123×5.81217.45.4（）答：山頂溫度為5.4（2）20（6.1）÷5.826.1÷5.84.5 （千米）答：這座山的高度為4.5千米【變式5-2】（2020秋肇源縣期末）在湖北省抗擊新冠病毒期間，國(guó)家實(shí)行“一省幫一市對(duì)口”支援，春雨礦泉水廠向武漢市的某地區(qū)運(yùn)

17、送礦泉水，該地區(qū)人口約12萬(wàn)，每人每天需2瓶水，24瓶水裝成一箱，則該廠每天需要裝運(yùn)多少箱礦泉水？【解題思路】先計(jì)算每天需要礦泉水的瓶數(shù)，再用總瓶數(shù)除以每箱礦泉水的瓶數(shù)即可得出答案【解答過(guò)程】解：120000×2÷2410000（箱），答：則該廠每天需要裝運(yùn)10000箱礦泉水【變式5-3】（2020秋楊浦區(qū)校級(jí)期中）某中學(xué)舉行“新冠肺炎”防控知識(shí)競(jìng)賽，全校一共有100位學(xué)生參賽，比賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中，獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的人數(shù)情況如下表所示，根據(jù)表格回答：獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)人數(shù)101625（1）一等獎(jiǎng)人數(shù)是三等獎(jiǎng)人數(shù)的幾分之幾？（2）一、二等獎(jiǎng)人數(shù)之

18、和占全校參賽學(xué)生人數(shù)的幾分之幾？（3）三等獎(jiǎng)人數(shù)比二等獎(jiǎng)人數(shù)多了幾分之幾？【解題思路】（1）10除以25即可得答案，（2）一、二等獎(jiǎng)人數(shù)和除以全校參賽學(xué)生人數(shù)即得答案，（3）三等獎(jiǎng)人數(shù)減去二等獎(jiǎng)人數(shù)的差，再除以二等獎(jiǎng)人數(shù)即是答案【解答過(guò)程】解：（1）10÷25=25，答：一等獎(jiǎng)人數(shù)是三等獎(jiǎng)人數(shù)的25；（2）（10+16）÷10026÷100=1350，答：一、二等獎(jiǎng)人數(shù)之和占全校參賽學(xué)生人數(shù)的1350；（3）（2516）÷169÷16=916，答：三等獎(jiǎng)人數(shù)比二等獎(jiǎng)人數(shù)多了916【題型6 有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟問(wèn)題】【例6】（2020秋啟東市校級(jí)

19、月考）閱讀后回答問(wèn)題：計(jì)算（52）÷（15）×（115）解：原式=52÷（15）×（115）=52÷1 =52（1）上述的解法是否正確？答： 若有錯(cuò)誤，在哪一步？答： （填代號(hào)）錯(cuò)誤的原因是： （2）這個(gè)計(jì)算題的正確答案應(yīng)該是： 【解題思路】（1）直接利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則分析即可；（2）直接利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可【解答過(guò)程】解：（1）答：不正確若有錯(cuò)誤，在哪一步？答：（填代號(hào)）錯(cuò)誤的原因是：運(yùn)算順序不對(duì)，或者是同級(jí)運(yùn)算中，沒(méi)有按照從左到右的順序進(jìn)行；（2）原式=52÷（15）×（115）=52×115

20、×115 =190，這個(gè)計(jì)算題的正確答案應(yīng)該是：190故答案為：190【變式6-1】（2021秋大安市期末）閱讀下面的解題過(guò)程：計(jì)算（15）÷（1312）×6解：原式（15）÷(16)×6（第一步）（15）÷（1）（第二步）15（第三步）回答：（1）上面解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第 步，錯(cuò)誤的原因是 ，第二處是第 步，錯(cuò)誤的原因是 （2）把正確的解題過(guò)程寫(xiě)出來(lái)【解題思路】（1）從第一步到第二步，先計(jì)算除法，再計(jì)算乘法，所以第1處是第二步，錯(cuò)誤原因是運(yùn)算順序錯(cuò)誤；然后根據(jù)有理數(shù)除法的運(yùn)算方法，可得第2處是第三步，錯(cuò)誤原因是得數(shù)錯(cuò)誤（

21、2）根據(jù)有理數(shù)除法、乘法的運(yùn)算方法，從左向右，求出算式的值是多少即可【解答過(guò)程】解：（1）上面解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第二步，錯(cuò)誤的原因是運(yùn)算順序錯(cuò)誤，第二處是第三步，錯(cuò)誤的原因是得數(shù)錯(cuò)誤（2）（15）÷（1312）×6（15）÷(16)×6（15）×（6）×690×6540故答案為：二、運(yùn)算順序錯(cuò)誤；三、得數(shù)錯(cuò)誤【變式6-2】（2020秋上蔡縣期中）閱讀下列材料：計(jì)算50÷（1314+112）解法一：原式50÷1350÷14+50÷112=50×350×4+50×12550解法二：原式50÷（412312+112）50÷212=50×6300解法三：原式的倒數(shù)為（1314+112）÷50（1314+112）×150=13×15014×150+112×150=1300故原式300上述